历年国际奥数题.docx

1、历年国际奥数题历年国际奥数题第一届（1959）1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设(x+(2x-1)+(x-(2x-1)=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 acos2x + bcos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取

2、一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。第二届（1960）1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2

3、.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - (1 + 2x)2= 43 A. 并求出等号何时成立。3.解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。 4.P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。 5.作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) = c 1/2.3.正方体 ABCDABCD（ABCD、ABCD分别是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方

4、向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形BCCB的边界以方向BCCBB运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4.解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。 5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 3.求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。 4.对任何自然数 n以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数x，求证： 1/sin 2x + 1/sin 4x + . + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.5.a

5、i （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4） |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。 6.在ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于或等于ABC的四分之一。第九届（1967）1.平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1,角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是a cos A + 3 sin A. 2.若四面体有且仅

6、有一边大于1，求证其体积 1/8. 3.k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) . (cm+n - ck)可被乘积 c1c2 . cn整除。 4.任意两个锐角A0B0C0 和 A1B1C1 。考虑所有与A1B1C1相似且外接于 A0B0C0 的所有ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含 C0），试构造出满足此条件的面积最大的ABC。 5.a1, . , a8 是不全为0的实数，令 cn = a1n + a2n + . + a8n ( n = 1, 2, 3, . )

7、，如果数列 cn 中有无穷多项等于0，试求出所有使 cn0 的自然数n。 6.在一次运动会中，连续 n 天内（n1）一共颁发了 m 块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7；依此类推。在最后一天即第 n 天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？第十届（1968）1.求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。 2.试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。 3.a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, . , xn 是满足下述

8、方程组的未知数：axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,.,n-1；axn2 + bxn + c = x1；若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证：a.若 M0，则方程组不止有一个解。 4.求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。 5.令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a0及任何 x0 有 f(x + a) = 1/2 +f(x)-f(x)2 求证 f 是周期函数，并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。 6.对任何自然数 n，试计算下式的值 (n+1)/2 + (n+2)/4 + (n+4)/8 + .

9、 + (n+2k)/2k+1 + . 其中x表示不超过 x 的最大整数。第十一届（1969）1.对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数。 2.令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + . + 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 的整数倍。 3.对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边

10、的长度均为 1。 4.以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，CD垂直AB交于D。K1 是ABC的内切圆， 圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及半圆相切。求证：圆K1、K2 、K3 除AB外还有一条公切线。 5.平面上已给定了 n4个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。 6.给定实数x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满足 x1 0, x2 0, x1y1 z12, x2y2 z22，求证： 8 1 +1 (x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2x1y1 - z12x2y2

11、 - z22并给出等号成立的充分必要条件。第十二届（1970）1.M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： r1r2q = rq1q2。 2.已知0 xi 0, xn-1 0。如果 ab，xnxn-1.x0 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则 xn-1xn-2.x0 表示了 A在a进制下的表示、B在b进制下的表示。求证：ABAB。3.实数 a0, a1, a2, .满足 1 = a

12、0 = a1 = a2 = .，并定义bn =(1 - ak-1/ak)/ak其中求和是k从1到n。a.求证0bn2； b. 设c满足0c c成立。 4.试找出所有的正整数 n 使得集合 n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。 5.四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证： (AB + BC + CA)2 6(AD2 + BD2 + CD2). 并问何时等号成立？ 6.平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。第十三届（1971）1. 令

13、 En = (a1 - a2)(a1 - a3) . (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) . (a2 - an) + . + (an - a1)(an - a2) . (an - an-1). 求证En = 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n2不成立。 2.凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, . , A9，若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1, P2, . , P9 之中至少有两个具有一共同内点。 3.求证能够找到一个由形式 2n - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。 4. 四面体ABCD的

14、所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。求证： a. 如果 DAB+BCD CDA+ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值； b. 如果 DAB+BCD CDA+ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是 2AC sin(k/2)，其中 k=BAC+CAD+DAB。 5.对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。 6.设 A = (aij),其中 i, j = 1, 2, . , n，是一个方阵，元素 aij 都是非负整数。若 i、j使得aij

15、 = 0，则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和 大于或等于n2/2。第十四届（1972）(2m)!(2n)!m!n!(m+n)!1有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。 2.设 n4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。 3.m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。4.试找出下述方程组的所有正实数解： (x12 - x3x5)(x22 - x3x5) = 0 (x22 - x4x1)(x32 - x4x1) = 0 (x32 - x5x2)(x42 - x5x2) = 0(x42 - x

16、1x3)(x52 - x1x3) = 0(x52 - x2x4)(x12 - x2x4) = 0 5.f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程 f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| = 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| = 1.2.能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。 3.考虑所有这样的实数a、b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1 = 0至少有一个实根。试找出 a2 + b2 的最小值。4.一个士兵需

17、要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？ 5.G是具有下述形式且非常值的函数的集合：f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。并且已知G具有这些性质：如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x) 也属于G；如果f属于G，则 f-1(x) = x/a - b/a 也属于G；对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。6.a1, a2, . , an 是正实数，实数 q 满足0

18、q 1，试求出n格实数 b1, b2, . , bn 使得： a.ai bi ，i = 1, 2, . , n； b.q bi+1/bi 1/q ， i = 1, 2, . , n-1； c.b1 + b2 + . + bn (a1 + a2 + . + an)(1 + q)/(1 - q).第十六届（1974）1.三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩

19、家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？ 2.ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是 sin A sin B 0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有n = x2 = . = xn, 以及y1 = y2 = . = yn 都是实数，求证 若z1 ,z2 ,.,zn 是yi 的任意排列则有 (xi-yi)2 =(xi-zi)2上式中左右两边的求和都是i从1到n。 2.令a1 a2 a3 =1，存在无穷多个 an 可以写成an = rai +

20、saj的形式，其中r，s是正实数且j i。 3.任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。 4.令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。 5.判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。 6.找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足： I.对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tnP(x, y)成立；II.对所有实数x、y、z有 P(y +

21、 z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0; III.P(1, 0) = 1。第十八届（1976）1.平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。 2.令P1(x) = x2 - 2, Pi+1 = P1(Pi(x), i = 1, 2, 3, .，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。 3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。 4.试将197

22、6分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。 5.n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 = i = n, 1 = j = m）。还有m个未知数x1, x2, . , xm满足下面n个方程：ai1x1 + ai2x2 + . + aimxm = 0, 其中i = 1, 2, . , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1, x2, . , xm）使得|xi|2是一给定整数，Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。求证：Vn 中存在一数r，

23、它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。） 4.定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)=0对所有实数x都成立，求证 a2 + b2 = 2 且 A2 + B2 f(f(n)对所有正整数n都成立，则f(n) = n对每个n都成立。第二十届（1978）1.m、n都是正整数且nm。如果1978m 和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。 2.P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三

24、点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹。 3.两不交集合f(1), f(2), f(3), . 和g(1), g(2), g(3), . 的并集是全部的正整数，其中f(1) f(2) f(3) .，g(1) g(2) g(3) =1/k；上式中两边的求和都是k从1到n。6.某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,.,1978。求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。第二十一届（1979）1.m,n是满足下述条件的正整数: m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + . - 1/1318 + 1/1319.求证：m|1979。 2.一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。 3.平面上的两个圆相交