1、差倍问题例题差倍问题例题 1. 一条路长100米,从头到尾每隔10米栽1棵梧桐树,共栽多少棵树 (1)路分成1001010段,共栽树10+111棵。棵柳树排成一排,在每两棵柳树中间种3棵桃树,共种多少棵桃树 (2)3(121)33棵。 3、哥哥和弟弟两人3年后年龄和是27岁,弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人年龄的差。哥哥和弟弟今年各多少岁 解题思路:从题中“哥哥和弟弟两人3年后年龄和是27岁”这句话,可以求出哥哥和弟弟今年的年龄和是 27-3221(岁),从“弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人的年龄差”,即哥哥年龄-弟弟年龄弟弟年龄。可以知道哥哥今年的年龄是弟弟年龄的2 倍,弟弟年龄是哥哥年
2、龄的1/2。 解:弟弟今年的年龄(27-32)(1+2)7(岁) 哥哥今年的年龄7214(岁)或(27-32)(1+1/2)14(岁) 141/27(岁) 1994年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的4倍,2002年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的2倍,问妈妈出生是哪一年 解题思路:把1994年姐姐和妹妹的年龄和看作1倍,那么妈妈1994年就是这样的4倍。到2002年过了 8年,姐姐妹妹的年龄增加了8216(岁),要使妈妈年龄仍然是姐姐和妹妹年龄和的4倍,那么妈妈必须增加16464(岁),而实际只增加8岁。现在少增加64-856(岁),就少了2002年姐姐和妹妹这时的年龄和56228(岁),也求出了
3、2002年妈妈的年龄。 解:(2002-1994)216(岁) (164-8)(4-2)28(岁) 妈妈的年龄28256(岁) 妈妈出生年2002-561946(年) 盈亏问题 明明过生日,同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;每人出7元,就多出了4元那么有多少个同学去买蛋糕这个蛋糕的价钱是多少 分析多8元与多4元两者相差8-4=4 (元),每个人要多出8-7=1 (元),因此就知道,共有41=4 (人),蛋糕价钱是 84-8=24(元) 5年前小芳的年龄是小英年龄的7倍,10年后小芳年龄是小英年龄的2倍,问今年小芳、小英两人各多少岁 解题思路:画线段图可以看出,因为10年后小芳的
4、年龄是小英年龄的2倍,所以两人当时的年龄差为小英当时的年龄,即5+10+小英5年前的年龄。因为5年前小芳的年龄是小英年龄的7倍,两人的年龄差为小英当时年龄的6倍。所以15相当于小英5年前年龄的5倍,可求出小英5年前的年龄。 解:(10+5)(7-1-1)3(岁) 小英年龄3+58(岁) 小芳年龄37+526(岁) 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问:母亲今年多少岁 解题思路:6年后母子年龄和是78岁,可以求出母子今年年龄和是7862=66(岁)。6 年前母子年龄和是6662=54(岁)。又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍,可以求出6年前母亲年龄,再求出母亲今
5、年的年龄。 解 母子今年年龄和:7862=66(岁) 母子6年前年龄和:6662=54(岁) 母亲6年前的年龄:54(51)5=45(岁) 母亲今年的年龄:456=51(岁) 答:母亲今年是51岁。 1.哥哥与弟弟三年后年龄之和是27岁,弟弟今年的年龄等于两人的年龄差,问兄岁,弟岁. 甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲像乙现在这样大时,乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁 1、哥哥与弟弟三年后年龄之和是27岁,弟弟今年的年龄等于两人的年龄差,问兄( ) 岁,弟( ) 岁. 解题思路: 27-23=21(岁) 21(2+1)=7(岁) 72=14(岁) 答:哥哥今年14岁,弟弟
6、今年7岁. 2、甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲像乙现在这样大时,乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁 解题思路:由“乙的年龄正好是甲年龄的一半” 再结合“当甲像乙现在这样大时,乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出,甲的年龄要和乙现在的年龄相等,甲要减少几岁,乙要增加相同的岁数,且这个年龄相当于乙的1倍,可以看出:现在乙的年龄如果有2份,甲的年龄就有这样的3份,甲、乙两人的年龄共有221=5(份)。5份对应着两人的年龄和100岁。这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄。 解: 甲、乙两人年龄的份数和是多少 221=5(份) 每份是多少 1005=20(岁) 乙的年龄是多少岁 2
7、02=40(岁) 甲的年龄是多少岁 20(21)=60(岁) 综合算式是:100(221)2=40(岁) 100(221)(21)=60(岁) 答:甲今年60岁,乙今年40岁。 1、兄弟二人的年龄之和是25岁,四年后,哥哥比弟弟大5岁,今年哥哥( )岁,弟弟( ) 岁. 2、今年甲的年龄是乙的年龄的3倍,三年后甲比乙大4岁,今年甲( )岁,乙( )岁. 1.兄弟二人的年龄之和是25岁,四年后,哥哥比弟弟大5岁,今年哥哥 岁,弟弟 岁. 解题思路:在年龄问题中,两人的年龄差是不变的量,在这道题中,兄弟两人相差5岁是不变的量,如果哥哥小5 岁就和弟弟一样大,总数变为25-5=20(岁)相当于弟弟年
8、龄的2倍,可以先求出弟弟的,相应再求哥哥的,或者弟弟大5岁就和哥哥相同,总数变为 25+5=30(岁)相当于哥哥年龄的2倍,可以求出哥哥的,再求弟弟的. 解法一:25-5=20(岁) 202=10(岁) 10+5=15(岁) 答:弟弟10岁,哥哥15岁. 2.今年甲的年龄是乙的年龄的3倍,三年后甲比乙大4岁,今年甲 岁,乙 岁. 解题思路: 4(3-1)=2(岁) 23=6(岁) 答:甲今年6岁,乙今年2岁. 平均数问题 果品店把2千克酥糖, 3千克水果糖, 4千克奶糖混合成什锦糖已知酥糖每千克8元,水果糖每千克11元,奶糖每千克17元问:什锦糖每千克多少钱 解答:要求混合后的什锦糖每千克的价
9、钱,必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数即:什锦糖的总价:28+311+417=117 (元),什锦糖的总千克数:2+3+4=9 (千克) 什锦糖的单价:1179=13 (元) 东东、明明两个人的平均年龄是14岁,明明、亮亮两个人的平均年龄是17岁,那么亮亮比东东大几岁 解答:东东、明明的年龄和是:142=28 (岁),明明、亮亮的年龄和是:172=34 (岁),所以亮亮、东东的年龄差为:34-28=6 (岁) 1、 求和:12345678 2、 计算:1239899100 1、 求和:12345678 解:12345678 (1+8)82 36 2、 计算:1239899100
10、解:1239899100 (1+100)1002 5050 等差数列 1)11、14、17、20、95、98这个等差数列的项数是( )。 (2)今天是周日,再过78天是周几 (1)11、14、17、20、95、98这个等差数列的项数是( )。 解答:(98-11)31=30 (2)今天是周日,再过78天是周几 解答:(781)7=112,所以是周一。 (1)2、4、6、8、28、30这个等差数列有( )项。 (2)2、8、14、20、62这个数列共有( )项。 1)2、4、6、8、28、30这个等差数列有( )项。 解答:(30-2)2+1=15 (2)2、8、14、20、62这个数列共有(
11、)项。 解答:(62-2)6+1=11 1) 1、3、5、7、这个数列从左向右数第10项是( )。 (2) 7、10、13、16、这个数列从左向右数,第41项是( )。 解答:(1)a10=1+(10-1)2=19;(2)a41=7+(41-1)3=127; 1、在10和40之间插入四个数,使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数 2、一个等差数列的首项是6,第8项是55,公差是( )。 1、在10和40之间插入四个数,使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数 解答:d=(40-10)(4+1)=6,插入的数是:16、22、28、34。 2、一个等差数列的首项是6,第8项是55,公
12、差是( )。 解答:d=(55-6)(8-1)=7 和差倍问题 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个,而小灰兔自己又采了10个。这时,大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问:原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇 解答:(160-2010)(51)25(个) 25-1015(个) 160-15145(个) 【小结】这道题是和倍应用题,因为有和、有倍数。但这里的和不是 160,而是1602010150,1倍数却是小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数。线段图如下: 根据和倍公式,小灰兔现有蘑菇(即1倍数) (160-2010)(51)25(个), 故小灰兔原有蘑菇25-101
13、5(个),大白兔原有蘑菇 160-15145(个)。 1、兄弟俩今年的年龄和是30岁,当哥哥像弟弟现在这样大时,弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半,哥哥今年几岁 2、甲对乙说:“我在你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说:“我到你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问:甲、乙二人现在各多少岁 1、兄弟俩今年的年龄和是30岁,当哥哥像弟弟现在这样大时,弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半,哥哥今年几岁 分析:根据条件“当哥哥像弟弟现在这样大时,弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”,说明兄弟二人的 年龄和30岁正好相当5个年龄差.其中哥哥今年年龄相当3个年龄差.所以3053=
14、18(岁)就是今年哥哥的年龄。 答:哥哥今年18岁 2、甲对乙说:“我在你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说:“我到你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问:甲、乙二人现在各多少岁 分析:从已知条件中可以看出甲比乙年龄大,甲乙年龄差这是一个不变的量。 甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”,意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此甲整句话可理解为:乙今年的岁数,减去年龄差,正好是甲今年岁数的一半.乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”,意思是说几年后.因此,乙整句话可理解为:甲今年的岁数,加上年龄差,正好是乙今年岁数的2倍减去7。即甲今+年龄差=2乙今-7,
15、把甲乙的对话用下图表示为: 绳子 用一根绳子测井深。把绳子折三折再去量,井外余3尺;把绳子折四折去量,则距井口1尺。求绳长和井深。 解答:如果我们事先把绳子接上4尺,然后折四折去量井深,此时的绳子正好与井口相平,可见井深就是这条接上后的绳子的尺数除以4。再如果将这条接上4尺后的绳子折成三折去量井深,此时留在井外的绳子不是33=9(尺),而是9+4=13(尺)。这留在井外13尺的绳子长是由于新绳子由四折改为三折去测量而引起的,它其实就是井深,即井深为13尺,于是原来绳子的长度为 134-4=48(尺) 巧算 一只蜘蛛八条腿,一只蜻蜒有六条腿、二对翅膀,蝉有六条腿和一对翅膀。现有这三种小昆虫共18
16、只,共有118条腿和20对翅膀,问每种小昆虫各有几只 解答:这个问题比前几个问题要复杂一些。但仔细考虑,发现蜻蜓和蝉的腿条数都是6,因此可从腿的条数入手。 假设18只全是蜘蛛,那么共有818=144(条)腿。但实际上只有118条,两者相差144-118=26(条),产生差异的原因是6条腿的蜻蜒和蝉都作为8条腿的蜘蛛了,每一只相差2条腿。被当作蜘蛛的蜻蜒和蝉共有262=13(只)。 因此,蜘蛛有18-13=5(只)。 再假设13只昆虫都是蜻蜒,应有132=26(对)翅膀,与实际翅膀数相差26-206(对),每把一只蝉当一只蜻蜒,翅膀数就增加1对,所以蝉的只数是61=6(只),蜻蜓数是13-6=7
17、(只)。 拆数补数 188873 548996 9898203 解答:式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略) 200+861=1061 式=(548-4)(9964) =544+1000=1544 式=(9898102)(203-102) =10000+101=10101 兔和鸡 鸡兔共有脚200只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚160只,求鸡、兔各有几只 解答:鸡有20只,兔有40只。 分析:鸡兔互换之后,脚数少了(只),这说明一定是兔比较多,且比鸡多(只),那么鸡兔原有脚200只,减去20只兔,剩下的鸡兔数量相等,腿数共(只),这时鸡兔头数相同,则兔脚是鸡脚的两倍,
18、故鸡脚有 (只),鸡有 (只),兔有 (只)。 小结:解决鸡兔同笼问题最常用的方法便是假设法。对于基本的鸡兔同笼题,可公式求解:1.如果假设全是兔,那么则有 鸡数=(每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 兔数=鸡兔总数-鸡数 2.如果假设全是鸡,那么就有 兔数=(实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数-每只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数-兔数 求对于复杂一些的鸡兔同笼,可用假设法加减头脚,转化成和差倍问题来解决。常见的思路是:头数相同,则兔脚是鸡脚的两倍;脚数相同,则鸡头是兔头的两倍。 整除问题 有3个连续自然数,最小数能被5整除,中间的数能被4整除,最大数能被3整
19、除。则符合上述条件的最小的三位自然数是哪三个 解答:符合题意的最小三个三位数为115、116、117. 因中间数是4的倍数,显然为偶数,所以最小数和最大数都是奇数。最小数能被5整除,且要满足它是奇数的话,则最小数的末位只能是5.故中间数末位为6,最大数末位为7.最大数末位为7,且满足被3整除,则最小可取117,这时中间数为116,满足被4整除。故符合题意的最小的3个三位连续数是115、116、117 小结:本题是整除性质的综合应用。5、4均是尾数判定,3是和系判定。最小数末位可取0、5,但为了满足中间数被4整除,只能取5,这是一个突破点。 和倍问题 两个数的和是2016,其中一个加数的个位是0
20、,如果把这个0去掉,就正好等于另一个加数的两倍这两个加数各是多少 解答:这两个加数分别是:96和1920. 分析:因为把第一个加数个位上的0去掉,得到了第二个加数的2倍,所以,第一个加数是第二个加数的20倍把第二个加数看作1倍数,第二个加数就是20倍数,这两个数的和2016就是1+20倍的数 根据这个量与倍的对应关系,可先求出第二个加数这两个加数分别是:2010/(1+20)=96,2016-96=1920 小结:本题是和倍问题的一个变形。两数和(倍数+1)=小数(一倍数)。 最值的差 由0、2、5、7、9写成的没有重复数字的四位数中,能被 5整除的最大数与最小数的差是多少 差为7675. 分
21、析:能被5整除的最大四位数是9750,能被5整除的最小四位数是2075,则差是7675 能被5整除的数的个位数为0或5。组成一个新的数时,高位上的数越大,则该数越大,反之亦然。 平均数问题 南南、北北两个人的平均年龄是11岁,东东、南南两个人的平均年龄是15岁,那么北北比东东小几岁 北北比东东小8岁。 分析:南南、北北的年龄和是:112=22 (岁),东东、南南的年龄和是:152=30 (岁),所以北北、东东的年龄差为:30-22=8 (岁) 植树问题 一块长方形地,长为60米,宽为30米,要在四边上植树,株距6米,四个角上各有一棵,共植树多少棵 共植树30棵。 分析:长方形的周长为:(60+
22、30)2=180 (米),株距为6米,封闭图形,根据公式,共植树1806=30 (棵). 和差倍综合练习 1、费叔叔买来三箱水果,总重100千克其中前两箱重量相差11千克,且前两箱的总重量是第三箱的3倍请问:这三箱水果中最重的那箱重多少千克() 答案:43 2、甲、乙、丙三个物体的总重量是93千克,甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻1千克,乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克,那么甲、乙、丙各重多少千克() 答案:46,32,15 3、四年级有3个班,如果把甲班的1名学生调整到乙班,两班人数相等;如果把乙班1名学生调到丙班,丙班比乙班多2人,问甲班和丙班哪班人数多多几人() 答案:甲班比丙班人数
23、多,多2名学生 4、育才小学三年级有3个班,一共有学生126人如果一班比二班多4人,二班比三班多4人,那么这三个班分别有多少人() 答案:46,42,38 5、三国时期,魏国、蜀国、吴国三国交战已知吴国军队比蜀国军队多20万人;魏国军队人数是吴国的2倍,又是蜀国的3倍魏国军队有多少人() 答案:120 6、甲、乙两个人一起去商店买东西,两人一共带了80元钱甲用自己带的钱的一半买了一本漫画书,乙花10元钱买了一盘磁带这时甲的钱恰好是乙的3倍开始时乙带了多少元钱() 答案:20 7、姐妹俩一起做数学、语文两科作业姐姐花在数学作业上的时间比妹妹多10分钟;而妹妹花在语文作业上的时间比姐姐多4分钟已知
24、姐姐一共花了88分钟做完作业,妹妹做数学作业的时间比语文作业少12分钟请问:妹妹做语文作业花了多少分钟() 答案:47 8、游泳池里男生的人数比女生的6倍少11人,比女生的4倍多13人,那么男生有多少人() 答案:61 9、红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班,一共有学生162人如果从甲班转出2个人到乙班,则甲、乙两班人数相同如果这时再从丙班转出3个人到乙班,则乙、丙两班人数相同请问:甲班原来有多少人() 答案:54 和差问题综合 例23、登月行动地面控制室的成员由两组专家组成,两组共有专家125人原来第一组人数较多,所以从第一组调了20人到第二组,即使这样第一组人数仍比第二组多5人原来第一组有多
25、少名专家() 答案:85 例24、一辆公共汽车出发时有48人,到达第一站时有若干人下车,而且下车的比留下的多8人到达第二站时,又有人下车,这次下车的比留下的少8人请问:最后有几个人留在了车上(注:每个车站都无人上车)() 答案:14 例25、小悦和冬冬玩游戏,每玩一局,输的就要给赢的1枚棋子一开始小悦有18枚棋子,冬冬则有22枚玩了若干局之后,小悦反而比冬冬多了10枚棋子请问:此时小悦有多少枚棋子() 答案:25 例26、 今年小强7岁,爸爸35岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁() 答案:15,43 例27、 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分,数学比语文多8分,问语文和数
26、学各得了几分() 答案:90,98 例28、甲、乙两桶油共重30千克,如果把甲桶中6千克油倒入乙桶,那么两桶油重量相等,问甲、乙两桶原有多少油() 答案:21,9 例29、三个物体平均重量是31千克,甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克,乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克,三个物体各重多少千克() 答案:甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克 例30、公园里柳树和杨树共43棵,松树和柏树共42棵,并且杨树比松树多2棵,比柳树少7棵,那么公园里有柏树多少棵() 答案:26 练习: 1、甲、乙两个学校共有学生1245人,如果从甲校调20人去乙校后,甲校比乙校还多5人,两校原有
27、学生各多少人() 答案:甲校原有学生645人,乙校原有学生600人 2、甲、乙两个工程队共有1980人,甲队为了支援乙队,抽出285人加入乙队,这时乙队人数还比甲队少24人,求甲、乙两队原有工人多少人() 答案:甲队原有1287人,乙队原有693人 3、甲乙两校共有学生864人,为了照顾学生就近入学,从甲校调入乙校32名同学,这样甲校学生还比乙校多48人,问甲、乙两校原来各有学生多少人() 答案:甲校原有学生488人,乙校原有学生376人 4、某工厂去年与今年的平均产值为96万元,今年比去年多10万元,今年与去年的产值各是多少万元() 答案:今年的产值是101万元,去年的产值是91万元 1)和
28、差 例22、冬冬在玩具店看中了两件汽车模型如果两件都买,一共需要400元已知较贵的模型比便宜的模型贵60元,这两件模型各要多少钱() 答案:230,170 练习: 1、张先生投资股票,2006年和2007年一共盈利40万元,其中2006年比2007年少盈利14万元张先生2007年盈利多少万元() 答案:27 2、甲、乙两位火炬手负责把火炬从A地传递到B地先由甲从A地出发,并在途中将火炬传递给乙;乙接过火炬后继续慢跑前往B地已知A,B两地相距2400米,并且甲比乙多跑了600米请问:甲跑了多少米() 答案:1500 3、两筐水果共重150千克,第一筐比第二筐多8千克,两筐水果各多少千克() 答案
29、:79,71 4、果园里有桃树和梨树共150棵,桃树比梨树多20棵,两种果树各有多少棵() 答案:85,65 5、用锡和铝制成500千克的合金,铝的重量比锡多100千克,锡和铝各是多少千克() 答案:300,200 3) 差倍少 例21、小悦和阿奇在操场上练习跑步一段时间过后,阿奇跑的距离比小悦跑的3倍少80米如果小悦比阿奇少跑了500米,那么小悦和阿奇分别跑了多少米() 答案:290,790 练习: 1、原先花城日报和鹏城晚报有同样数目的版面后来花城日报扩充版面,增加了10版,这样花城日报的版面比鹏城晚报的4倍少2版两种报纸现在各有多少版() 答案:4,14 2、甲、乙两筐苹果重量相等现在从
30、甲筐拿12千克苹果放入乙筐,结果乙筐苹果的重量就比甲筐的3倍少2千克两筐苹果原来各有多少千克() 答案:25 差倍多 例18、小悦和阿奇在操场上练习跑步一段时间过后,阿奇跑的距离比小悦跑的3倍还多80米如果小悦比阿奇少跑了500米,那么小悦和阿奇分别跑了多少米() 答案:920 例19、阿奇家有两根绳子,长的那根有163米,短的只有97米他把两根绳子剪去同样长的一段,结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米那么两根绳子都剪去了多少米() 答案:87 例20、有两个炮兵营参加军事演习,它们各准备了若干枚炮弹开始一营比二营多准备了5枚炮弹后来因为演习需要,一营给了二营20枚炮弹这时二营炮弹数量就比一营的3倍还多3枚一营最开始准备了几枚炮弹() 答
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