选修2-2导数的概念.ppt

1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用选修2-21.1.2 导数的概念导数的概念（1）求质点在）求质点在t=2至至t=4这段时间的平均速度；这段时间的平均速度；（2）求质点在）求质点在t=2时的瞬时速度。时的瞬时速度。问题：是否可利用平均速度求瞬时速度？问题：是否可利用平均速度求瞬时速度？一质点的运动方程为一质点的运动方程为s(t)=3t2-6t+5,其中其中s表示位表示位移（单位：移（单位：m），），t表示时间（单位：表示时间（单位：s）.求质点在求质点在t=2,t=2+tt这段时间的平均速度；这段时间的平均速度；t0时时,在在 2,2+t 这段时这段时间内间内t0时时,在在2,2+t 这段

2、时这段时间内间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,问题：可否利用平均速度求瞬时速度？问题：可否利用平均速度求瞬时速度？t t 无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近0 0时时时时,2s,2s到到到到(2+(2+t)st)s的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近近近2s2s时的瞬时速度时的瞬时速度时的瞬时速度时的瞬时速度！并且平均速度趋近于！并且平均速度趋近于！并且平均速度趋近于！并且平均速度趋近于6m/s.6m/s.2s到到(2+t)s的

3、平均速度的平均速度思考思考：1、任取某一时刻、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？其瞬时速度怎样表示？2、函数、函数f(x)在在x0处的瞬时变化率怎样表示？处的瞬时变化率怎样表示？即从表达式入手，即当t t趋于趋于趋于趋于0 0时，时，时，时，趋近于趋近于趋近于趋近于6 6平均速度的极限平均速度的极限平均速度的极限平均速度的极限=瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度一般的，函数一般的，函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即 导数的定义导数的定义:注意：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名

4、称。注意：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。由导数的定义可知由导数的定义可知由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数求函数求函数 y y=f f(x x)的导数的一般方法的导数的一般方法的导数的一般方法的导数的一般方法:1.1.求函数的改变量求函数的改变量求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率求平均变化率求平均变化率3.3.求极限值求极限值求极限值求极限值一差、二比、三极限一差、二比、三极限导数概念的进一步理解_【小试牛刀小试牛刀】设f(x)=ax+4，若f(1)=2,则 a=_.例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：f

5、f(x x)=x x2 2 7 7x x+15+15(0 x x8 8).计算计算x=2x=2和和x=6x=6时的导数时的导数.根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变变化时化时,f(x0)便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我

6、们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 1.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 请看请看当点当点Q沿沿着曲线逐着曲线逐渐向点渐向点P接近时接近时,割割线线PQ绕绕着点着点P逐逐渐转动的渐转动的情况情况.我们发现我们发现,当点当点Q沿着

7、曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限.注意注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判

8、断与求解切线。要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切先利用切线斜率的定义求出切线的斜率线的斜率(2)利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.变式变式:设设f(x)为可导函数，且满足为可导函数，且满足 ,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所

9、求的斜率为-2.例例2:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.故过点故过点P的切线方程为的切线方程为:y-2=1(x-1),即即y=x+1.练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程.答案答案:y=3x-4.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3

10、=4(x-2),即即12x-3y-16=0.练习练习练习练习1:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和例例2:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:分析分析:利用函数利用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式

11、,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.莱布尼兹：影响人类的莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉莱布尼茨（莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。和牛顿先后独立发明了微积分。历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿

12、赢，但历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。求质点在求质点在t=2,t=2+tt这段时间的平均速度；这段时间的平均速度；t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,问题：可否利用平均速度求瞬时速度？问题：可否利用平均速度求瞬时速度？t t

13、 无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近0 0时时时时,2s,2s到到到到(2+(2+t)st)s的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近近近2s2s时的瞬时速度！时的瞬时速度！时的瞬时速度！时的瞬时速度！2s到到(2+t)s的平均速度的平均速度从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 t t 无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近0 0时时时时,2s,2s到到到到(2+(2+t)st)s的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近近近2s2s时的瞬时速度！时的瞬时速度！时的瞬时速度！时的瞬时速度！平均速度的极限平均速

14、度的极限=瞬时速度瞬时速度问题三：运动员在某一时刻问题三：运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?t t 无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近0 0时时时时,t t0 0 到到到到 (t0 0+t)t)的平均速度便无限的平均速度便无限的平均速度便无限的平均速度便无限逼近逼近逼近逼近 t t0 0 时的瞬时速度！时的瞬时速度！时的瞬时速度！时的瞬时速度！平均速度的极限平均速度的极限=瞬时速度瞬时速度导数的定义导数的定义:一般地，函数一般地，函数一般地，函数一般地，函数 y=f(x)在在在在 x=x0 0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称

15、为函数称为函数称为函数 y=f(x)在在在在 x=x0 0 处的处的处的处的导数导数,记作记作记作记作或或或或 ,即即即即 当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 6.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速平均速度就无限趋近于度就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时的瞬时速度是时的瞬时速度是 6m/s.思考思考：1、任取某一时刻、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？其瞬时速度怎样表示？2、函数、函数f(x)在在x0处的瞬时变化率怎样表示？处的瞬时变化率怎样表示？