微分几何试题库.docx

1、微分几何试题库微分几何、判断题1、 两个向量函数之和的极限等于极限的和（ V）2、 二阶微分方程 A（u,v）du2 2B（u,v）dudv B（u,v）dv2 =0总表示曲面上两族曲 线（）3、 若r（t）和s（t）均在a,b连续，贝U他们的和也在该区间连续（ V ）4、 向量函数詞具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，Ts（t）的微商与s（t）平行（X ）5、 等距变换一定是保角变换.（）6、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的 .（）7、 常向量的微商不等于零（X ）8 螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（1, 0, 0）的切线为 X=Y=Z （ X ）9

2、、 对于曲线s=S（t）上一点（t=t。），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（X ）10、 曲线上的正常点的切向量是存在的（ V ）11、 曲线的法面垂直于过切点的切线（V ）12、 单位切向量的模是1 （ V ）13、 每一个保角变换一定是等距变换 （X ）14、 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（ ）15、 坐标曲线网是正交网的充要条件是 F = 0，这里F是第一基本量.（）、填空题16、 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、 螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t在点（1，0，0）的法平面是 y+z=0,彳 b18设给出c类曲线：r =r(t) ,a G兰b.则其

3、弧长可表示为fjrt)dt19、已知 r =cosx,sinx,cos2x, 0 ： x ，则 一3e!S,4x2 520、 曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向， 则称为渐进 曲线。21、 旋转面r= (t)cos日,d(t)sin日严(t)，他的坐标网是否为正交的? 是 傾“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的 线 线.23、 任何两个向量p,q的数量积p-q= p|qcos(pq)24、 保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为 等距(保长)变换_.25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是 常数_ 数(填“常数”或“非常数”).26若曲线(c)用自然参数表示

4、r = r(t),则曲线(c)在P(s)点的密切平面的方程是 (R -r(s), r(s0),r(s0) =030、 （ Coh n-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映 射一定是R3中的合同或对称。31、 球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、 个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33.求曲线x=tsint,y =tcost,z =tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r 二tsin t,tcost,tet,r (t) =si nt t cost,cost -ts in t,et tet,r (t) =2cost -t si

5、nt,-2s in tcost,2et tet在原点处t =0r(0)二0,0,0, r (0) =0,1,1, r (0) = 2,0,2.在原点处切平面的方程为： (R-r(0),r (0),r (0) =00 1 134、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。解设 r =u,v, u3 -v3则賈=1,0,3 , 2=0,1,-3/ , j口 = 4 =4 -3u2,3v2,1| 陰 5 | J9u4 +9v4 +14 4 H 4ruu 二0,0,6 u , ruv =, rvv 二0,0, -6v-6v,9一9厂16uL = n Gu ：- 4 , M = n g = 0 ,J9u4 +9v

6、4 +1因渐近曲线的微分方程为Ldu 2 2Mdu dv Ndv2 二 0即 udu2 二 vdv2 或udu 二 一 vdv 二 03 3 3 3渐近曲线为=vG或(-叮=vC235求双曲抛物面r二a(u v),b(u -v),2uv的第一基本形式解:r =a(u v),b(u -v),2uv, ra,b,2v, r =a,-b,2u.E =4 h =a2 b2 4v2,F 兀=a2 _b2 4uv,G 二 rv rv 二 a2 b2 4u2.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2I = (a b 4v )du 2(a -b 4uv)dudv (a b 4u )dv36计算球面r =(Rco

7、scos ,Rcossin , Rsin)的第二基本形式解：r =Rcosncos , Rcosnsin ,Rsin r), r 二- Rcossin , Rcosr cos ,C, -Rsinvcos ,-Rsinsin ,Rcos),由此得到E = r ： r = R2 cos), F = r：；. q - 0,=cos cos , cossin ,sin ,又由于r 二-Rcos jcos :,-Rcosn sin ,0,r j -Rsi nr sin ，-Rs in cos ,0,q - -Rcos cos，-Rcosin - Rsin ,所以L = r n 二-Rcos2 (T),

8、M 二 r n =0, N 二 q n = - R,因而得到n - -(Rcos2 却 2 Rd J)37.如果曲面的第一基本形式 ds2du2 dv2(u2 v2 c)2计算第二类克力斯托费尔符解:因为E=(u2 V2 旷F =0,12 2 2 (u V c)所以2 9(u v c) 2u(u2 +v2 +c)4-4u(u2 v2 c)3GuEv2 2-2(u v c) 2v(u2 v2 c)4-4v(u2 v2 c)3所以i1iEu-2u2E2112vi1Ev2E- 2v 2 _2 2 , 12 _u v c 2G-2u2 2u v c2u2EGv _ -2v2G 一 u2 v2 c38、

9、已知曲面的第一基本形式为I =v(du2 dv2) , v 0 ,求坐标曲线的测地曲 率。解 E -G =v，F =0， Gu =0， Ev =1u-线的测地曲率Ev = 1gu 2E.G 2v. vv-线的测地曲率2G E39、问曲面上曲线丨的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？二-为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为 r=ucosv,us in v,bv,2 2 bE 二 1,F 二 0,G 二 u b ,L =0,M ,N 二 0.Ju2 +b2由于L二N =0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是r =u

10、0cosv,u0 sin v, bv,这是螺旋线，另一族渐近线是r 二ucosv,usin v0,bv。,这是直线.41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线】和C在对应点的切线夹固定 角证设-:r = r (s)， - :?二；(s)，则由 一：H 知 1 ” =-，从而九詔，=o，屯 m.空0ds dscos 二，:这表明曲线-和C在对应点的切线夹固定角42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) r(t)=0证明必要性 设r(t)(t)e(e为常单位向量)，则 r (t)(t)e,所以 r(t) r (t)二 0

11、充分性：r(t)二珂t)e(t) (e(t)为单位向量函数)，则r (t (t)e(tr (t)e (t),r(t) r (t)2(t)e(t) e(t).因为r(t) =0,于是(t) = 0,当r(t) r (t)三0 ,从而有e(t) e(t)=0,即 e(t)/e (t),因为 e(t) _e (t)(根据 e(t) -1)因此 e (t) =0 即 e(t)为常向量，所以有固定方向43、给出曲面上一条曲率线】，设】上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角求证丨是一条平面曲线4 O-Tn Sd d证 设Z : r = r (u,v)，丨：u二u(s),v =v(s)，其中s是丨

12、的自然参数，记 r - r,n,则 r n =cosr，两边求导，得-. n由】为曲率线知dn/dr ,即虫丸上,因此：话畀虫=y；丸=0 ds ds d s ds若.=0，则】为平面曲线；呻若n e =0，则因为曲面龙上的一条曲率线， 故dKndr.而n二n=匸幕=0，所以d0，即n为常向量.于是丨为平面曲线.44、求圆柱螺线 R(t)acost,asint,bt在t 处的切线方程。3r (t)二a cost, a si n t,bt, r (t) = -asin t, a cost, b,Gr ) 兀 J3 叱 13广吵亍W t 时，有 r (-)二-afb.3 3 2 2所以切线的方程为

13、1 一几J3 J3中九 /兀 X1p a ae2 ( )be33如果用坐标表示，则得切线方程为45、求双曲螺线r二acosht,asinh t,at从t=0起计算的弧长。小 r= acosht, as in h t,at, 解：.r 二asinht,acosht,a从t=0起计算的弧长为a2 sinh21 a2 cosh21 adttt a2(sinh21 1) a2 cosh2tdta2 cosh21 a2 cosh2tdt=- 2asinht.46、求球面 r 二Rcos cos，Rcossin , Rs in* 的第一基本形式。r = R cosv cos ：, R cos vs in

14、:, Rs in v,可得出解：由 r =-Rcos)sin :, Rcos)cos :,0,J - -Rsin vcos，-Rsin v sin :, Rcos,由此得到曲面的第一类基本量E 二 r ： r = R2 c o 2s ,F = r r - 0,2G = 口 每-R因而I 二 R 2 c o s - 2 R2d47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大 值和最小值。证明 设ki : k2(如果Ki K2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知kn = ki cos2 寸 k2 (1 _ cos2 寸)=k2 (ki _ k2) cos2 丁,于是2k2 kn

15、 = (k2 kjcos： - 0因此k2 -kn同样又可以得到kn -匕=(k2 -kjs i n J - 0,由此ki kn 一 k2这就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为 I = E (u )du 2 G (u )dv 2。求证：(1)u-曲线是测地线；(2)v-曲线是测地线，当且仅当Gu(u)=O证明：u -曲线的方程为dv =0.由=0,dvds得到si n = 0所以J - 0代入刘维尔公式得因此得到u -曲线是测地线。(2)若-曲线为测地线，由八-得穿。,则有0 = 0+01 - E :uGu =049、R3中全体合同变换构成一个群，称

16、为空间合同变换群。证明：因为（1） 空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2） 空间三个合同变换的组合满足合里律；（3） 恒同变换I : x=Xj（i =1,2,3）与空间任何合同变换T的组合I T二T I =T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4） 空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变 换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（u1,u,则）1 丄 2 1 丄 2u 二 u e ue2,v 二 v e2,du 1 w2 dv w2 门dsdu2udsu 0, v2 0,

17、 ds ds ds2 . 2 21 W1 dv 1 W10, v 0ds ds ds所以d d 1 1 2 2(u v) (u v u v )ds ds1 1 2 2du 1 1 dv du 2 2 dvv u v u 1ds ds ds ds51、设曲线（C）:r =r t是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成 自然参数，则它的周期是L=|f(t)|dt, L的闭曲线的周长.t也 /证明 s(t +灼)=(|r (O|dt=J0 |r(t)|dt +匚 |r (t)|dt,因为r t = r t ，所以t , t .我们得到. t /s(t + 国)=L + r (t) dt = L

18、+ s(t),所以有rsL=rst L=rst =rst =rs.I正交.52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向 证明 取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是C :rxs.ys.zs :s 0, L !因而单位切向量为as 二 xs,ys,zs根据微积分中值定理，存在 0丄！使得z L - z 0 i= :L - 0 z s0 ,但是z(L )=z(0 )所以z（S）=0，即a（s x（s0）y（s）0 ?，这表示a $垂直于z轴,即与方向I正交53、单位球面上的曲线 C，若kg =0,则* *k kT = = Z . ,kkg kk2 -1其中，=1证明 设单位球面上的曲线 C : r = r s由于r2 =1，从而有r a =0，所以aa rk- _ 0,即由上式得kr：kr kr : = 0,利用伏雷内公式，化简后得*-匚 k r =0.k若令n -r,由于kg = k n - -kr ，则有+ k g =0.但是单位球面上曲线的法曲率kn =1,并且由于kn k： =k2,所以kg - ； k -1, - 1.因此当kg 7时，有kkkg_kk.k2 -12