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1、第5章 弹塑性断裂力学基本概念5.1 Irwin对裂端塑性区的估计5.2 Dugdale模型5.3 裂端塑性区的形状5.4 平面应力与平面应变塑性区5.5 裂纹尖端张开位移CTOD5.6 J积分简介5.2 Dugdale模型内聚应力模型：当增加，起初 基本上与成正比增加，快接近最高内聚应力时，开始偏离线性关系，过了最高点 以后，开始下降。其中最大内聚应力 称为内聚强度内聚应力模型在裂纹端点，内聚应力刚好是内聚强度。垂直于裂纹表面的内聚应力分布如图所示Barenblatt模型Barenblatt指出，在一个平衡的裂纹端点，其应力强度等于内聚强度，裂纹区的应力值有限。Barenblatt模型允许裂

2、端区有界的应力比屈服强度和极限强度高几十倍。研究者利用位错理论寻求裂端区的微观应力场，而结果都没有可靠的实验方法加以验证，这个模型不受工程界重视。Dugdale模型Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑性区是狭长块状。类似于Irwin的有效裂纹长度的概念，他认为有效裂纹的半长度为 （是塑性区尺寸）Dugdale模型这里的 并不是真的裂纹，而是材料已屈服的部分，假想将这部分切开而作用着屈服应力 。假设屈服区只是一个长度为 的窄条。这一分布的 不仅使裂纹表面不分开，而且使有效裂纹端点的应力奇异性消失。注：应力奇异性：当r0时候，即在裂纹端点时，应力分量都会趋于无限大。为什么

3、呢？Dugdale模型 为什么有效裂纹端点的应力奇异性会消失呢？答：一种解释:这是因为塑性区的表面距离很小，存在分子间内聚力，内聚力的效果与外荷载相反，裂尖的应力场是外荷载与内聚力两种应力状态的叠加，外荷载引起的奇异性和内聚力引起的奇异性向抵消，所以导致裂尖不存在奇异性。另一种解释：对于材料而言，在有限裂纹长度尖端处，弹性应力应小于等于屈服应力，所以不存在奇异性。Dugdale模型现把此观点应用于无限大平板I型中心裂纹，此裂纹受到无穷远处均匀 作用。Dugdale假设：在带状塑性区的顶端A点，由于应力不存在奇异性，在顶端处总的应力强度因子为零即利用这一假设，可以求解带状塑性区的长度。Dugda

4、le模型由于 而 是由两部分荷载引起，一部分为作用在无穷远处的应力 ,另一部分为作用在 长度裂纹面上的屈服压应力 。无穷远处应力引起的有效强度因子为 ；屈服压应力引起的应力强度因子为 。Dugdale模型我们知道 。而由屈服应力 在裂纹两边 区间的有效裂纹表面引起的应力强度因子 怎么计算呢？我们可以采用（3-12）式进行计算。Dugdale模型考虑对称性，只计算中心裂纹的右边裂端。（3-12）中符号作如下变化：利用叠加原理，在裂纹两边都受到离中心为x处的一对集中压力 作用下，右裂端的应力强度因子为：Dugdale模型 对上式进行从 积分到 ，即可得 作用在塑性区上的强度因子 。又因为有 即：因

5、此，对无限大平板中心裂纹受到单向拉伸时，有Dugdale模型 整理上式得：即得 即在大范围屈服，其 与 相比相当大不可忽略。值应由上式直接解出。在小范围屈服，Dugdale模型小范围屈服：裂纹尖端的塑性区远小于裂纹尺寸和周边弹性区尺寸，从而对裂纹尖端场的总体影响不大，K依然是裂纹扩展的主导参数，只是对其进行适当的修正。Dugdale模型考虑小范围屈服时，有 ，必须有 这样有 于是 式可简化为 小范围屈服时Dugdale模型因为是以Griffith裂纹为例，有 ，上式塑性区尺寸可化为在小范围屈服时，上式对任何裂纹恒成立。与Iriwin第二步估计比较 本节得出的塑形尺寸比Iriwin估计稍大，都是

6、与 成正比。Dugdale模型当塑性区较大时（大范围屈服），用线弹性解来求塑性区尺寸其可靠性值得怀疑。但是Dugdale模型比较简单，有时可以得到精确解表达式，因此作为大范围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。5.3 裂端塑性区的形状Dugdale模型描述的裂端塑性区形状（狭长的）存在于低碳钢制成的压力容器与管道中，但对适用于线弹性力学的高强度材料，其裂端塑性区的形状如何呢？上一节我们按Irwin和Dugdale模型确定了塑性区沿裂纹线上的长度。对于高强度材料，其裂纹尖端附近处于复杂应力状态，研究其屈服需要应用屈服准则，所用屈服准则不同，所得到的塑性区形状也不同。裂端塑性区的形状 关于屈服

7、的强度理论，可分为两种准则：1、Mises屈服准则（形状改变比能理论）；理论认为引起材料屈服的原因是形状改变比能。公式为：2、Tresca屈服准则（最大切应力理论）；理论认为引起材料屈服的原因是最大切应力。公式为：裂端塑性区的形状1、Mises屈服准则。对于I型裂纹而言，裂纹的主应力为：将 代入上式即得在 范围下，I型裂纹的主应力：平面应力平面应变裂端塑性区的形状假设问题满足平面应力问题，将上式主应力代入Mises屈服准则，这里 是单向拉伸屈服强度，于是可得裂端到塑性区周界的距离 。其中 是 的函数。裂端塑性区的形状上述计算所根据的概念与Irwin塑性尺寸的第一步估计很相似，都是假定塑性区周界

8、的应力状态刚好满足塑性屈服条件。在平面应变时，裂端到塑性区周界的距离 令 即得塑性区沿裂纹线上的长度平面应力平面应变裂端塑性区的形状由上式得出的 与Iriwin初步估计（不考虑应力松弛）完全相同。根据 的函数，我们可以得出无量纲化的塑性边界的形状，如图所示：按Tresca屈服准则所作的塑性区为图b，其形状与Mises准则所得的不同。裂端塑性区的形状2、Tresca屈服准则。有屈服公式：在单向拉伸时，所以有 因此，Tresca准则也可以写成 式左侧取最大值。将应力分量代入上式即可得到塑性区边界的方程 裂端塑性区的形状塑性区边界方程平面应力状态平面应变状态 取二者最大值裂端塑性区的形状 令 即得塑性区沿裂纹线上的长度 由此可知两种准则所得到的塑性区沿裂纹线上的长度是相同的。平面应力平面应变裂端塑性区的形状问题：为什么两种屈服准则下的平面应变情况的塑性区总比平面应力的塑性区小很多呢？答：由图我们可以看出沿x轴方向，平面应变状态下 值远小于平面应变状态下的 。这是因为在平面应变状态下沿板厚z方向有弹性约束，使得裂纹尖端材料处于三向拉应力作用，这种三向拉应力状态对于裂纹尖端的塑性流动具有很大的弹性约束，所以平面应变下塑性区很小。