北师版初三数学上册第四章相似图形重点讲解doc.docx

1、北师版初三数学上册第四章相似图形重点讲解doc|九年级（上）第四章图形的相似(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2)相似多边形 ：如果两个边数相同的多边形的 对应角相等 ，对应边成比例 ，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比一成比例线段（ 1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是am，或写bn成 a : bm : n 注：在求线段比时，线段单位要统一。（ 2）成比例线段在四条线段 a,b,c,d 中，如果 a和b 的比等于 c和 d 的比，那么这四条线段a,b, c, d

2、叫做成 比例线段 ，简称比例线段注：比例线段是有顺序的，如果说a , b,c, d 成比例，那么应得比例式为：a = c c (b d在比例式a： b c： d 中，, 如果 b=c，即a：bb：da)a、d 叫比例外项， b、c 叫比例内项bd那么 b 叫做 a、 d 的比例中项 ， 此时有 b2ad 。判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算 : 分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质： a:b=c:d 则有

3、 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）； a : b b : cb2a c adbc ，除注：由一个 比例式 只可化成一 个等积式 ，而一个等积式共可化成八个比例式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : cb : d ， c : da : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : ad : b ，d : c b : a ， d : b c : a ab ，交换内项)c(d（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项) ： acd()c ，交换外项bdbadb 同时交换内外项)c(a（ 3）合、分比性质：aca bc dbdbd（ 4）等比性质：

4、如果acem (bd fn0) ，那么 acema bdfnbdfnb注：此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法应用等比性质时，要考虑到分母是否为零| 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：acea2c3ea 2c 3ea ；其中 b2d 3 f 0 bdfb2d3 fb 2d 3 fb（ 4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（ 1）平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例

5、 .D已知 AD BECF,A可得 ABDE 或 ABDE 或 BCEF 或 BCEF 或 ABBC 等.BCEF ACDF ABDE ACDF DEEF注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF 的比例关系B EC F（ 2 ）黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC , BC (ACBC) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC5 1AB 20.618AB 即 ACBC5 1简记为：长 短 51ABAC2全长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩

6、形：宽与长的比等于黄金数的矩形三相似三角形的概念相似三角形概念： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形对应角相等，对应边成比例注意： 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母按相同的顺序写，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 两个三角形形状一样，但大小不一定一样 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例三角形中平行线分线段成比例定理 : 平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 )A所得的对应线段成比例.由 DE BC

7、可得： ADAE 或 BDEC或 ADAEDEDBECADEAABACBC注：重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边 对应成比例 .易错点： DEAD ( 错 )DEAD ( 对 )BC DB BC AB|四三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边 ( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似( 一) 相似三角形的判断定理：判定定理 1：如果一个三角形的 两个角与另一个三角形的两个角对应相等 ，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形

8、相似判定定理 2：如果一个三角形的 两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 ，并且夹角相等 ，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（有些像SAS）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似（二）判定直角三角形相似的方法：(1)(2)以上各种判定均适用如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似一共产生三对相似三角形（三）射影定理 ：在直角三角形中，斜边上的

9、高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。A如图， Rt ABC中， BAC=90， AD是斜边 BC 上的高，则 AD2=BD DC， AB2=BD BC ， AC2=CD BC 。B CD五相似三角形常见的图形|1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ A 型”与“ X型”图）即平行于三角形一边的直线和其它两边 ( 或两边延长线A ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似ADEBCBCE(1)D(2)E DAB C(3)(2)如图：其中 1= 2，则 ADE ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （

10、有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、“蝶型”）AAD1EE4E1AD1D2C22C（ 3）BBBC如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型” ）AAEEEBDBCBC(D)ADACD2(4) 如图： 1= 2， B= D，则 ADE ABC，称为“旋转型”的相似三角形。12、几种基本图形的具体应用：E（1）若 DE BC（ A 型和 X 型）则 ADE ABC（ 2）射影定理若 CD为 Rt ABC斜边上的高（双直角图形）BC222则 Rt ABC Rt ACDRt CBD且 AC=AD AB， CD=AD BD， BC=BD

11、 AB；AEDCDEABCBCAD B3. 全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似相似判定的预备定理两角夹一边对应相等 (ASA)两角一对边对应相等 (AAS) 两角对应相等两边及夹角对应相等 (SAS) 两边对应成比例，且夹角相等三边对应相等 (SSS) 三边对应成比例直角三角形中一直角边与斜边对应相等 (HL) 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例|4.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形 对应高的比 ，对应中线的比 和对应角平分线的比 都等于相似比 (3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形 面积的比 等于相似比的平方 5.相似多边形的性质相

12、似多边形的相似必须同时满足两个条件：对应边成比例；对应角相等。两个同时成立才可以说明多边形相似，缺一不可，如两个矩形不一定相似，缺少。(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键六相似三角形中有关证 （解）题规律与辅助线作法1、证明题常用方法归纳：（1）总体思路 : “等积式”变“比例式” ，“比例的对应边”找“相似多边形的对应边”当有多条边相等的时候要会转移边(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻

13、找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论 .常用方法：一对平行线之间有多少个交点，就会产生多少对相似三角形(3)找中间比：若没有三角形 ( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上 ) ，则需要进行“转移” ( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换 .即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 am , cm ( m 为中间比 ) am

14、, cm , nn bn dnnbn dn a m , c m( m m , n n 或 m m )bn dn nn(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线( 通常是添加平行线 ) 构成比例 . 以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（ 5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（ 6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。2.相似图形的证明

15、题型题型一：相似之中间项转化 , 解题思路：一条平行线至少能产生一组比例式，利用比例式等量代换题型二：辅助线 X 图题型三：面积相等题题型四：周长相等题题型五：相似旋转题型六：非相似三角形的面积比题型七：相似外角推论题型八：函数题|七位似图形1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 .（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 .（3） 位似图形的对应边互相平行或共线.（4） 位似多边形

16、对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比3. 画位似图形的一般步骤：（ 1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（ 2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取） .（ 3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置 .（ 4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形 . 注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变

17、换是以原点O为位似中心，相似比为 k（ k0） , 原图形上点的坐标为（x,y ） , 那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为 (-kx,-ky),|比例的性质比例线段|平行线分线段成比例|相似图形|相似多边形的性质|相似三角形的判定|利用相似测高相似三角形的性质|经典例题透析类型一、相似三角形的概念1判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨： 要说明两个三角形相似，要同时满足对应

18、角相等，对应边成比例中的一个条件 .解： (1)不一定相似 .反例.要说明不相似，则只要否定其直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等 .所以直角三角形不一定相似 .(2)不一定相似 .反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定 .因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似 .(3)一定相似 .在直角三角形 ABC 与直角三角形 A B C中设 AB=a ， A B =b，则 BC=a， B C =b，AC= a， A C= bABC A B C(4)一定相似 .因为等边三角形各边都相等，各角都等于 60 度，所以两个等边

19、三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似 .(5)一定相似 .全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为 1，所以全等三角形一定相似，且相似比为 1.|举一反三【变式 1】两个相似比为 1 的相似三角形全等吗？解析： 全等 .因为这两个三角形相似，所以对应角相等 .又相似比为 1，所以对应边相等因此这两个三角形全等 .总结升华： 由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似 .(1) 两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似 .(2) 两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似 .(3) 两个全等三角形一定相似，且相似比为 1；相似比为 1 的两个相似三角形全等

20、 .【变式 2】下列能够相似的一组三角形为 ( )A. 所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形C. 所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析： 根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等而 A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B 中什么条件都不满足； D 中只有一条对应边的比相等； C 中所有三角形都是由 90、 45、 45角组成的三角形，且对应边的比也相等 .答案选 C.类型二、相似三角形的判定2如图所示，已知 中， E 为 AB 延长线上的一点， AB=3BE ，DE 与 BC 相交于 F，请找出图中各

21、对相似三角形，并求出相应的相似比 .思路点拨： 由 可知 AB CD， AD BC ，再根据平行线找相似三角形 .解： 四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD ，AD BC， BEF CDF ， BEF AED. BEF CDF AED. 当 BEF CDF 时，相似比 ；当 BEF AED 时，相似比 ；当 CDF AED时，相似比.总结升华： 本题中 BEF 、 CDF 、 AED 都相似，共构成三对相似三角形还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数 .求相似比不仅要找准对应边，3已知在 Rt ABC 中， C=90， AB=10 ，BC=6. 在 Rt EDF

22、 中， F=90， DF=3， EF=4 ，则 ABC 和 EDF 相似吗？为什么？思路点拨： 已知 ABC 和 EDF 都是直角三角形， 且已知两边长， 所以可利用勾股定理分别求出第三边 AC 和 DE，再看三边是否对应成比例 .解： 在 Rt ABC 中， AB=10 ， BC=6 ， C=90 .|由勾股定理得 .在Rt DEF 中， DF=3 ， EF=4 ， F=90 .由勾股定理，得 .在 ABC 和 EDF 中， ， ， ， ， ABC EDF( 三边对应成比例，两三角形相似 ).总结升华：(1) 本题易错为只看 3， 6， 4， 10 四条线段不成比例就判定两三角形不相似 .利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边 .(2) 本题也可以只求出 AC 的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似 .4如图所示，点D 在 ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与 ABC相似？试分别加以列举.思路点拨： 此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，ACD与 ABC已有公共角A ，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.解： 当满足以下三个条件之一时， ACD ABC.条件一： 1= B.