数学建模线性规划和整数规划实验.docx

1、数学建模线性规划和整数规划实验1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题:（i）若用35元可以买到1桶牛

2、奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶? (ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划? (2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题: (i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资1

3、50元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2480;x1+x250;3*x1100;X10,x20end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000 Total solver iterations

4、: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 2.000000 3 0.000000 48.00000 4 40.00000 0.000000Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.0000

5、0 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 480.0000 53.33333 80.00000 3 50.00000 10.00000 6.666667 4 100.0000 INFINITY 40.00000分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。）从计算结果可以看出，多增加一桶可以获利48元，大于35元，因此可以做此项投资，在结果显示中，修

6、改相关参数，可得还可以再购买10桶。）从结果中可以看出，增加一小时劳动时间可以增加利润两元，因此，若聘用临时工人以增加劳动时间，工人每小时的工资应不超过2元钱。）从程序的运行结果看，A产品系数变化范围为64到96，当A1产品获利增加到30元时，系数变化为30*3=9096，因此，不用改变生产计划。2）由题意可知，对产品做进一步的深加工，设用以生产A1的为A1桶，A2的为A2桶，其中加工成B1B2的千克数位x和y千克，编写如下程序：max=72*A1+64*A2+8.2*X+5*Y;A1+A2=50;12*A1+8*A2+2*X+2*Y=480;3*A1=0;3*A2-Y=0;运行以上程序，得到

7、如下结果： Global optimal solution found. Objective value: 3460.800 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost A1 8.000000 0.000000 A2 42.00000 0.000000 X 24.00000 0.000000 Y 0.000000 1.520000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3460.800 1.000000 2 0.000000 37.92000 3 0.000000 3.260000 4 76.000

8、00 0.000000 5 0.000000 -1.680000 6 126.0000 0.000000从上面的结果可以看出，50桶牛奶中，8桶用于生产产品A1，42桶用于生产产品A2，且其中用以加工B1产品的A1为24千克，而A2不需要，可获得的最大利润为3460.8元。）从结果可以看出，每增加一桶牛奶可赚钱37.92元大于30，每增加一小时可赚钱3.26元大于3，因此应做此项投资。若投入150元，可买5桶，所得利润分别为：39.6和13元。）从灵敏度分析可知，B1和B2获利10%的波动对生产销售计划没有影响，而B1获利减少10%对生产销售计划有影响。2、下料问题 用长度为500厘米的条材，

9、截成长度分别为98厘米和78厘米二种毛坯，要求共截出长98厘米的毛坯10000根，78厘米的20000根，问怎样截法，(1)使得所用的原料最少?(2)使得所剩余的边料最少?试分析两种问题的答案是否相同.解：由已知可得现有500厘米的条材，要截出98厘米和78厘米两种不同的长度的条材，可选择的模式如下表所示：选择模式98厘米条材根数78厘米条材根数余料/厘米150102413033250423705151260632（1）欲使所用原料最少，建立如下数学模型，其中xi为采用第i中模式的切割根数：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5=10000;x

10、2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6=20000;运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 5200.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 1200.000 0.000000 X2 0.000000 0.4000000E-01 X3 0.000000 0.8000000E-01 X4 0.000000 0.1200000 X5 4000.000 0.000000 X6 0.000000 0.4000000E-01 Row Slack

11、or Surplus Dual Price 1 5200.000 -1.000000 2 0.000000 -0.2000000 3 0.000000 -0.1600000从运行结果可以看出，欲使所用原料最少，应采用第一种模式的截法1200根，第五种模式的截法4000根，做简单计算可得余料为60000cm。（2）欲使剩余的边料最少，建立如下数学模型，并运行相应程序：min=10*x1+30*x2+50*x3+70*x4+12*x5+32*x6;5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5=10000;x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6=20000;运行程序，结果如下： Global

12、optimal solution found. Objective value: 60000.00 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 1200.000 0.000000 X2 0.000000 20.00000 X3 0.000000 40.00000 X4 0.000000 60.00000 X5 4000.000 0.000000 X6 0.000000 20.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 60000.00 -1.000000 2 0.000000 -2.00

13、0000 3 0.000000 -2.000000从运行结果可以看出，最少边料依旧是60000cm，采用第一种模式裁1200根，采用第5中模式裁4000根，这与欲使使用原料最少的结果是一致的。3、投资问题假设投资者有如下四个投资的机会.(A)在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息.(B)在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元.两年后取息，可重新将本息投入生息.这种投资最多不得超过20万元.(C)在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息0.6元，这种投资最多不得超过15万元.(D)在三年内，投资人

14、应在第三年年初投资，一年内每元可获利息0.4元，这种投资不得超过10万元.假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30万元的资金可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益.解：用xiA，xiB，xiC，xiD（i1，2，3）表示第i年初给项目A，B，C，D的投资金额，则max 1.2x3A1.6x2C1.4x3Dstx1A+x1B=30 1.2x1A=x2A+x2C x3Bx3A+x3D=1.2x2A+1.5x1B x1B20 x2C15 x3D10程序如下：MODEL: 1max=1.2*X3a+1.6*X2c+1.4*X3d; 2X1a+X1b=30; 3X2a+X2

15、c-1.2*X1a=0; 4X3b+X3a+X3d-1.2*X2a-1.5*X1b=0; 5bnd(0,X1b,20); 6bnd(0,X2c,15); 7bnd(0,X3d,10); END运行结果如下： Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 57.50000 Variable Value Reduced Cost X3A 16.25000 0.000000 X2C 15.00000 -0.1000000 X3D 10.00000 -0.2000000 X1A 12.50000 0.000000 X1B

16、17.50000 0.000000 X2A 0.000000 0.6000000E-01 X3B 0.000000 1.200000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 57.50000 1.000000 2 0.000000 1.800000 3 0.000000 1.500000 4 0.000000 1.200000因此，第一年在机会A上投资12.5万元，在机会B上投资17.5万元，第二年在机会C上投资15万元，第三年在机会A上投资16.25万元，在机会D上投资10万元，可获得最大收益57.5万元。4、工程进度问题某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造

17、工程.每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样.表3.1提供这此项目的基本数据. 工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成.必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分.然而，每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%.每年底，工程完成的部分立刻入住，并目实现一定比例的收入.例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是0.4 x 50(第二年)+0.4 x 50(第三年)+ 0.4+0.6) x 50(第四年)+ (0.4+0.6) x 50(第五年)=(4x0.4+2x0.6)x50(单位:万元).试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的

18、总收入达到最大.解：设某年某工程的完成量为Xij，i表示工程的代号（i=1，2，3），j表示年数（j=1，2，3，4，5）如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。另有一个投入与完成的关系，既第一年投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%。工程1利润：50 X11+50 (X11+X12)+50(X11+X12+X13)+50(X11+X12+X13) 工程2利润：70X22+70(X22+X23) +70(X22+X23+X24) 工程3利润：150X31+150(X31+X32)+150(X31+X32+X33) +150(X31+X32+

19、X33+X34) 工程4利润：20X43+20(X43+X44)Max ( 50 X11+50 (X11+X12)+50(X11+X12+X13)+50(X11+X12+X13)+ (70X22+70(X22+X23) +70(X22+X23+X24)+( 150X31+150(X31+X32)+150(X31+X32+X33) +150(X31+X32+X33+X34)+( 20X43+20(X43+X44)s.t. 5000X11+15000X31=30005000X12+8000X22+15000X32=60005000X13+8000X23+15000X33+1200X43=70008

20、000X24+15000X34+1200X44=70008000X25+15000X35=7000X11+X12+X13=1X22+X23+X24+X250.25X22+X23+X24+X251X31+X32+X33+X34+X350.25X31+X32+X33+X34+X351X43+X44=1全为大于零的数Lingo语句：Model:Max=50*(4*X11+3*X12+2*X13) +70*(3*X22+2*X23+1*X24)+150*(4*X31+3*X32+2*X33+1*X34)+20*(2*X43+1*X44);！约束条件5000*X11+15000*X31=3000;500

21、0*X12+8000*X22+15000*X32=6000;5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000;8000*X24+15000*X34+1200*X44=7000;8000*X25+15000*X35=7000;X11+X12+X13=1;X22+X23+X24+X25=0.25;X31+X32+X33+X34+X35=0.25;X43+X44=1;End输出结果： Global optimal solution found. Objective value: 523.7500 Total solver iterations: 9 Variable

22、 Value Reduced Cost X11 0.000000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X13 1.000000 0.000000 X22 0.000000 20.00000 X23 0.000000 10.00000 X24 0.2250000 0.000000 X31 0.2000000 0.000000 X32 0.4000000 0.000000 X33 0.5333333E-01 0.000000 X34 0.3466667 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X44 0.000000 8.000000 X25 0.2

23、500000E-01 0.000000 X35 0.000000 18.75000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 523.7500 1.000000 2 0.000000 0.3875000E-01 3 0.000000 0.2875000E-01 4 0.000000 0.1875000E-01 5 0.000000 0.8750000E-02 6 6800.000 0.000000 7 0.000000 6.250000 8 0.7500000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 18.75000 11 0

24、.7500000 0.000000 12 0.000000 17.50000结果分析：要获得最大利润，需在第一年投资3000万的资金在工程3上，第二年投资6000资金在工程3上，第三年投资5000万在工程1上，1200万在工程4，800万在工程3上，第四年投资1800万在工程2上，5200万在工程3上，第五年投资200万在工程2上，剩余6800万。获得的最大利润523.75万元。5、生产计划与库存问题All-Flavors冰淇淋店在整个的夏季的三个月中(六月、七月和八月)对于冰淇淋的需求估计分别是500、600和400箱.有两个冰淇淋批发商1和2向All-Flavors供货.虽然这两个供应商的

25、冰淇淋的风味不同，但可以互相交换.任何一个供应商能够提供冰淇淋的最大箱数是每月400箱.还有，这两个供应商的供货价格是照下面的时间表(见表3.2)逐月变化.为了利用价格波动，All-Flavors购买的冰淇淋可以多于某个月的需求，并目_储存剩余的部分以满足以后各月的需求.冷藏一箱冰淇淋的成本是每月5美元.实际上可以假定，冷藏成本是当月持有冰淇淋平均箱数的函数.律立一个从这两个供应商购买冰淇淋的最优采购计划.解：1. 数学模型原程序。model:!目标函数;min=x1*100+x2*110+x3*120+y1*115+y2*108+y3*125+z1*5+z2*5;!约束条件;x1400;x2

26、400;x3400;y1400;y2400;y3500;x1+y1+x2+y21100;x1+y1+x2+y2+x3+y3=1500;z1=x1+y1-500;z2=x1+y1+x2+y2-1100;end2. lingo软件求解结果。Objective value: 163700.0Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 400.0000 0.000000 X3 200.0000 0.000000 Y1 100.0000 0.000000 Y2 400.0000 0.0000

27、00 Y3 0.000000 5.000000 Z1 0.000000 5.000000 Z2 200.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 163700.0 -1.000000 2 0.000000 15.00000 3 0.000000 5.000000 4 200.0000 0.000000 5 300.0000 0.000000 6 0.000000 7.000000 7 400.0000 0.000000 8 300.0000 0.000000 9 200.0000 0.000000 10 0.000000 -120.0000

28、 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 -5.0000003. 对结果的 分析。采购计划是：供应商1三个月依次供应量为400、400、200，供应商2三个月依次供应量为100、400、0，库存第一个月为0，第二个月为200。三个月最小投入163700美元。6、志愿者排班问题 (1)一家医院雇用志愿者作为接待处的工作人员，接待时间是从早上8:00到晚上10:00.每名志愿者连续工作3小时，只有在晚上8:00开始工作的人员除外，他们只工作2小时.对于志愿者的最小需求可以近似成2小时间隔的阶梯函数，其函数在早上8:00开始，相应的需求人数分别是4、6、8、6、4、6、8.

29、因为大多数志愿者是退休人员，他们愿意在一天的仟何时间(早上8:00到晚上10:00)提供他们的服务.然而，由于大多数慈善团体竞争他们的服务，所需的数目必须保持尽可能的低.为志愿者的开始时间确定最优的时间表.(2)在问题Cl)中，考虑到午饭和晚饭，假定没有志愿者愿意在中午12:00和晚上6:00开始工作，确定最优的时间表.解：时间段X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X14人数8X149X1X210X1X2X3611X2X3X412X3X4X5813X4X5X614X5X6X7615X6X7X816X7X8X9417X8X9X1018X9X10X11619X10X11X1220X11X12X13821X12X13X1