机械优化设计--第四章(第6次课).pptx

1、机械优化设计20162016年年9 9月月上上 海海 海海 事事 大大 学学SHANGHAI MARITIME UNIVERSITYSHANGHAI MARITIME UNIVERSITY何军良何军良11:491 上海海事大学上海海事大学Shanghai Maritime University 1909 2009 2004 1912 1958机械优化设计中的几个问题优化设计概述优化设计的数学基础2目录CONTENTS一维搜索方法无约束优化方法线性规划约束优化方法11:49第四章无约束优化方法概述01最速下降法牛顿型方法共轭方向与共轭方向法020304坐标轮换法05共轭梯度法变尺度法鲍威尔方法0

2、60708单形替换法0911:49311:49变尺度法也称拟牛顿法，它是基于牛顿法的思想而又作了重大改进的一类方法。我们所介绍的变尺度法是由Davidon于1959年提出又经Fletcher和Powell加以发展和完善的一种变尺度法，故称为DFP变尺度法。4.7变尺度法能否克服各自的缺点，综合发挥其优点？2)阻尼牛顿法1)梯度法*简单，开始时目标函数值下降较快，但越来越慢。*目标函数值在最优点附近时收敛快，但要用到二阶导数和矩阵求逆。（1）问题提出411:494.7变尺度法（2）基本思想n变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。n这种算法仅用到梯度，不

3、必计算海赛阵及其逆矩阵，但又能使搜索方向逐渐逼近牛顿方向，具有较快的收敛速度。n尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法的收敛性质。例如在用最速下降法求极小值时,需要进行10次迭代才能达到极小点。梯度法:牛顿法:511:494.7变尺度法（2）基本思想进行尺度变换在新的坐标系中，函数f(x)的二次项变为：目的：减少二次项的偏心如G是正定，则总存在矩阵Q，使得：对于二次函数:611:494.7变尺度法（2）基本思想 用矩阵Q-1右乘等式两边，得：用矩阵Q左乘等式两边，得：所以上式说明：二次函数矩阵G的逆阵，可以通过尺度变换矩阵 来求得。711:49(3)变尺度法的搜索方向:S(k)=-Ak g

4、k，称为拟牛顿方向。(1)Ak为构造的 n n 阶对称矩阵，它随迭代点的位置变化而变化，对梯度起到改变尺度的作用，又称为变尺度矩阵。n 若Ak=I，上式为梯度法的迭代公式n 若Ak=Hk-1，上式为阻尼牛顿法的迭代公式（3）迭代公式4.7变尺度法(2)当矩阵Ak 不断地迭代而能很好地逼近 时，就可以不再需要计算二阶导数。变尺度法的关键在于尺度矩阵Ak的产生。811:49 拟牛顿方向 S(k)=-Ak gk 必须具有下降性、收敛性和计算的简便性。n下降性要求变尺度矩阵为对阵正定矩阵；n收敛性要求变尺度矩阵逐渐逼近Hk-1，满足拟牛顿条件；n简便性希望变尺度矩阵有如下递推形式：Ak+1=Ak+Ak

5、（4）变尺度矩阵的产生4.7变尺度法911:49下降性：要求S(k)与-gk之间的夹角小于90o，即：-S(k)T gk0将拟牛顿方向带入上式，得：-S(k)T gk=Ak gkTgk=gkTAk gk 0所以只要 Ak 为对阵正定矩阵，S(k)就是下降方向。（4）变尺度矩阵的产生4.7变尺度法1011:49变尺度矩阵是随迭代过程的推进而逐次改变的，因而它是一种矩阵序列选取初始矩阵A0，并以梯度方向快速收敛，通常取单位矩阵E 作为初始矩阵，即A0=E。而后的矩阵均是在前一构造矩阵的基础上校正得到，令推广到一般的k+1次构造矩阵 Ak，k=1，2，A1=A0+A0Ak+1=Ak+Ak矩阵序列的矩

6、阵序列的基本迭代式基本迭代式 Ak 称为校正矩阵（4）变尺度矩阵的产生4.7变尺度法简便性：1111:49n构造矩阵Ak+1应该满足一个重要条件拟牛顿条件n变尺度法采用构造矩阵来代替牛顿法中海赛矩阵的逆阵，主要目的之一就是为了避免计算二阶偏导数和逆矩阵，力图仅用梯度和其他一些易于获得的信息来确定迭代方向，因此，拟牛顿条件是关于海赛矩阵和梯度之间的关系。（5）拟牛顿条件4.7变尺度法1211:49设F(x)为一般形式 n 阶的目标函数，并具有连续的一、二阶偏导。在点 x(k)处的二次泰勒近似展开该近似二次函数的梯度为：式中，若令，则有（5）拟牛顿条件4.7变尺度法1311:49上式中，x(k+1

7、)x(k)称之为位移矢量，并简化书写:而gk+1-gk 是前后迭代点的梯度矢量差，简化书写：由以上三式得：海赛矩阵与梯度间的关系式（5）拟牛顿条件4.7变尺度法1411:49按照变尺度法产生构造矩阵的递推思想，期望能够借助前一次迭代的某些结果来计算下一个构造矩阵，因此可以根据上式，用第 k+1 次构造矩阵 Ak+1 近似代替 Hk-1，则上式即产生构造矩阵 Ak+1 应满足的一个重要条件，通常称为拟牛顿条件或拟牛顿方程（5）拟牛顿条件4.7变尺度法1511:49（6）变尺度矩阵的构造4.7变尺度法拟牛顿条件 可写成 或 DFP算法中的校正矩阵 Ak取为下列形式：待定系数保证 Ak对称1611:

8、49（6）变尺度矩阵的构造4.7变尺度法将(2)代入(1):两边对比得:取则：回代到(2)得:DFP变尺度法的迭代式为：1711:49由上式可以看出，构造矩阵Ak+1的确定取决于第 k 次迭代中的下列信息：上次的构造矩阵：Ak迭代点的位移矢量：迭代点的梯度增量：因此，不必作二阶导数矩阵及其求逆的计算（6）变尺度矩阵的构造4.7变尺度法1811:49n DFP算法的收敛速度介于梯度法和牛顿法之间。n DFP法具有二次收敛性(搜索方向的共轭性)。对于二次函数 F(x)，DFP法所构成的搜索方向序列S(0),S(1),S(2),为一组关于海赛矩阵H共轭的矢量，即DFP法属于共轭方向法，具有二次收敛性

9、。在任何情况下，这种方法对于二次目标函数都将在n步内搜索到目标函数的最优点，而且最后的构造矩阵 An 必等于海赛矩阵H。（7）DFP变尺度算法的特点4.7变尺度法1911:49（7）DFP变尺度算法的特点4.7变尺度法n关于算法的稳定性，数值计算稳定性较差。1.算法的稳定性是指算法的每次迭代都能使目标函数值单调下降。2.构造矩阵正定性从理论上肯定了DFP法的稳定性，但实际上，由于每次迭代的一维搜索只能具有一定的精确度，且存在机器运算的舍入误差，构造矩阵的正定性仍然有可能遭到破坏；3.为了提高实际计算中的稳定性，一方面应对一维搜索提出较高的精度要求，另一方面，当发生破坏正定性时，将构造矩阵重置为

10、单位矩阵E重新开始，通常采用的简单办法是在 n 次迭代后重置单位矩阵2011:491.任取初始点 x(0)给出迭代精度.计算初始点精度 及其模 。若 转步骤，否则进行下一步2.置k0，取 AkE3.计算迭代方向 ，沿S(k)方向做一维搜索求优化步长 a(k)，使确定下一个迭代点（8）DFP变尺度算法的计算步骤4.7变尺度法2111:494.计算x(k+1)的梯度gk+1及其模 ，若 则转步骤，否则转下一步5.计算位移矢量 和梯度矢量按DFP公式计算构造矩阵6.置kk+1。若kn(n为优化问题的维数)返回步骤，否则返回步骤7.输出最优解（x*，F*），终止计算（8）DFP变尺度算法的计算步骤4.

11、7变尺度法2211:49DFP算法流程图k=n？入口入口出口出口+-+-2311:49解：1）取初始点 ，为了按DFP法构造第一次搜寻方向d0，需计算初始点处的梯度取初始变尺度矩阵为单位矩阵A0=I，则第一次搜寻方向为 例:用DFP算法求下列问题的极值：24（9）DFP算例4.7变尺度法11:49一维搜索最佳步长应满足得:2）再按DFP法构造点x1处的搜寻方向d1，需计算 沿d0方向进行一维搜索，得（9）DFP算例4.7变尺度法2511:49代入校正公式=（9）DFP算例4.7变尺度法2611:49=第二次搜寻方向为再沿d1进行一维搜索，得（9）DFP算例4.7变尺度法2711:49为一维搜索

12、最佳步长，应满足,得3）判断x2是否为极值点梯度:海赛矩阵:（9）DFP算例4.7变尺度法梯度为零向量,海赛矩阵正定。可见满足极值充要条件，因此为极小点。2811:49例:用DFP变尺度法求目标函数的最优解。已知初始点 ，迭代精度=0.01解：第一次迭代：（9）DFP算例4.7变尺度法2911:49式中最优步长应用一维搜索方法在计算机上求解。为了说明问题，又因为此例目标函数简单，所以用解析法来求：为求极小，将上式对求导，并令f()=0得：于是：（9）DFP算例4.7变尺度法3011:49第二次迭代：确定x(1)点的拟牛顿方向S(1)按DFP公式计算构造矩阵（9）DFP算例4.7变尺度法3111

13、:49将数据代入得则拟牛顿方向为沿 S(1)方向进行一维搜索求最优点x(2)求一维搜索步长（9）DFP算例4.7变尺度法3211:49则：迭代即可结束，输出优化解（9）DFP算例4.7变尺度法3311:49讨论：该题的理论最优点是 。按DFP搜索方向为共轭的性质，本题为二元二次函数在两次迭代后即达到最优点，本题计算结果稍有误差，这是由于一维搜索的不精确性产生的。若在已知A1的基础上，再用DFP公式递推下一次的构造矩阵，可计算得而计算目标函数海赛矩阵的逆阵有（9）DFP算例4.7变尺度法3411:49DFP算法由于舍入误差和一维搜索的不精确，有可能导致Ak奇异，而使数值稳定性方面不够理想。所以1

14、970年，Broyden、Fletcher、Goldstein、Shanno等人提出一种更稳定的算法，称为BFGS算法。其校正公式为：（9）BFGS变尺度法4.7变尺度法3511:4936（1）概述4.8鲍威尔方法基本思想：基于坐标轮换法，不用求导数，在迭代中逐次产生共轭搜索方向。收敛效果：对于正定（有极小值）二次函数，经过n轮迭代后求得极小点；对于非二次函数，一般也具有较高的收敛速度。Powell法是求解无约束优化问题的最好方法。将其与惩罚函数法结合，可以处理有约束优化问题。11:49为两个极小点根据梯度与等值面之间关系可知（2）共轭方向的生成4.8鲍威尔方法3711:49对于二次函数，两点

15、处的梯度可表示为代入到公式：（2）共轭方向的生成4.8鲍威尔方法3811:49结论：从不同的点出发沿某一方向分别对函数作两次一维搜索，得到两个极小点，那么这两个极小点的连线方向与该方向对G共轭（2）共轭方向的生成4.8鲍威尔方法3911:49（3）基本算法4.8鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）1）任选一初始点x0，再选两个线性无关的向量，如 坐 标 轴 单 位 向 量e1=1,0T和e2=0,1T作为初始搜索方向。x1x2x0oe1e2d1d2x*14011:49（3）基本算法4.8鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）2）从x0出发，顺次沿e1，e2作一维搜索，得 点，两点连线

16、得一新方向d1x1x2x0oe1e2d1d2x*14111:49（3）基本算法4.8鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）用 d1代替e1形成两个线性无关向量d1,e2，作为下一轮迭代的搜索方向。再从 出发，沿d1作一维搜索得点 ，作为下一轮迭代的初始点。3）从 出发，e2,d1 作 一 维 搜 索，得 到 点 ，两点连线得一新方向:x1x2x0o oe1e2d1d2x*1从 沿d2作一维搜索得点x2。即是二维问题的极小点 x*。4211:49（3）基本算法4.8鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）方法的基本迭代格式包括共轭方向产生和方向替换两主要步骤。4311:49（3）基本算法4.8鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（三维）441.第一轮基本方向组取单位坐标矢量系e1、e2、e3、en，沿这些方向依次作一维搜索，然后将始末两点相连作为新生方向。2.再沿新生方向作一维搜索，完成第一轮的迭代。以后每轮的基本方向组是将上轮的第一个方向淘汰，上轮的新生方向补入本轮的最后而构成：d2k,d3k,dnk ,dk11:49（4）基本算法示例4.8鲍威尔方法4511:49（4）基本算法示