中考数学专题复习圆的有关概念及性质.docx

1、中考数学专题复习圆的有关概念及性质中考数学专题复习：圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义： 形成性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫 线段OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中,圆决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦,弦不一定是锥】2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧,弧可分为 、 、 三类3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形,有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形,对称中

2、心是 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ,并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ,并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中,两个圆心角

3、、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个,它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多

4、边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】考点一：垂径定理例1 绍兴）如图,AD为O的直径,作O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线,交O于B,C两点,2、连接AB,AC,ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交O于B,C两点2、连接AB,BC,CAABC即为所求的三角形对于甲、乙两人的作法,可判断（）A甲、乙均正确 B甲、乙均错误C甲正确、乙错误 D甲错误,乙正确考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形专题：计算题分析：由甲的思路画出相应的图形,连接OB,由BC

5、为OD的垂直平分线,得到OE=DE,且BC与OD垂直,可得出OE为OD的一半,即为OB的一半,在直角三角形BOE中,根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30,得到OBE为30,利用直角三角形的两锐角互余得到BOE为60,再由BOE为三角形AOB的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角性质得到ABO也为30,可得出ABC为60,同理得到ACB也为60,利用三角形的内角和定理得到BAC为60,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形,连接OB,BD,由BD=OD,且OB=OD,等量代换可得出三角形OBD三边相等,即为等边三角形,的长BOE

6、=DBO=60,由BC垂直平分OD,根据三线合一得到BE为角平分线,可得出OBE为30,又BOE为三角形ABO的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到ABO也为30,可得出ABC为60,同理得到ACB也为60,利用三角形的内角和定理得到BAC为60,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形,进而得出两人的作法都正确解答：解：根据甲的思路,作出图形如下：连接OB,BC垂直平分OD,E为OD的中点,且ODBC,OE=DE=OD,又OB=OD,在RtOBE中,OE=OB,OBE=30,又OEB=90,BOE=60,OA=OB,OAB=OBA,又BOE为AOB的外角,OA

7、B=OBA=30,ABC=ABO+OBE=60,同理C=60,BAC=60,ABC=BAC=C,ABC为等边三角形,故甲作法正确；根据乙的思路,作图如下：连接OB,BD,OD=BD,OD=OB,OD=BD=OB,BOD为等边三角形,OBD=BOD=60,又BC垂直平分OD,OM=DM,BM为OBD的平分线,OBM=DBM=30,又OA=OB,且BOD为AOB的外角,BAO=ABO=30,ABC=ABO+OBM=60,同理ACB=60,BAC=60,ABC=ACB=BAC,ABC为等边三角形,故乙作法正确,故选A点评：此题考查了垂径定理,等边三角形的判定,含30直角三角形的判定,三角形的外角性质

8、,以及等腰三角形的性质,熟练掌握定理及判定是解本题的关键对应训练1哈尔滨）如图,O是ABC的外接圆,B=60,OPAC于点P,OP=2,则O的半径为（）A4 B6 C8 D12考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理专题：计算题分析：由B的度数,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,求出AOC的度数,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,利用三角形的内角和定理求出OAC=30,又OP垂直于AC,得到三角形AOP为直角三角形,利用30所对的直角边等于斜边的一半,根据OP的长得出OA的长,即为圆O的半径解答：解：圆心角AOC与圆周角B所对的弧都为,且B=60,AOC=2B=1

9、20,又OA=OC,OAC=OCA=30,OPAC,AOP=90,在RtAOP中,OP=2,OAC=30,OA=2OP=4,则圆O的半径4故选A点评：此题考查了垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质,以及含30直角三角形的性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键考点二：圆周角定理例2 青海）如图,AB是O的直径,弦CDAB于点N,点M在O上,1=C（1）求证：CBMD；（2）若BC=4,sinM= ,求O的直径考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形分析：（1）由C与M是 所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得C=M,又由1=C,易得1=M,即可判定CBMD；（2）

10、首先连接AC,AB为O的直径,可得ACB=90,又由弦CDAB,根据垂径定理的即可求得= ,继而可得A=M,又由BC=4,sinM= ,即可求得O的直径解答：（1）证明：C与M是所对的圆周角,C=M,又1=C,1=M,CBMD；（2）解：连接AC,AB为O的直径,ACB=90,又CDAB,= ,A=M,sinA=sinM,在RtACB中,sinA=,sinM=,BC=4,AB=6,即O的直径为6点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用对应训练37沈阳）如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,D为O上一点,O

11、DAC,垂足为E,连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时,求证：BC=OD考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理专题：证明题分析：（1）由ODAC OD为半径,根据垂径定理,即可得 ,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分ABC；（2）首先由OB=OD,易求得AOD的度数,又由ODAC于E,可求得A的度数,然后由AB是O的直径,根据圆周角定理,可得ACB=90,继而可证得BC=OD解答：证明：（1）ODAC OD为半径,CBD=ABD,BD平分ABC；（2）OB=OD,OBD=0DB=30,AOD=OBD+ODB=30+30=60,又O

12、DAC于E,OEA=90,A=180OEAAOD=1809060=30,又AB为O的直径,ACB=90,在RtACB中,BC=AB,OD=AB,BC=OD点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用考点三：圆内接四边形的性质例3 深圳）如图,C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为（0,3）,M是第三象限内 上一点,BMO=120,则C的半径长为（）A6 B5 C3 D3 考点：圆内接四边形的性质；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形专题：探究型分析：先根据圆内接四边形的性质求出OAB的度数,由圆周角定理可知AOB=90

13、,故可得出ABO的度数,根据直角三角形的性质即可得出AB的长,进而得出结论解答：解：四边形ABMO是圆内接四边形,BMO=120,BAO=60,AB是O的直径,AOB=90,ABO=90BAO=9060=30,点A的坐标为（0,3）,OA=3,AB=2OA=6,C的半径长=3故选C点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质,熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键对应训练3（2011肇庆）如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若BAD=105,则DCE的大小是（）A115 Bl05 C100 D95考点：圆内接四边形的性质专题：计算题分析：根据

14、圆内接四边形的对角互补得到BAD+BCD=180,而BCD与DEC为邻补角,得到DCE=BAD=105解答：解：四边形ABCD是圆内接四边形,BAD+BCD=180,而BCD+DCE=180,DCE=BAD,而BAD=105,DCE=105故选B点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等【聚焦山东中考】1泰安）如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为M,下列结论不成立的是（）ACM=DM B CACD=ADC DOM=MD考点：垂径定理专题：计算题分析：由直径AB垂直于弦CD,利用垂径定理得到M为CD的中点,B为劣弧的中点,可得出A和B选项

15、成立,再由AM为公共边,一对直角相等,CM=DM,利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等,根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立,而OM不一定等于MD,得出选项D不成立解答：解：AB是O的直径,弦CDAB,垂足为M,M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立；B为的中点,即,选项B成立；在ACM和ADM中,ACMADM（SAS）,ACD=ADC,选项C成立；而OM与MD不一定相等,选项D不成立故选D点评：此题考查了垂径定理,以及全等三角形的判定与性质,垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的弧,熟练掌握垂径定理是解本题的关键2东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（

16、如图1）,若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm230考点：垂径定理的应用；勾股定理分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时,圆外接于ABC；连接外心与B点,可通过勾股定理即可求出圆的半径解答：解：连接OB,如图,当O为ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,O点在AD上,BD=24cm；在Rt0BD中,设半径为r,则OB=r,OD=48r,r2=（48r）2+242,解得r=30即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm故答案为：30点评：此题考查把实物图转化为几何图形

17、的能力以及勾股定理,垂径定理的讨论和勾股定理3泰安）如图,在半径为5的O中,弦AB=6,点C是优弧上一点（不与A,B重合）,则cosC的值为 3考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义分析：首先构造直径所对圆周角,利用勾股定理得出BD的长,再利用cosC=cosD=求出即可解答：解：连接AO并延长到圆上一点D,连接BD,可得AD为O直径,故ABD=90,半径为5的O中,弦AB=6,则AD=10,BD=8,D=C,cosC=cosD=,故答案为：点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理,根据已知构造直角三角形ABD是解题关键4青岛）如图,点A、B、C在O上,

18、AOC=60,则ABC的度数是 4.150考点：圆周角定理分析：首先在优弧上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理,即可求得ADC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得答案解答：解：在优弧上取点D,连接AD,CD,AOC=60,ADC=AOC=30,ABC+ADC=180,ABC=180ADC=18030=150故答案为：150点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题比较简单,注意掌握辅助线的作法【备考真题过关】一、选择题1无锡）如图,以M（5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,P是M上异于A、B的一动点,直线PA、PB分别交y轴于C、D,以CD为直径的N与x轴交于E

19、、F,则EF的长（）A等于4 B等于4 C等于6 D随P点位置的变化而变化考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题：计算题分析：连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=rx,OC=r+x,证OBDOCA,推出OC：OB=OA：OD,即（r+x）：1=9：（rx）,求出r2x2=9,根据垂径定理和勾股定理即可求出答案解答：解：连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=rx,OC=r+x,以M（5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,OA=4+5=9,0B=54=1,AB是M的直径,APB=90（直径所对的圆周角是直角）,BOD=90,PAB+PBA=90,ODB+OB

20、D=90,PBA=OBD,PAB=ODB,APB=BOD=90,OBDOCA,即,解得：（r+x）（rx）=9,r2x2=9,由垂径定理得：OE=OF,OE2=EN2ON2=r2x2=9,即OE=OF=3,EF=2OE=6,故选C点评：本题考查了勾股定理,垂径定理,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出OE=OF和r2x2=9,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力2陕西）如图,在半径为5的O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为（）A3 B4 C3 D4考点：垂径定理；勾股定理分析：作OMAB于M,ONCD于N,连接OP,OB,OD,首先利用勾

21、股定理求得OM的长,然后判定四边形OMPN是正方形,求得正方形的对角线的长即可求得OM的长解答：解：作OMAB于M,ONCD于N,连接OP,OB,OD,由垂径定理、勾股定理得：OM=3,弦AB、CD互相垂直,DPB=90,OMAB于M,ONCD于N,OMP=ONP=90四边形MONP是正方形,OP=3故选C点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解题的关键是正确地作出辅助线3黄冈）如图,AB为O的直径,弦CDAB于E,已知CD=12,BE=2,则O的直径为（）A8 B10 C16 D20考点：垂径定理；勾股定理分析：连接OC,可知,点E为CD的中点,在RtOEC中,OE=OBBE=OCBE,

22、根据勾股定理,即可得出OC,即可得出直径解答：解：连接OC,根据题意,CE=CD=6,BE=2在RtOEC中,设OC=x,则OE=x2,故：（x2）2+62=x2解得：x=10即直径AB=20故选D点评：本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用,解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形4河北）如图,CD是O的直径,AB是弦（不是直径）,ABCD于点E,则下列结论正确的是（）AAEBE B CD=AEC DADECBE考点：垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定分析：根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可解答：解：CD是O的直径,AB是弦（不是直径）,ABCD于点E,AE=BE

23、,故A、B错误；AEC不是圆心角,DAEC,故C错误；CEB=AED,DAE=BCE,ADECBE,故C正确故选D点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定,难度不大,是基础题5重庆）已知：如图,OA,OB是O的两条半径,且OAOB,点C在O上,则ACB的度数为（）A45 B35 C25 D20考点：圆周角定理专题：探究型分析：直接根据圆周角定理进行解答即可解答：解：OAOB,AOB=90,ACB=AOB=45故选A点评：本题考查的是圆周角定理,即在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半6云南）如图,AB、CD是O的两条弦,连接AD、BC若BAD=

24、60,则BCD的度数为（）A40 B50 C60 D70考点：圆周角定理分析：由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得BCD的度数解答：解：BAD与BCD是对的圆周角,BCD=BAD=60故选C点评：此题考查了圆周角定理此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用,注意数形结合思想的应用7襄阳）ABC为O的内接三角形,若AOC=160,则ABC的度数是（）A80 B160 C100 D80或100考点：圆周角定理分析：首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案ABC的度数,又由圆的内接四边四边形性质,即可求得ABC的度数解答：解：如图,AOC=1

25、60,ABC=AOC=160=80,ABC+ABC=180,ABC=180ABC=18080=100ABC的度数是：80或100故选D点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解8泸州）如图,在ABC中,AB为O的直径,B=60,BOD=100,则C的度数为（）A50 B60 C70 D80考点：圆周角定理分析：由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得A的度数,然后由三角形的内角和定理,即可求得C的度数解答：解：BOD=100,A=BOD=50,B=60,C=180AB=70故选C点评：此题

26、考查了圆周角定理与三角形的内角和定理此题难度不大,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键二、填空题9朝阳）如图,AB为O的直径,CD为O的一条弦,CDAB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则0的半径为 595考点：垂径定理；勾股定理分析：连接OD,由垂径定理得求出DE,设O的半径是R,由勾股定理得出R2=（R1）2+32,求出R即可解答：解： 连接OD,ABCD,AB是直径,由垂径定理得：DE=CE=3,设O的半径是R,在RtODE中,由勾股定理得：OD2=OE2+DE2,即R2=（R1）2+32,解得：R=5,故答案为：5点评：本

27、题考查了垂径定理和勾股定理的应用,用了方程思想,题目比较好,难度适中10成都）如图,AB是O的弦,OCAB于C若AB=2,0C=1,则半径OB的长为 2102考点：垂径定理；勾股定理专题：探究型分析：先根据垂径定理得出BC的长,再在RtOBC中利用勾股定理求出OB的长即可解答：解：AB是O的弦,OCAB于C,AB=2,BC=,AB=,0C=1,在RtOBC中,OB=故答案为：2点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理,先求出BC的长,再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键11嘉兴）如图,在O中,直径AB丄弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为 241124考点：垂径定理；勾股定理专题：探究型分析：连接OD,由AM=18,BM=8