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1、论数学抽象思想方法精选文档论数学抽象思想方法1.数学抽象方法的概念 19世纪末到二十世纪初，德国数学家康托建立了集合论，借助集合论，人们可以简洁地概括出数学的研究内容是结构与模式。事实上，现实世界千变万化，千差万别。数学的目标是要发现各种事物的本质，寻找不同事物的联系，找出不同事物的共性，探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。数学要透过现象看本质，通过个性看共性，在混沌中寻找秩序，在变化中寻找恒定。比如，一个苹果加两个苹果是三个苹果，一个梨加两个梨是三个梨，一棵树加两棵树是三棵树，虽然物质对象发生了变化，但数量关系却保持

2、不变，其本质都是1+2=3;a+b2=a2+2ab+b2，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，虽然两个公式看起来不同，但这两个公式都蕴藏着同样的规律二项式定理;再比如下面两个例子： 例1著名的哥尼斯堡“七桥问题”： 18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中间有一个小岛，河上有七座桥，岛上有一座古老的大学，一座教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像。当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步。渐渐地大家热衷于一个问题：一个人如何能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”

3、。1735年，一群大学生写信给著名的数学家欧拉，希望欧拉能够解决这个问题。欧拉首先从千百人次的失败中猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，但如何来证明它呢？ 欧拉想，既然岛与岛无非是桥的连接地点，两岸陆地也是通过桥通往的地点，那么就不妨把这四处地点抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线，这样既不改变问题的实质，问题也就成了一个关于几何图形的问题，即人们步行走过这些地方和七座桥时，就相当于用笔画出此图。于是问题转化为：能否用笔不重复地一笔画出此图。接着欧拉探讨了这个一笔画问题的结构特征。一笔画有一个起点和一个终点，他们重合时称为封闭图形，否则称为开放图形。除起点和终点外，一笔画中间可能出现

4、一些曲线的交点，在这些交点处曲线一进一出，通过的曲线总是偶数条，这些交点就称为“偶点”;而只有起点和终点通过的曲线可能是奇数条，这些起点和终点称为“奇点”，特别地，当起点和终点重合时，便成为一个偶点，不再是奇点。 通过上面的探究，欧拉断言：任何一个一笔画问题，要么没有奇点，要么有两个 “奇点”，而在 “七桥问题”所对应的图形中，四个点都是“奇点”，因此，它不能一笔画成，从而人们不可能不重复地一次走过所有哥尼斯堡的七座桥。在“七桥问题”之后，欧拉又继续深入研究，终于用严密的数学语言证明了一个可鉴别任何一个图形能否一笔画的“一笔画定理”：一个网络（任意一个由有限条弧线构成的图形，且每条弧线都具有两

5、个相异的端点）是一笔画，当且仅当该网络是连通的，并且奇顶点的个数是0与2。欧拉解决这个问题所用的思维方法，就是抽象方法，即由感性认识到理性抽象，再由理性抽象上升到理性认识，这也是人们认识事物常用的一种抽象思维方法。“七桥问题”有力地说明了数学抽象将实际关系中许多无关紧要的东西（如桥的大小、形状，岛的大小、形状等）舍掉，而紧紧抓住其中带有本质特征的东西，从而构造出一些在逻辑上无矛盾的“纯粹的”数学关系。 在两千多年的数学发展过程中，数学由无数次渐变和少数几次突变才形成目前如此庞大的科学体系。数学发展的历史是数学问题的提出、探索与解决的历史。其中具体抽象具体的基本模式始终贯穿始终。 数学抽象是抽象

6、方法在数学中的具体运用，也是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。由于数学中大部分研究对象并非建立在对于真实事物的直接抽象之上，而是在抽象对象上的再抽象的结果，即由相对初级概念逻辑地抽象或定义出新的抽象度更高的概念。这就决定了数学抽象的程度远远高于自然科学中的一般抽象。比如：正比例函数是物理学中匀速直线运动的再抽象;正（余）弦函数是物理中的简谐运动的再抽象;再比如1、2、3、4等较小的自然数是建立在对真实事物的直接抽象之上的，但那些较大的自然数如21033，1055等远远超出了

7、我们的经验范围，显然不是直接抽象的结果，而是建立在已有数的概念的抽象思维基础之上的，即人们从较小数的概念中抽象出序的的特性一个数加1就可得到一个比它大1的数，才可能构建像1055，21033这样大的数的概念，进而才能形成一般自然数和任何可能的数的概念。而这个过程也正反映了数学概念形成的基本规律：数学概念是以先前积累起来的抽象概念为基础，通过一系列的抽象概括而产生的。 2.数学抽象思想方法的本质 数学来源于实践，又反过来对人们的各类实践活动进行指导，如通过数量、各种数学运算以及各类图形来表示不同的客观事物，充分体现了数学中的矛盾。宏观世界中的事物和动物纷繁复杂，各具特色，如何从具体的事物中找到表

8、达其共性的方法，这就需要将事物的具体特点进行简化，去掉次要因素，抓住主要特征和主要因素，这种简化过程就是数学抽象过程。如用“1”来表达若干个个体事物，一个本子，一根木头，一个人，一只鸡，一辆汽车，一座山，一条河等等，尽管这些事物的具体特点各不相同，但其共同特点是单个的个体。按照同样的方法，就可以表达其他的数量形式了。又如在图形表达中用一条线来表达一条路、一根柱、一根梁等等，在图形表达过程中，这些“路、柱、梁”的整体形状及表面特征、物质成分等具体特点就被简化而忽略了。因此，数学抽象思想方法的本质就是将具体的事物进行弃异求同、去表求里的特殊思维处理过程，数学抽象思想方法就是对事物进行抽象简化的思维

9、方法。 2.1.数学抽象思想方法的特征 2.1.1.理想化特征 对于来源于现实原型的数学对象来说，数学抽象的过程往往包含了对于现实客体或现象的必要简化、纯化和完善。它强调和夸张了现实原型的某一些特征，同时，又完全舍弃了它的另外一些特征，甚至虚构一些在与问题相关的方面同客体相合，但又不具有现实客体的其他各种复杂性质的“理想对象”。比如：在几何中，为了便于探讨现实事物的形状、大小和空间关系，就把形态各异的物体抽象成空间几何图形：把针尖、笔头、雨点、起点抽象为没有大小的点，以此来强调它所占的空间位置很小;把一根杆、一根绳子、一根铁丝等抽象为没有宽度的线;把一张纸、一块板等抽象为没有厚度的面等。事实上

10、，点、线、面这样的理想客体在现实中是不存在的，人们至多只能找到它们的近似对应物。所以，几何概念都是理想化的产物。一般地，数学抽象都具有理想化的特征。 2.1.2.模式化特征 “数学就是模式的科学，数学家在数中、在空间中，在科学中、在计算中以及在想象中寻找模式，数学理论解释模式间的关系;函数和映射、算子和映射将一类模式与另一类模式联系起来，产生稳定的数学结构。数学应用则是利用这些模式解释和预测符合它们的自然现象。原有的模式可以启发新的模式，常常导致模式的模式。数学正是通过这种方式，按照其自身的逻辑，从科学的模式开始，通过添加由先前模式导出的所有模式，而更加完备。” 数学的本质特征就是在从模式化的

11、个体作抽象的过程中对模式进行研究，数学抽象表现为借助明确的定义方式去构造产生新的模式的过程，即模式建构过程。 通过数学抽象而成的抽象物，当不考虑它与现实原型之间的联系时，它就获得了独立的存在性，成为一种真实的“数学客体”。相对于原型而言，它具有更普遍的意义，它所反映的已不是原型这一特定事物或现象的特征，而是更大一类事物的共同特征，即事实上它已成为一种模式。比如：在高等数学中，我们知道瞬时速度可以看成是距离对时间的导数，即v=dsdt;同样，电流强度I是电量Q对时间t的导数，表示为I=dQdt;切线斜率是曲线y=yx的纵坐标y对横坐标x的导数，记为tan=dydx。如果将距离、电量、曲线等一类事

12、物都抽象成关于x的函数fx，那么刻画函数变化率这一普遍意义的现象，可以用导数这一标准形式模式来表示。这样，数学概念都可以看成是量化模式。 2.1.3.形式化特征 对客观事物或现象的数学抽象就是在数量上和空间上将其形式与内容分离，舍弃内容，保留形式。所以，数学抽象物可看成是脱离现实内容的纯形式的东西，数学研究对象是纯形式化的思想材料，整个数学是一个纯形式化的思想体系。如函数，客观世界中并没有函数，它是人们从现实世界中根据数量相依关系中抽象出来的思想材料。没有抽象，就不会有函数。 再比如：下面两个问题，如果从质的方面看，显然是两个不同的问题，但若从量的属性角度来看，却是同一个标准形式。 （1）某人

13、有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？ （2）有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方式？ 这类问题，如果舍去它们质的内容，那么它们就可以抽象成如图所示的形式： 2.1.4. 符号化特征 作为数学研究对象的抽象的思想材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述，而是被进一步符号化。尤其在现代数学中，每抽象出一个概念，几乎都要赋予符号表示。正如怀海特所说：“这些术语和符号的引入，往往是为了理论的易于表达和解决问题。特别是在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。”其实，“如果没有合适的数学

14、符号就不能将算术推向前进;没有专门的符号和公式就不可能有现代数学”，符号是形式化的高级表现形态。 数学符号是数学共同体专门约定的一种人工语言符号，用以表达和交流数学信息。它不仅可以通过事先约定的含义来简化或代替某些数学理论的语言叙述，而且给出了抽象数学概念的具体含义，可以直接标志数学所研究的对象，还能以符号和符号公式的方式简明地概括其思维过程中的复杂推理和定理。数学符号按其结构可分为基本符号、组合符号和公式符号。基本符号是表示基本概念的符号，如+表示相加，x表示未知数，a表示某一个数等;若干个基本符号的组合就形成了组合符号，它表示复杂的数学概念，a+b2表示a与b的和的平方，a2+b2表示a与

15、b的平方和;如果组合符号中的关系符号按一定规则相连，就形成公式符号，它表达一个判断或一个命题，如a+b2=a2+2ab+b2。多个公式符号就组成数学中的推理。由于任何符号都是由基本符号组成的，而每个基本符号都是充分简缩的词或句子，所以用符号表达的概念、判断、命题、推理，要比自然语言简洁和明确得多。符号越多就越加形式化，数学内容就越加抽象。由于符号形式易于运算和推理，因此研究数学时，可以暂时撇开符号的意义而仅着眼于形式，当符号与一定的概念单值对应时，思想的操作可以转换为对符号的操作，从而出现了数学特有的分析问题、研究问题的规则：内容的分析往往让位于形式的变换，而形式的变换则完全由符号来完成。 数

16、学抽象的基本原则是逻辑建构形式化原则，其内涵可概括为：对现实原型进行数学抽象，必须使之舍去现实意义，仅保留其数量上或空间上的形式结构特征，并给抽象物以无歧义性的逻辑精确性和简洁性的形式表述，之后作为具有普遍意义的模式纳入纯粹数学的研究范畴;在纯粹数学研究中，数学抽象就是借助于明确的定义，在已有模式基础上逻辑建构新的模式，建构新的模式应具有一定层次上的普遍性和概括性，在已有的理论的关系上，应做到和谐统一，不会引起有关知识领域的矛盾。 2.2.数学抽象的主要方式 2.2.1.性质抽象 性质抽象就是考察被研究对象某一方面的性质或属性，而抽取量性方面的性质或量性的抽象方法。一般性质抽象包括分离和概括两

17、个步骤，即把被研究对象从它的现实背景中分离出来，舍去客观上与它共存但与研究目的无关的事物，把被研究对象某一方面的性质属性同其他性质属性分离开来;然后对分离出来的性质属性作专门研究，并将所得结论作为一般认识从特定的对象及背景中独立出来，形成概括的纯粹的认识。性质抽象是形成概念的一个重要方法。数学中的概念都是具有一定属性的概念，即都有精确的内涵与外延。要形成某一概念，就必须将反映其内涵的性质抽象出来，并用词语表达出来。在实际抽象过程中，概括通常不是一次完成的，有时需要对两个以上的同类对象进行反复分析、比较才能完成概括而形成概念。比如：从现实生活中圆圆的太阳、圆圆的车轮等抽象出圆的概念，从几种特殊的

18、空间几何体的特点中抽象出多面体的概念等。 2.2.2.关系抽象 数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法。关系抽象在处理问题中经常用到，有时解题的关键就在于一个关系的抽取或建构。比如：运用数学的符号化语言，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系，抽象为方程、方程组或不等式等数学模型，通过对方程、方程组或不等式的变换求出未知量的值，使问题获解;再比如：运用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识使问题得到解决。下面给出一个简单的例子来说明： 例2在正三棱锥V-ABC中

19、，已知VA与侧面VBC所成的角为，且cos=66，三棱锥的体积为15。求：底面中心到侧面VBC的距离。 思考与分析已知：底棱与侧棱之比小于2，求底面中心O到侧面VBC的距离。由题目可知，关键是求出正三棱锥的侧棱l与底棱的长a，通过已知条件，寻找出未知量l与a的关系式，列出方程求解。 解设正棱锥的侧棱长为l，底棱长为a，根据题意可列出如下方程： 15=1334a2l2-a23，34a2=l2+l2-a24-2ll2-a24?66l=3，a=23， 从而O到侧面VBC的距离为306。 2.2.3.等置抽象 等置抽象是按某种等价关系，抽取一类对象共同性质特征的抽象方法。比如：如从三个苹果、三棵树、三

20、枚棋子这些在数量上具有共同特征的事物中抽取出“自然数3”;集合中的具有等价关系的元素构成的集合，像模p等价类，有理数是整数偶的等价类等都是等置抽象的结果。 2.2.4.无限抽象 “无限”概念是数学研究的一个重要概念，我们称涉及无限概念的抽象为无限抽象。最简单的无限对象是自然数集合n，是经过三个层次抽象而成的，被称为三度抽象物。古代人们在生实践中，用“结绳计数”的方法，由计算个别具体数量而得到个别自然数1，2，等概念。这是第一步抽象。第二步抽象，人们从数个别自然数中发现进行“加一”运算，可以得到后继数，这样无限制地运算下去就得到无限序列：1，2，n，这就抽象出了一般的任意自然数n的概念。第三步，

21、从无限序列：1，2，3，n，发现，每个自然数都具有相同的特征，根据康托的“概括原则”，抽象出一切自然数能构成无穷集合n，从而形成了自然数集合的概念。再比如“一条实线上存在无穷多的点”;“有无穷多个质数”;limnnn+1=1，n=11n2=26，0sinxxdx=2，0+1=0，等都是无限的例子。 无限抽象是数学中一种重要的抽象方法，是人们认识无限、把握无限的手段。它一方面要求人们认识到对象的无限变化的不能穷尽的过程，又要求人们能从整体上理解它的结构，通过一些数学运算完成这种无限过程。缺少无限抽象能力的人是不能理解有关无限的数学及高深的数学的，如数学归纳法原理、极限概念及现代数学。 2.2.5

22、.弱抽象 所谓弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或侧面加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式。比如： 1.在代数中， 1）正比例函数一次函数代数函数函数; 2）数的概念的扩充 2.在几何中， 1）特殊直线形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形）一般直线形（一般三角形）; 2）圆椭圆圆锥曲线 3）R1，R2，R3，Rn内积空间线性赋范空间距离空间 3.在三角学中， 1）特殊角小于360度的角大于360度的角任意角 2）两个角和（差）（或二倍角）问题三个角的和（差）（或三倍角）问题n个角的和（差）（或n倍角）问题 4.在微积分中， 1）一元二元n元 2）一阶重二阶重n阶重

23、 以现实事物或现象为原型进行基本概念的抽象就是一种弱抽象，它舍弃了事物或现象的一些物理或化学特征而仅抽取量性特征;以建立起的概念或模式作为原型而抽象形成更广的、以原型作为其特例的数学概念或模式的抽象也是弱抽象。它舍弃了原型的一些本质特征。如：从全等三角形概念出发，建构相似三角形、等积形概念的过程就是一种弱抽象的过程，它舍弃了全等三角形三边相等属性，分别保留了“形状相同”及“面积相等”的特性，或者说舍弃了大小的要求，仅保留结构形式的相同，扩大了外延，缩小了内涵。又如平方差公式a+ba-b=a2-b2的抽象过程也是一种渐进弱抽象的过程，因为在初步抽象阶段，我们仅认识到a和b是数，是单个字母或单项式

24、。随着抽象程度的提高，将a、b的特征逐渐一般化、普遍化。因此，从实质上讲，这是一个弱抽象的过程。一般情况下，一般原理型抽象都是一种渐进弱抽象过程，结果使原理更普遍，范围更广。数学中，一些重要概念的历史演进及命题形成实质上都是一系列弱抽象的过程。比如：函数概念的历史演变，也是经过一系列弱抽象的过程而形成： 就拿早期的函数概念代数函数来讲，它是变量和常数经过有限次代数运算而构成的，适用范围窄，解析函数范围就扩张了，对于变量和常数可以经过有限次或无限次运算得到一个解析式，如：sinx=n=0-1n2n+1！x2n+1=x-x33！+x55！-，就是解析函数。将变量函数经过弱抽象，即用任意对象去取代具

25、体的数量，并用集合论的数学语言来表述，就可获得更一般的映射的概念。 2.2.6.强抽象 所谓强抽象是指通过强化对象的特征，即增加对象的新特征来完成抽象建构，以形成新概念或模式的抽象方式。就抽象过程、结果形式而言，强抽象可以看成是一些概念的适当组合，因此，强抽象是作为数学抽象的特征形式逻辑建构的最好体现，它可以使我们体会到数学抽象的建构特征。但是，强抽象中增加的新特征往往不是现成的，其抽象往往具有创造性。一般而言，在原型中引进的新特征，应是原型中的部分对象所具有的。所以，强抽象的实质就是对原型中的部分或子类对象的再抽象。例如： 1.在几何中， 1）任意三角形等腰三角形等边三角形 2）任意三角形锐

26、角三角形、直角三角形、钝角三角形 3）四边形平行四边形矩形正方形 2.由自然数倍数最小公倍数 3.由方程一次方程一元一次方程 4.在分析中， 1）微分中值定理：罗尔定理拉格朗日定理柯西定理 2）函数可积条件：连续有限个间断点可数个间断点 5.由四边形逐次抽象能派生出一系列特殊四边形概念，如图所示： 图中的符号“（+）”表示强抽象的关系。这些概念的抽象过程就是一系列的强抽象的过程，即前一个概念比后一个概念更具一般性。 3.数学抽象方法在数学建模中应用 数学抽象方法的一个直接应用就是用于现实问题的抽象建模上，通过建立数学模型来研究、解决问题。数学建模一般应遵循简化原则、可推演原则、反映性原则。建立

27、现实原型问题的数学模型时，一般来说有以下几个步骤： 1）分析现实原型的研究对象及关系结构的性质，以确定所要建立数学模型的类别; 2）确定能反映所要研究问题的基本量和基本关系，分辨哪些量和量的关系是主要的，哪些量的关系是次要的，哪些量是可忽略不计的。必要时，要做一些假设。 3）进行数学抽象。对原型问题合理简化，取主舍次，以便进行数学描述，进而理想化、数学化，用数学语言和符号表示各种量的关系，并抽象为一个数学模型; 4）对数学模型进行数学推导和计算，得出数学结果; 5）检验模型。把数学模型应用于原型，得出实际原型问题的解，或得到检验，基本符合原型问题的数学模型是一个成功的模型，否则，就要重新调整或

28、重新考虑，找出问题的原因所在，调整或重新建立模型。 下面给出一个数学建模的具体例子，说明数学抽象方法在数学建模中的应用。 例3高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即到达投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，问24小时内能否完成防洪堤坝工程？说明理由。 （1）分析题目。把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标

29、与条件的关系）：各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量2024车?小时。 （2）建立数学模型。把问题主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题。设从第一辆车投入工作开始算起，各车的工作时间为a1，a2，a3，a25小时，依题意，这些数组成一个公差为d=-13（小时）的等差数列，且a1241。 （3）求解。把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。本题有两种方案： 方案1：由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知，每辆车每小时的工作效率为1480，若在24小时内能完成工程，则a1480+a2480+a254801（2） 即12a1+a25254802a1-2431925，从而a12315

30、，由于2315<24，可见a1的工作时间满足要求（1），即工程可以在24小时内完成。 方案2：当 a1=24时，应有a1+a2+a3+a252024，即25a13480，将a13=a1-123=24-4=20代入得：2520480，可见25辆车陆续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量。 （4）评价.对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或预测。 4.数学抽象思想方法的地位与价值 数学科学是客观世界的空间形式和数量关系的产物，数学的一切理论都是抽象思维活动的结果，高度抽象、逐级抽象是数学科学的基本特征。抽象作为数学最基本的特征，并非数学所独有，任何

31、科学都在一定程度上具有这一特性。之所以把抽象性列为数学的第一大特点，是因为数学抽象有其特色和重要价值。数学抽象的特殊性表现在数学中一些概念与真实世界的距离是如此遥远以致常常被看成“思维的自由想象物和创造物”，即数学中所谓的“理想元素”，如无穷远点。 抽象是数学生命的的血液。从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。数学的概念、方法大多是通过对现实世界的事物对象及其关系，通过分析、类比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象得来的。数学应用于实际问题的研究，其关键在于建立一个较好的数学模型。而建立模型的过程，就是一个数学抽象的过程。“抽象”不是目的，不是人为地增加理解难度，而是要抓住事物的本质。通过抽象，可以把表面复杂的东西变得简单，把表面混沌的东西变得有序，把表面无关的东西变得统一。 数学抽象的基本特征，尤其是形式化、符号化的特征，使得作为数学研究对象的思想材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述，而是被进一步形式化、符号化。通过符号形式进行推理和运算，给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。因此，没有数学抽象，就没有数学的发展。抽象是数学发展的重要方法，也是认识数学的基本方法。此外也正是数学的高度抽