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1、弯矩曲率计算示例弯矩曲率计算示例北京交通大学北京交通大学主要内容主要内容弯矩曲率一般分为两个阶段进行：弯矩曲率一般分为两个阶段进行：阶阶段段一一阶阶段段二二梁未开裂梁未开裂一般假定为弹性阶段一般假定为弹性阶段梁开裂梁开裂应力应变关系为非线性应力应变关系为非线性弯矩曲率曲线弯矩曲率曲线开裂开裂破坏破坏弯矩曲率曲线弯矩曲率曲线曲线上的曲线上的6 6个控制点个控制点1.初始阶段，即外弯矩为零，初始阶段，即外弯矩为零，2.预应力筋水平处混凝土的应变为零。预应力筋水平处混凝土的应变为零。3.裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度，裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度，4.梁截面顶纤维混凝土压应变达到梁截面顶纤维混

2、凝土压应变达到5.梁截面顶纤维混凝土压应变达到梁截面顶纤维混凝土压应变达到6.梁截面顶纤维混凝土压应变达到梁截面顶纤维混凝土压应变达到预应力混凝土梁预应力混凝土梁混凝土：混凝土：本构关系本构关系抗压抗拉强度抗压抗拉强度预应力混凝土梁预应力混凝土梁钢筋：钢筋：假定预应力高强高筋的极限强假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等度和其屈服强度相等预应力筋有效预应力预应力筋有效预应力弹性模量弹性模量仅预应力筋有效力作用梁底混凝土达到抗拉强度，裂缝出现给定顶部应变，计算弯矩曲率弯矩曲率计算弯矩曲率计算1 1 初始阶段初始阶段无外力作用，仅考虑有效预应力作用无外力作用，仅考虑有效预应力作用毛截面特征值

3、毛截面特征值 计算有效预应力及偏心距引起的应力应变计算有效预应力及偏心距引起的应力应变 1 1 初始阶段初始阶段应力图应力图应变图应变图1 1 初始阶段初始阶段应变图应变图当外力矩（包括自重）当外力矩（包括自重）时，截面时，截面曲率曲率：普通钢筋的压普通钢筋的压应力应力:预应力筋在有效应力下的预应力筋在有效应力下的应变应变:2 2 加载阶段加载阶段应变图应变图预应力钢筋除混凝土应变为零时，预应力钢筋除混凝土应变为零时，预应力筋的预应力筋的应力应力为为:此时，此时，预应力筋中的预应力筋中的拉力拉力为：为：加载阶段加载阶段，是指在外弯矩开始作是指在外弯矩开始作用，直到预应力钢筋处的混凝土用，直到预

4、应力钢筋处的混凝土应变为零的阶段。应变为零的阶段。2 2 加载阶段加载阶段2 2 加载阶段加载阶段应力图应力图应变图应变图此阶段结束时，曲率为：此阶段结束时，曲率为：弯矩为：弯矩为：3 3 开裂阶段开裂阶段截面开裂点截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点 在上个阶段，截面底纤维已经存在在上个阶段，截面底纤维已经存在3.06MPa的拉应力，的拉应力，由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为3.7MPa。开裂弯矩为：开裂弯矩为：3 3 开裂阶段开裂阶段由由M M 对对预应力筋预应力筋产生的产生的拉应力拉应力为：为：因此开裂弯矩下，因此开裂弯矩

5、下，预应力筋预应力筋中的应力为：中的应力为：3 3 开裂阶段开裂阶段由由M M 对对非预应力筋非预应力筋产生的产生的拉应力拉应力为：为：因此开裂弯矩下，因此开裂弯矩下，非预应力筋非预应力筋中的应力为：中的应力为：3 3 开裂阶段开裂阶段由纤维应力由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如图所示：而增加的曲率如图所示：应力图应力图应变图应变图3 3 开裂阶段开裂阶段在开裂弯矩作用下，在开裂弯矩作用下，截面的截面的开裂曲率开裂曲率等于阶段（等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和，）的曲率与开裂增加曲率之和，也就是：也就是：开裂弯矩开裂弯矩为：为：4 4 非线性阶段非线性阶段假定假定截面顶纤维混凝土截面

6、顶纤维混凝土应变应变 截面开裂时，顶部纤维截面开裂时，顶部纤维应变应变为：为：因此，在本阶段采用因此，在本阶段采用开裂截面开裂截面分析。分析。即，假设中性轴以下混凝土不起作用。即，假设中性轴以下混凝土不起作用。4 4 非线性阶段非线性阶段应力应变关系应力应变关系符如右图所符如右图所示，符合二次抛物线形曲示，符合二次抛物线形曲线线开裂后，截面扔符合平截面开裂后，截面扔符合平截面假定。根据应力应变关系得假定。根据应力应变关系得到应力图。到应力图。4 4 非线性阶段非线性阶段应变图应变图应力图应力图求压应力合力，对应力求压应力合力，对应力图积分，计算出图积分，计算出合力合力大大小及位置。小及位置。4

7、 4 非线性阶段非线性阶段进行试算，确定中性轴高度。进行试算，确定中性轴高度。1假定中性轴高度假定中性轴高度 c=300mm受压区总压力为受压区总压力为:4 4 非线性阶段非线性阶段预应力钢筋预应力钢筋在加载阶段，计算出预应力处混凝在加载阶段，计算出预应力处混凝土应变为零时，钢筋的土应变为零时，钢筋的应变应变。此时相加，即得到钢筋的总应变。此时相加，即得到钢筋的总应变。预应力钢筋预应力钢筋处于弹性工处于弹性工作阶段作阶段4 4 非线性阶段非线性阶段普通钢筋普通钢筋普通钢筋普通钢筋处于弹性工处于弹性工作阶段作阶段4 4 非线性阶段非线性阶段合力计算合力计算预应力与非预应力筋预应力与非预应力筋中的

8、总拉力：中的总拉力：受压区合力：受压区合力：表面中性轴高度太大，需重新试算。4 4 非线性阶段非线性阶段2假定中性轴高度假定中性轴高度 c=240mm预应力与非预应力筋预应力与非预应力筋中的总拉力：中的总拉力：受压区合力：受压区合力：表面中性轴高度偏小，需再次试算。4 4 非线性阶段非线性阶段3假定中性轴高度假定中性轴高度 c=247mm预应力与非预应力筋预应力与非预应力筋中的总拉力：中的总拉力：受压区合力：受压区合力：表面中性轴高度合适，可进行下一步计算4 4 非线性阶段非线性阶段对受压区合力位置取矩，对受压区合力位置取矩，得此时截面所受弯矩：得此时截面所受弯矩：曲率：曲率：4 4 非线性阶

9、段非线性阶段假定假定截面顶纤维混凝土截面顶纤维混凝土应变应变 用同样方法求解，得到：用同样方法求解，得到：普通钢筋达到屈服普通钢筋达到屈服 4 4 非线性阶段非线性阶段假定假定截面顶纤维混凝土截面顶纤维混凝土应变应变 用同样方法求解，得到：用同样方法求解，得到：普通钢筋达到屈服普通钢筋达到屈服预应力钢筋达到屈服预应力钢筋达到屈服 阶段四阶段四阶段三阶段三阶段二阶段二阶段一阶段一计算结果汇总计算结果汇总各个阶段弯矩曲率汇总如下：各个阶段弯矩曲率汇总如下：曲率曲率（rad/mm）+4001560+17.0574.1（6）+4001494+10.5555.3（5）+245.41253+4.05432.3（4）+16.51067.5+0.993300.5（3）+12.71064.8+0.917289（2）-77.81000-0.933 0（1）非预应力筋应力非预应力筋应力（MPa）预应力筋应力预应力筋应力（MPa）外力矩外力矩控制点控制点弯矩曲率曲线弯矩曲率曲线依据上述六个控制点依据上述六个控制点，绘制弯矩曲率曲线，绘制弯矩曲率曲线Origin作图如下：作图如下：谢谢！谢谢！