运输问题(1).ppt

1、第三章第三章 运输问题运输问题 运输问题是线性规划问题，运输问题是线性规划问题，由于其约束条件的特殊性，产生由于其约束条件的特殊性，产生了特殊的解法。了特殊的解法。3-1 3-1 运输问题运输问题问题的提出问题的提出 从从m m个发点个发点A A1,1,A A2,.2,.A Am m向向n n个收个收点点B B1,1,B B2.2.B Bn n发送某种货物。发送某种货物。A Ai i发发点的发量为点的发量为a ai i，B Bj j收点的收量为收点的收量为b bj j。由由A Ai i 运往运往B Bj j 单位货物的运费为单位货物的运费为C Cijij，由由A Ai i 运往运往B Bj j

2、 货物的运量为货物的运量为X Xijij。问如问如何调配，才能使运费最省？何调配，才能使运费最省？当发点的发量总和为当发点的发量总和为 a ai i，收点的收量总和为收点的收量总和为 b bj j相等时，相等时，称此运输问题为平衡运输问题。称此运输问题为平衡运输问题。否则称此运输问题为非平衡运否则称此运输问题为非平衡运输问题。输问题。若没有特别说明，均若没有特别说明，均假定运输问题为平衡的运输问假定运输问题为平衡的运输问题。题。运输问题的数学模型：运输问题的数学模型：Min S=Min S=c cij ijx xij ij i ji j x xij ij=a ai i (i=1,2.m)(i=

3、1,2.m)j j x xij ij =b bj j (j=1,2n)(j=1,2n)i i x xij ij 0(i=1,2.m;j=1,2n)0(i=1,2.m;j=1,2n)运输问题的数学模型：运输问题的数学模型：其中其中 a ai i 0,0,b bj j 0,0,c cijij 0 0且共有且共有 m+n m+n 个个约束方程。约束方程。并成立：并成立：ai =bj i j运输问题的图表形式运输问题的图表形式运输问题解的结构运输问题解的结构 由于由于 a ai i =b bj j成立成立 i ji j其其m+nm+n个约束方程并不是独立个约束方程并不是独立的。实际上只有的。实际上只有

4、m+n-1m+n-1个个是独是独立的。即约束方程系数矩阵立的。即约束方程系数矩阵的秩为的秩为m+n-1m+n-1。3-2 3-2 运输问题的求解运输问题的求解确定初始方案确定初始方案1 1 西北角法西北角法（1 1）从图的西北角开始，填入）从图的西北角开始，填入a a1 1与与b b1 1较较小的值，小的值，b b1 1=2=2，即从即从A A1 1运给运给B B1 1 （2 2吨）吨）B B1 1已经满足，划去已经满足，划去b b1 1列，并将列，并将a a1 1=4-2=2=4-2=2（2 2）向）向a a1 1，b b1 1较较大方向移动一格（或向大方向移动一格（或向右，或向下）此时向右

5、移动一格（右，或向下）此时向右移动一格（A A1 1，B B2 2）B B2 2需要需要4 4吨，而吨，而A A1 1只有只有2 2吨，吨，A A1 1已发完，已发完，划去划去A A1 1行，并把行，并把b b2 2改改成（成（4-24-2）=2=2。（3）继续进行）继续进行（4）继续进行）继续进行（5）继续进行）继续进行（6）继续进行）继续进行（7）得到初始方案：）得到初始方案：X11=2，X12=2，X22=2，X23=3，X24=1，X34=3，总运费总运费=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元）（元）2 2 最小元素法最小元素法（1 1）从最小元素开始（）从最小元素

6、开始（3 3）即即A A1 1优先满足优先满足B B3 3 3 3个单位，个单位，B B3 3 已经满足，划去已经满足，划去B B3 3列列，（2 2）再从最小元素开始）再从最小元素开始（4 4）即）即A A1 1优先满足优先满足B B4 4 1 1个单个单位，位，A A1 1 已经满足，划去已经满足，划去A A1 1行行，（3 3）再从最小元素开始）再从最小元素开始（4 4）即）即A A2 2优先满足优先满足B B1 1 2 2个单个单位，位，B B1 1 已经满足，划去已经满足，划去B B1 1列列，（4 4）再从最小元素开始（）再从最小元素开始（4 4）即）即A A2 2优先满足优先满足

7、B B2 2 4 4个单位，个单位，B B2 2 A A2 2已经满足，划去已经满足，划去B B2 2列列A A2 2 行行。（4 4）最后把）最后把A A3 3满足满足B B4 4 3 3个单位，个单位，得到初始方案。得到初始方案。（5 5）得到初始方案：）得到初始方案：X X1313=3=3，X X1414=1=1，X X2121=2=2，X X2222=4=4，X X3434=3=3总运费总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）（元）3.3.差值法（伏格法）差值法（伏格法）每次从当前运价表上，计算各每次从当前运价表上，计算各

8、行各列中两个运价之差值（行差值行各列中两个运价之差值（行差值hihi，列差值列差值kjkj），），优先取最大差值优先取最大差值的行或列中最小的格来确定运输关的行或列中最小的格来确定运输关系，直到求出初始方案。系，直到求出初始方案。差值法差值法初始方案如下：初始方案如下：X13=3，X14=1，X21=2，X22=1，X24=3，X32=3，费用费用=3*3+4*1+4*2+4*1+5*3+6*3=58（元）（元）西北角法西北角法得到初始方案：得到初始方案：X X1111=2=2，X X1212=2=2，X X2222=2=2，X X2323=3=3，X X2424=1=1，X X3434=3=

9、3，总运费总运费=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元）（元）最小元素法最小元素法得到初始方案：得到初始方案：X X1313=3=3，X X1414=1=1，X X2121=2=2，X X2222=4=4，X X3434=3=3总运费总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）（元）西北角法西北角法得到初始方案：得到初始方案：X X1111=2=2，X X1212=2=2，X X2222=2=2，X X2323=3=3，X X2424=1=1，X X3434=3

10、=3，总运费总运费=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元）（元）最小元素法最小元素法得到初始方案：得到初始方案：X X1313=3=3，X X1414=1=1，X X2121=2=2，X X2222=4=4，X X3434=3=3，总运费总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）（元）差值法差值法初始方案如下：初始方案如下：X X1313=3=3，X X1414=1=1，X X2121=2=2，X X2222=1=1，X X2424=3=3，X X3232=3

11、=3，总运费总运费=3*3+4*1+4*2+4*1+5*3+6*3=58=3*3+4*1+4*2+4*1+5*3+6*3=58（元）（元）求最优方案求最优方案1 1 闭回路闭回路 在初始调运方案表中，从任意在初始调运方案表中，从任意空格出发，沿着纵向或横向行进，空格出发，沿着纵向或横向行进，遇到适当填有数据的方格遇到适当填有数据的方格9090度转弯，度转弯，继续行进，总能回到原来空格。这继续行进，总能回到原来空格。这个封闭的曲线称为闭回路。个封闭的曲线称为闭回路。可以证明：每个空格对应着唯可以证明：每个空格对应着唯一的闭回路。一的闭回路。如下表：如下表：求检验数求检验数 判断一个调运方案是否已

12、是最优，判断一个调运方案是否已是最优，就要判断方案所对应的基础可行解是否就要判断方案所对应的基础可行解是否最优。在单纯形法中，根据非基变量最优。在单纯形法中，根据非基变量（空格）的检验数来判别的。若检验数（空格）的检验数来判别的。若检验数中没有正值，则已求得最优。中没有正值，则已求得最优。如何根据初始调运表求得检验数？如何根据初始调运表求得检验数？（1 1）闭回路法闭回路法 空格空格X Xijij的检验数的检验数=（第（第奇数次拐角点运价之和减去奇数次拐角点运价之和减去第偶数次拐角点运价之和）第偶数次拐角点运价之和）空格空格X X2121的检验数的检验数=6-5+4-4=1=6-5+4-4=1

13、空格空格X X1414的检验数的检验数=5-4+5-4=2=5-4+5-4=2空格空格X X3131的检验数的检验数 =6-5+4-5+8-7=1=6-5+4-5+8-7=1检验数都为正值，原方案不是最优解检验数都为正值，原方案不是最优解（2 2）位势法位势法 对初始调运方案，定义一组新对初始调运方案，定义一组新的变量（对偶）的变量（对偶）u ui i和和v vj j(i=1,2,m;j=1,2,n)(i=1,2,m;j=1,2,n)对于对于基变量基变量X Xij ij有：有：u ui i+v+vj j=C Cij ij称称u ui i与与v vj j为相应的各行与各列的位为相应的各行与各列的

14、位势。势。u u1 1+v+v1 1=6 u=6 u1 1+v+v2 2=5 u=5 u2 2+v+v2 2=4 =4 u u2 2+v+v3 3=7 u=7 u2 2+v+v4 4=5 u=5 u3 3+v+v4 4=8=8有七个变量，但只有六个方程，有一个自由有七个变量，但只有六个方程，有一个自由变量，一般令变量，一般令u u1 1=0=0u u1 1+v+v1 1=6 u=6 u1 1+v+v2 2=5 u=5 u2 2+v+v2 2=4 =4 u u2 2+v+v3 3=7 u=7 u2 2+v+v4 4=5 u=5 u3 3+v+v4 4=8=8一般令一般令u u1 1=0=0，求出

15、解。求出解。空格（非基变量）的检验数空格（非基变量）的检验数 =（u ui i+v+vj j)-C)-Cijij与闭合回路法相同。与闭合回路法相同。调整方案调整方案 从一个方案调整到最优方案的过从一个方案调整到最优方案的过程，就是单纯形法的过程。程，就是单纯形法的过程。选择检验数（一般取最大）为正选择检验数（一般取最大）为正值的空格所对应的变量为进基变量，值的空格所对应的变量为进基变量，在进基变量的回路中，比较奇数拐角在进基变量的回路中，比较奇数拐角点的运量，选择一个具有最小运量的点的运量，选择一个具有最小运量的基变量作为出基变量，基变量作为出基变量，并调整运并调整运量量=min(=min(奇

16、数拐角点的运量奇数拐角点的运量)选择（选择（A1A1，B3B3）（）（检验数最大）调整，检验数最大）调整，最小运量最小运量=min(2,3)=2=min(2,3)=2最小运量最小运量=min(2,3)=2,=min(2,3)=2,奇数点减去奇数点减去2 2，偶，偶数点加上数点加上2 2，得到新的方案。总运费，得到新的方案。总运费=6*2+3*2+4*4+7*1+5*1+8*3=70=6*2+3*2+4*4+7*1+5*1+8*3=70（元）（元）原方案运费为原方案运费为8080（元）（元）继续求检验数。继续求检验数。继续调整运量。继续调整运量。继续调整运量。最小运量继续调整运量。最小运量=1=1总运费总运费=6*1+3*3+4*1+4*4+5*1+8*3=64=6*1+3*3+4*1+4*4+5*1+8*3=64（元）（元）继续计算检验数。继续计算检验数。继续调整运量。最小运量继续调整运量。最小运量=1=1得到新的调运方案，总运费得到新的调运方案，总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）（元）继续计算检验数继续计算检验数总