1、小学数学解题思路大全 【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题1.想 数 码例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数奇数偶数,偶数偶数偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法56,另一个
2、5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8916是不可能的。不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”2.尾数法例1比较 12221222和 12211223的大小。由两式的尾数224,133,且43。知 1222122212211223例2二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。由两数十位数字之和是817,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。甲数是348,乙数是34。例3请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;由3和a4
3、乘积的尾数是725,知a4是5;不难推出原式为1428573428571。3.从较大数想起例如,从110的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法?思路一:较大数不可能取5或比5小的数。取6有65;取7有74,75,76;取10有九种 101,102,109。共为 1357925(种)。思路二:两数不能相同。较小数为1的只有一种取法110;为2的有29,210;较小数为9的有910。共有取法12345432125(种)这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、开始。思路三:两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、19。和是11的有五种110,29,38,47,56;和是1
4、119的取法54433221125(种)。4.想大小数之积用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。5.由得数想例如,思考题:在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是0,0.5,1,1.5,2。从得数出发,想:两个相同数的差,等于0;一个数加上或减去0,仍等于这个数;一个因数是0,积就等于0;0除以一个数(不是0),商等于0;两个相同数的商为1;1除以0.5,商等于2;解法很多,只举几种:(0.50.5)0.50.50.500.50.5(0.50.5)0.50(0.50.50
5、.5)(0.50.5)0(0.50.50.50.5)0.50(0.50.5)0.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5(0.50.5)(0.50.50.5)0.5(0.50.5)0.50.50.50.5(0.50.5)0.50.50.510.50.5(0.50.5)0.51(0.50.5)0.50.50.51(0.50.5)0.5(0.50.5)10.50.50.50.50.51.5(0.50.5)0.50.50.51.50.50.50.50.50.51.50.50.50.50.50.51.50.50.50.50.50.52(0.50.5)0.50.50.52(0.50.50
6、.50.5)0.52(0.50.5)0.50.50.526.想平均数思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占知这三个数是14、15、16。二、一个数分别为16115,15114 或 16214。若先求第一个数,则思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,知是15、16。思路四:第一、三个数的比是78,第一个数是2(87)714。若先求第三个数,则2(87)816。7.想奇偶数例1思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。例如12345678910012345678
7、9100你还能想出不同的添法吗?12345678945。若去掉7和8间的“”,式左为123456789,比原式和增大了78(78)63,即1234567894563108。为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可123456789100。“减去4”可变为“减1、减3”,即123456789100二年级小学生没学过负“1”,不能介绍。如果式左变为123456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要将“”变为“”的数和为13,在3、4、5、6、7中有67,346,因而有123456789100,123456789100,同理得12345678
8、9100,123456789100,123456789100,123456789100,123456789100,123456789100。为了减少计算。应注意:(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数偶数奇数,结果不会是100。(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。例2 求59199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1357(2n1)n2奇数比它对应的序数
9、2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n1。例如,32对应奇数232163。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n1199,n100)的位置上。知1199的奇数和是100210000。此和包括59,2n157、n29、157的奇数和为292841。所求为 100008419159。或者 593021,302900,10000900599159。例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。例如123456789100123456789100你还能想出不同的添法吗?1234567894
10、5。若去掉7和8间的“”,式左为123456789,比原式和增大了78(78)63,即1234567894563108。为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可123456789100。“减去4”可变为“减1、减3”,即123456789100二年级小学生没学过负数“1”,不能介绍。如果式左变为123456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要将“”变为“”的数和为13,在3、4、5、6、7中有67,346,因而有123456789100,123456789100,同理得123456789100,123456789100,1234567
11、89100,123456789100,123456789100,123456789100。为了减少计算。应注意:(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数偶数奇数,结果不会是100。(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。例2 求59199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1357(2n1)n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2
12、n1。例如,32对应奇数232163。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n1199,n100)的位置上。知1199的奇数和是100210000。此和包括59,2n157、n29、157的奇数和为292841。所求为 100008419159。或者 593021,302900,10000900599159。8.约倍数积法任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。证明:设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。那么 MNPaPb。而 QPab,所以 MNPQ。例1 甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。甲数是
13、21,乙数是多少?例2已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。这两个互质数的积为1155155,还可分解为531。所求是1和155,5和31。例3两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的2.5倍,求各数。由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的2.5倍。小数的平方为4402.564。小数是8。大数是82.520。算理:4408208(82.5)822.5。9.想 份 数10巧用分解质因数例1四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。1442432(223)(23)2(43)(62)可组成4623等八个比例式。例2三个连续自然数的积是4896,求这三个数。489
14、62532172417(232)16171817282633(223)31233855711例41992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少?1992222383238388例5甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。162022345(3222)(325)甲数是45,乙数是36。例6把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。八个数的积等于272353113551113131357127313127。每组数的积为23252711132127。两组为例7600有多少个约数?600
15、610023225523352只含因数2、3、5、23、25、35、235的约数分别为:2、22、23;3;5、52;23、223、233;25、225、235、252、2252、2352;35、352;235、2235、2335、2352、22352、23352。不含235的因数的数只有1。这八种情况约数的个数为;3123626124。不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。(31)(11)(21)24。17.想 法 则用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。子比分母少16。求这个分数?由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”
16、,结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知分子的532(倍)是21618,分子为1829,分母为95243或931643。18.想 公 式证明方法:以分母a,要加(或减)的数为(2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。19.想 性 质例11992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:有甲、乙两个多少倍?2001612.5(倍)。例2思考题:三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。写出这三个分数。由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;12、15、30;12、15
17、、60。由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。满足题意的三个分数是(二)第400个分数是几分之几?此题特点:(2)每组分子的排列:假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为nn12n1,即任何一组分数的个数总是奇数。(3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系分母:1、2、3、4、5、分数个数:1、3、5、7、9、(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。10216=13(个)位置上。分别排在81788(个),8113=9
18、4(个)的位置上。或者102=100, 10012=88。100694, 88694。问题(二):由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分数所在的组数400202,分母也是它。第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后一个,即若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个?352(3521)112256911157。排在11571225个的位置上。20.由规则想例如,1989年从小爱数学邀请赛试题:接着1989后面写一串数字
19、,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。例如,8972,在9后面写2,9218,在2后面写8,得到一串数:1989286这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么?先按规则多计算几个数字,得198*86884显然,1989后面的数总是不断重复出现286884,每6个一组。(19894)63305最后一组数接着的五个数字是28688,即第1989个数字是8。21.用 规 律例1第六册P62第14题:选择“、”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)2 2 2 2 20(2)2 2 2 2 21(10)2 2 2 2 29解
20、这类题的规律是:先想用两、三个2列出,结果为0、1、2的基本算式:220,221;再联想2221,2222,2223,每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:2222202222212222222222232222242222252222262222272222282223129412395123496123459得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点:第一个加数由2开始,每式依次增加1。第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为1、12、123、继续写下去71234569=1111111812345679=111111119123456789111111111
21、10123456789911111111111112345679009=1111111111112123456790119=111111111111很自然地想到,可推广为(1)当n=1、2时,等式显然成立。(2)设n=k时,上式正确。当n=k1时k1123k9229例2第六册P63题4:写出奇妙的得数219=k1123(k1)10k9=k1123(k1)9109k=k123(k1)9101根据数学归纳法原理,由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n,此等式都成立。例3牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母1)2。
22、=(211)2=10。22.巧想条件比5小,分母是13的最简分数有多少个。764为64(71)58(个),去掉13的倍数13、26、39、52,余下的作分子得54个最简分数。例2一个整数与1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中,有几个是可用的。看结果,想条件,知都是可用的。4(123)24(512)3246(321)2473122483(21)24931224102132423.想和不变无论某数是多少,原分数的分子与分母的和711=18是不变的。而新分数的分子与分母的和为12=3,要保持原和不变,必同时扩大1836(倍)。
23、某数为761或12111。24.想和与差算理,原式相当于求这个分数。25.想差不变分子与分母的差41356是不变的。新分数的此差是871,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大616(倍)。某数为42357,或48417。与上例同理。231112,312,1226,某数为1165或23185。分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后,分子比分母应小32=5。26.想差的1/2例2分母是105的,最简真分数的和是多少?倍数15个,(35)、(57)、(37)的倍数分别是7、3、5个,(357)的倍数1个。知105(352115)(357)148,48224。27.借助加减恒等式个数。若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,得这九个分数是28.计算比较例如,九册思考题:111、211、3111011。想一想,得数有什么规律? 可见,除数是11,被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11),商1711(116)1
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