金融工程8-二叉树定价2011.ppt

1、第九章第九章 二叉树模型二叉树模型范范 闽闽金融工程研究中心金融工程研究中心Dr.Fan1教学目的与要求二二叉叉树树图图方方法法是是为为期期权权和和其其他他衍衍生生证证券券进进行行估估值值的的一一个个十十分分有有用用的的方方法法。本本章章对对这这一一方方法法在在股股票票期期权权估估值值上上的的应应用用进进行行了了介介绍绍。通通过过本本章章的的学学习习，要要求求能能够够掌掌握握运运用用单单步步和和两两步步二二叉叉树树图图方方法法对对欧欧式式期期权权和和美美式式期期权权进进行行估估值值的的方方法法，理理解解并并掌掌握握衍衍生生证证券券估值中的风险中性原理。估值中的风险中性原理。Dr.Fan2教学重

2、点及难点一、用二叉树图方法对期权进行估值的基本思路一、用二叉树图方法对期权进行估值的基本思路二、风险中性估值原理二、风险中性估值原理 三、三、Delta的含义和计算的含义和计算Dr.Fan39.1 单步二叉树图单步二叉树图9.2 风险中性估值风险中性估值9.3 两步二叉树图两步二叉树图9.4 美式期权估值美式期权估值9.5 Delta9.6 二叉树模型在实际中的应用二叉树模型在实际中的应用Dr.Fan49.1 单期二叉树模型单期二叉树模型证券价格的连续波动证券价格的连续波动证券价格的波动是一个连续不断的过程。证券价格的波动是一个连续不断的过程。PtPt-1+t,tN(0,2)假设如果新的冲击出

3、现，证券价格是随机游走的。假设如果新的冲击出现，证券价格是随机游走的。证券价格变动简单化证券价格变动简单化在非常短的时间内，可以假定证券价格波动只有两种可在非常短的时间内，可以假定证券价格波动只有两种可能：上升或下降。能：上升或下降。PtPt(1+u),0.5;Pt(1+d),0.5Dr.Fan5收益率与方差收益率与方差概率密度概率密度价格价格Pt=Pt-1+tPt=Pt-1+tPt=Pt-1+x+tDr.Fan61.10.91.01.20.80.90.71.11.31.0简单二叉树模型简单二叉树模型0123timeDr.Fan7 9.1.1 二叉树图的构造二叉树图的构造问题问题 假设一种股票

4、当前价格为假设一种股票当前价格为$20，三个月后的，三个月后的价格将可能为价格将可能为$22或或$18。假设股票三个月内不。假设股票三个月内不付红利。有效期为付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行个月的欧式看涨期权执行价格为价格为$21。如何对该期权进行估值？。如何对该期权进行估值？Dr.Fan8股票价格运动的一个例子股票价格运动的一个例子股票价格=20股票价格=22期权价格=1股票价格=18期权价格=0图图9-1 单步二叉树模型（时间单步二叉树模型（时间3个月，无风险利率个月，无风险利率12%）Dr.Fan9 思路思路 根据期权的特性，显然可以用如图根据期权的特性，显然可以用如图9-1所示

5、的所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。构造一个证券组合，该组合包含一个构造一个证券组合，该组合包含一个股股票股股票多头头寸

6、和一个看涨期权的空头头寸。多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。Dr.Fan10 由图由图9-1可知，当股票价格从可知，当股票价格从$20上升到上升到$22时，该时，该证券组合的总价值为证券组合的总价值为22-1；当股票价格从当股票价格从$20下降到下降到$18时，该证券组合的总价值为时，该证券组合的总价值为18。完全可以选取某个完全可以选取某个值，使得该组合的终值对在上值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。险组合。由由 221=18 得得 =0.25 因此，一个无风险的组合由因此，一个无风险的组合由0.25股

7、股票和一个期权股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。Dr.Fan11 在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。风险利率。假设无风险利率为年率假设无风险利率为年率12。则该组合的现值应为：。则该组合的现值应为：4.5e-0.120.25=4.3674 股票现在的价格已知为股票现在的价格已知为$20。用。用f表示期权的价格。表示期权的价格。因此，由因此，由 200.25f=4.3

8、674 得得 f=0.633 如果期权价格偏离如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。，则将存在套利机会。Dr.Fan12另一种求解的思路另一种求解的思路我们也可以构造如下投资组合：我们也可以构造如下投资组合：组合组合A：股的股票和股的股票和B元的现金（或负债，如果元的现金（或负债，如果B0）组合组合B：一单位期权：一单位期权我们希望：我们希望：在期末，组合在期末，组合A与与B的价值都相等（的价值都相等（ST=22或或ST=18）那么，期权的价格那么，期权的价格c就可以由组合就可以由组合A的价格求得的价格求得首先需要确定首先需要确定与与B，可以求解如下方程组：，可以求解如下方程组：22+

9、Be0.120.25=118+Be0.120.25=0求解得到求解得到=0.25，以及，以及B=-4.367因此，因此，f=20+B=0.633Dr.Fan13 9.1.2 一般结论一般结论 考虑一个无红利支付的股票，股票价格为考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基基于该股票的某个衍生证券的当前价格为于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况时刻的盈亏状况。一个证券组合由一个证券组合由股的股票多头和一个衍生证券股的股票多头和一个衍生证券空头构成。空头构成。如果股票价格上升如果股票价格上升,在有效期末该

10、组合的价值为：在有效期末该组合的价值为：Sufu 如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：Sdfd Dr.Fan14SfSufuSdfd图图9-2 单步二叉树图中的股票价格与衍生证券价格单步二叉树图中的股票价格与衍生证券价格Dr.Fan15 当两个价值相等时当两个价值相等时 Su-fu=Sd-fd 即即 （9.1）该组合是无风险的，收益必得无风险利率。该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在在T时刻的两个节点之间运动时，时刻的两个节点之间运动时，是衍生证券价是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。格变化与股票价格变化之比。Dr.Fan16 用用r表

11、示无风险利率，该组合的现值应为：表示无风险利率，该组合的现值应为：而构造该组合的成本是：而构造该组合的成本是：因此因此 Dr.Fan17 将式（将式（9.1）代入上式，得到）代入上式，得到 （9.2）其中其中 （9.3）运用单步二叉树图方法，式（运用单步二叉树图方法，式（9.2）和）和（9.3）就可为衍生证券估值。）就可为衍生证券估值。Dr.Fan18 9.1.3 股票预期收益的无关性股票预期收益的无关性 衍生证券定价公式（衍生证券定价公式（9.2）并没有用到股票上）并没有用到股票上升和下降的概率。这似乎不符合人们的直觉，因升和下降的概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假设假设如果股

12、票价格上升的概为人们很自然地假设假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，看率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。跌期权的价值则减少。之所以如此，原因在于，我们并不是在完全之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为期权估值，而只是根据标的股票的价的条件下为期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降的为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降的概率。概

13、率。Dr.Fan19 9.2 风险中性估值风险中性估值9.2.1 风险中性估值原理风险中性估值原理 式（式（9.2）中的变量）中的变量p可以解释为股票价格可以解释为股票价格上升的概率，于是变量上升的概率，于是变量1p就是股票价格下就是股票价格下降的概率。这样，降的概率。这样，pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值值按无风险利率贴现的值。Dr.Fan20 同样，按照上式对同样，按照上式对p的解释，在的解释，在T时刻预期时刻预期的股票价格的

14、股票价格 E(ST)=pSu+(1-p)Sd 即即 E(ST)=pS(u-d)+Sd 。将式（将式（9.2）中的）中的p代入上式，得代入上式，得 E(ST)=SerT （9.4）这表明，平均来说，股票价格以无风险利这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，设定上升运动的概率等于率增长。因此，设定上升运动的概率等于p就就是等价于假设股票收益等于无风险利率。是等价于假设股票收益等于无风险利率。Dr.Fan21 我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（世界（risk-neutral world）。）。在这样的世界中，投资在这样的世界中，投资者

15、对风险不要求补偿，所有证券的预期收高效益是无者对风险不要求补偿，所有证券的预期收高效益是无风险利率。式（风险利率。式（9.4）说明，当设定上升运动的概率）说明，当设定上升运动的概率为为p时，我们就在假设一个风险中性世界时，我们就在假设一个风险中性世界。式（。式（9.2）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。中按无风险利率贴现的值。以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设，世界是风险中性的。这就是所谓风险完全可以假设，世界是风险中性的。这就是所谓风险中性（中性

16、（risk-neutral valuation）原理。在风险中性世界原理。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。中得到的价格，在现实世界中也是正确的。Dr.Fan22 9.2.2 风险中性估值举例风险中性估值举例 我们将风险中性估值原理运用于图我们将风险中性估值原理运用于图8-1的例子。的例子。在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利率险利率12。则有：。则有：22p+18(1-p)=20e0.120.25 即即 4p=20e0.120.25-18 得得 p=0.6523 在三个月末尾在三个月末尾:看涨期权价值为看涨期权价值为$1的概率为的概率为0.6523，价值为零的概率为，价值为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望。因此，看涨期权的期望值为：值为：0.65231+0.34770=$0.6523 按无风险利率贴现得期权现在的价值：按无风险利率贴现得期权现在的价值：f=0.6523e-0.120.25=0.633Dr.Fan23 9.3 两步二叉树图两步二叉树图9.3.1 两步二叉树图的构造两步二叉树图的构造 假