指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.ppt

1、一粒米的故事一粒米的故事 从前，有一个国王特别喜爱一项称为从前，有一个国王特别喜爱一项称为“围棋围棋”的游戏，于是他决定奖赏围棋的游戏，于是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的一个心愿的发明者，满足他的一个心愿.“陛下，我深感荣幸，我的愿望是陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我一粒米你赏我一粒米.”发明者说发明者说.“只是一粒只是一粒米？米？”国王回答说国王回答说.“是的，只要在棋是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米两粒米，在第三个加倍放上四粒米以以 此此类类推推，每每一一格格均均是是前前一一格格的的两两倍倍，直直到到放放满

2、满棋棋盘盘为为止止，这这就就是是我我的的愿愿望望.”国国王王很很高高兴兴.“如如此此廉廉价价便便可可以以换换的的如如此此好好的的游游 戏戏，我我的的祖祖辈辈们们一一定定是是恩恩泽泽于于我我了了.国国王王想想.于于是是国国王王大大声声地地说说“好好！把把棋棋盘盘拿拿出出来来让让我我的的臣臣子子们们一一起起见见证证我我们们的的协协议议”思考：国王真的能够满足围棋发明者思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？的愿望吗？思考：国王真的能够满足围棋发明者思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？的愿望吗？一、一、指数函数、幂函数、对指数函数、幂函数、对数函数图像回顾数函数图像回顾y=bxy=ax指数函

3、数指数函数y=ax(a1)图像及图像及a对图像影响对图像影响一一 yxO1ba a1时，时，y=ax是增函数，是增函数，底数底数a越大，其函数值增长越大，其函数值增长就越快就越快.y=logaxy=logbx对数函数对数函数y=logax(a1)图像及图像及a对图像对图像影响影响二二 yxO a1时，时，y=logax是增数，是增数，1ab底数底数a越小，其函数值增长就越小，其函数值增长就越快越快.y=x2y=x3幂函数幂函数y=xn(n1)图像及图像及n对图像影响对图像影响三三 yxO n0时，时，y=xn是增函数，是增函数，且且x1时，时，n越大其函数值增越大其函数值增长就越快长就越快.1

4、.1.指数函数指数函数y=ay=ax x(a(a1)1)，对数函数，对数函数 y=y=logloga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=y=x xn n(n(n0)0)在区间（在区间（0 0，+）上的单调性如何）上的单调性如何？答：单调递增答：单调递增 二二、指数函数、幂函数、对、指数函数、幂函数、对数函数增长比较数函数增长比较 探究（一）：特殊指、幂、对探究（一）：特殊指、幂、对函数模型的差异函数模型的差异 对于函数模型对于函数模型 ：y=2y=2x x,y=x,y=x2 2,y=logy=log2 2x x其中其中x x0.0.思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函观察三个函数的

5、自变量与函数值对应表数值对应表,这三个函数增长的快慢情这三个函数增长的快慢情况如何？况如何？借助计算器完成右表自变量自变量x函数值函数值y=2xy=x2(x0)y=log2x0,21.1490.04-2.3220.61.5160.36-0.73712101.42.6391.960.4851.83.4823.240.8482.24.5954.841.1382.66.0636.761.3793.0891.5853.410.55611.561.7664161653225712849比较函数比较函数y=2x,y=x2,y=log2x图像增长快图像增长快慢慢xyo11 24y=2xy=x2y=log=l

6、og2x x 对数函数对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数增长最慢，幂函数y=x2和指数函数和指数函数y=2x快慢则交替进行快慢则交替进行 在在(0,2)，幂函数比指数函数增长，幂函数比指数函数增长快。快。在在(2,4),先幂函数比指数函数增长先幂函数比指数函数增长快，然后快，然后指数函数比幂函数增长快。指数函数比幂函数增长快。在在(4,+)，指数函数比幂函数增长，指数函数比幂函数增长快。快。思考思考:根据图象，不等式根据图象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 20 0，成立的成立的x x的取值范围的取值范围分别如何？分别如何？在在

7、 ，有，有 loglog2 2x xx x2 22 2x x。在在(2,4),有有loglog2 2x x2 2x xx x2 2。在在 ，有，有 loglog2 2x xx x2 22 2x x。在在(2,4),有有loglog2 2x x2 2x xx x2 2。xy=2xy=x20102030405060110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+180100400900160025003600501001.10E+121.13E+15研究函数研究函数 ,填写下表并在同一平面填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这二个函数的图象直角坐标系内画出这二

8、个函数的图象.y=2xy=x2从上面图像发现什么？从上面图像发现什么？当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比

9、起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些

10、微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.当

11、自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到，的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速的值快速增长，增长，比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道.由于指数函数增长非常快，人们由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为常称这种现象为“指数爆炸指数爆炸”。(1)对数函数增长最慢对数函数增长最慢 (2)当自变量当自变量x大于某一个特定值时，大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快指数函数比幂函数增长快总结规律总结规律一粒米的故事结局一粒米的故事结局 探究（二）：一般指、幂、对函数探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异模型的差异 在区间在区间(0,)上上

12、,当当a1,n0时时,当当x足够足够大时大时,随着随着x的增大的增大,y=ax的增长速度越来越快的增长速度越来越快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=xn的增长速度的增长速度,而而y=logax的增长速度则越来越慢的增长速度则越来越慢.因此因此,总会存在一个总会存在一个x0，使得当，使得当xx0时，时，一定有一定有axxnlogax.假设你有一笔资金用于投资，现有三假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下如下:方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天元，以后每天比前一天

13、多回报比前一天多回报10元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天元，以后每天的回报比前一天翻一番的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？答案：答案：B一般幂、指、对函数模型的衰减性一般幂、指、对函数模型的衰减性探探究究xyo1y=a=axy=x xny=loglogax x 在区间在区间(0,+)上上,尽管函数尽管函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与与y=xn(n0)都是减函数都是减函数,但它们的但它们的衰减速度不同衰减速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上。随上。随着着x的增大，的增大，y=logax(0a

14、1)的衰减速度越来越的衰减速度越来越快快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=ax(0a1)的衰减速度的衰减速度,而而y=xn(n x0时时,就会有就会有 logaxaxxn 。练习练习自变量x1-99.728172100202-99.261094113.8629436403-97.991446121.9722458604-94.540185127.7258872805-85.158684132.18875821006-59.657121135.835189412079.66331584138.9182031408198.095799141.58883081609710.308393143.9444915180102102.64658146.0517019200函数值 特殊指、幂、对函数模型的增长性特殊指、幂、对函数模型的增长性 认识了认识了“指数爆炸指数爆炸”这种现象这种现象 一般幂、指、对函数模型的增长性一般幂、指、对函数模型的增长性 运用指、幂、对函数模型的增长性，分析运用指、幂、对函数模型的增长性，分析生活问题生活问题 一般幂、指、对函数模型的衰减性一般幂、指、对函数模型的衰减性小结:作业：作业：P107习题3.2 A组：3.