变化率与导数、导数的计算.ppt

1、第十节变化率与导数、导数的计算【知知识梳理梳理】1.1.必会知必会知识教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)函数函数y=y=f(xf(x)在在x=xx=x0 0处的的导数数:定定义:称函数称函数y=y=f(xf(x)在在x=xx=x0 0处的瞬的瞬时变化率化率_=_=为为y=y=f(xf(x)在在x=xx=x0 0处的导数，记作处的导数，记作f(xf(x0 0)或或即即f(xf(x0 0)=_.)=_.几何意几何意义:函数函数f(xf(x)在点在点x x0 0处的的导数数f(xf(x0 0)的几何意的几何意义是在曲是在曲线y=y=f(xf(x)上点上点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处

2、的的_._.相相应地地,切切线方程方程为_._.(2)(2)函数函数y=y=f(xf(x)的的导函数函数:称函数称函数f(xf(x)=_)=_为函数函数y=y=f(xf(x)的的导函数函数,导函数有函数有时也也记作作y.y.切切线的斜率的斜率y-f(xy-f(x0 0)=f(x=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0)(3)(3)基本初等函数的基本初等函数的导数公式数公式:原函数原函数导函数函数f(xf(x)=)=c(cc(c为常数常数)f(xf(x)=_)=_f(xf(x)=)=x x(Q(Q*)f(xf(x)=_)=_f(xf(x)=)=sinxsinxf(xf(x)=_)=_f(xf(x

3、)=)=cosxcosxf(xf(x)=_)=_0 0 xx-1-1cosxcosx-sinxsinx原函数原函数导函数函数f(xf(x)=)=a ax x(a(a0,0,且且a1)a1)f(xf(x)=_)=_f(xf(x)=e)=ex xf(xf(x)=_)=_f(x)=logf(x)=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)f(xf(x)=_ )=_ f(xf(x)=)=lnxlnxf(xf(x)=_)=_ a ax xlnalnae ex x(4)(4)导数四数四则运算法运算法则:f(x)f(x)g(xg(x)=_.)=_.f(x)f(x)g(xg(x)=_.)=_._(g(x

4、)0)._(g(x)0).f(x)f(x)g(xg(x)f(x)g(x)+f(x)g(xf(x)g(x)+f(x)g(x)(5)(5)复合函数的复合函数的导数数:复合函数复合函数y=y=f(g(xf(g(x)的的导数和函数数和函数y=y=f(u),uf(u),u=g(xg(x)的的导数数间的关系的关系为y yx x=_.=_.y yu uu ux x2.2.必必备结论教材提教材提炼记一一记(1)(1)曲曲线y=y=f(xf(x)在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0)处的切的切线是以点是以点P(xP(x0 0,y,y0 0)为切点切点,以以f(xf(x0 0)为斜率的直斜率的直线,而曲而曲线

5、y=y=f(xf(x)过点点P(xP(x0 0,y,y0 0)的切的切线,点点P(xP(x0 0,y,y0 0)不一定是切点不一定是切点.(2)(2)函数函数y=y=f(xf(x)的的导数数f(xf(x)反映了函数反映了函数f(xf(x)的瞬的瞬时变化化趋势,其正其正负号反映了号反映了变化的方向化的方向,其大小其大小|f(xf(x)|)|反映了反映了变化的快慢化的快慢,|f(xf(x)|)|越大越大,曲曲线在在这点点处的切的切线越越“陡陡”.3.3.必用技法核心必用技法核心总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法:利用利用导数求切数求切线的方法的方法.(2)(2)数学思想数学思想:转化与化

6、化与化归、数形、数形结合合.(3)(3)记忆口口诀:导数概念要理清数概念要理清,专门刻画刻画变化量化量,放大放大再放大放大放大再放大,逼近逼近再逼近逼近逼近再逼近.几何意几何意义在切在切线,物理物理应用求速度用求速度.常常见函数的函数的导数数,定定义证明会推明会推导.导数的四数的四则运算运算,记住法住法则计算巧算巧.简单函数的复合函数的复合,记住公式会运算住公式会运算.【小小题快快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)求求f(xf(x0 0)时,可先求可先求f(xf(x0 0)再求再求f(xf(x0 0).().()(2)(2)曲曲线的切的切线不一定与曲不一定与曲

7、线只有一个公共点只有一个公共点.(.()(3)(3)与曲与曲线只有一个公共点的直只有一个公共点的直线一定是曲一定是曲线的切的切线.(.()(4)(4)若若f(xf(x)=f(a)x)=f(a)x2 2+lnln x(ax(a0),0),则f(xf(x)=2xf(a)+.()=2xf(a)+.()【解析解析】(1)(1)错误错误.应先求应先求f(xf(x),),再求再求f(xf(x0 0).).(2)(2)正确正确.如如y=1y=1是曲线是曲线y=sin xy=sin x的切线的切线,但其交点个数有无数个但其交点个数有无数个.(3)(3)错误错误.如如y=0y=0与抛物线与抛物线y y2 2=x

8、=x只有一个公共点只有一个公共点,但是但是y=0y=0不是抛物线不是抛物线y y2 2=x=x的切线的切线.(4)(4)正确正确.f(xf(x)=(f(a)x)=(f(a)x2 2+ln x)=(f(a)x+ln x)=(f(a)x2 2)+(ln x)+(ln x)=2xf(a)+.=2xf(a)+.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改教材改编链接教材接教材练一一练(1)(1)(选修修2-2P11T12-2P11T1改改编)在高台跳水运在高台跳水运动中中,t s,t s时运运动员相相对于水面的于水面的高度高度(单位位:m):m)是是h(th(t)=-4.9

9、t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.则运运动员的速度的速度v=v=,加速加速度度a=a=.【解析解析】v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8.v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8.答案答案:-9.8t+6.5-9.8t+6.5-9.8-9.8(2)(2)(选修选修2-2P18T32-2P18T3改编改编)已知函数已知函数r(V)=,r(V)=,则则r()=_.r()=_.【解析解析】因为因为r(V)=r(V)=所以所以r()=r()=答案：答案：3.3.真真题小小试感悟考感悟考题试一一试(1)(2014(1)(2014广广东高考高考)

10、曲曲线y=-5ey=-5ex x+3+3在点在点(0,-2)(0,-2)处的切的切线方程方程为.【解析解析】因为因为y=-5ey=-5ex x,y|,y|x x=0=0=-5,=-5,即在点即在点(0,-2)(0,-2)处的切线斜率为处的切线斜率为-5,-5,所以切线方程为所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.答案答案:5x+y+2=05x+y+2=0(2)(2013(2)(2013江西高考江西高考)若曲若曲线y=xy=x+1(R)+1(R)在点在点(1,2)(1,2)处的切的切线经过坐坐标原点原点,则=.【解析解析】因为

11、因为y=y=x x-1-1,所以在点所以在点(1,2)(1,2)处的切线斜率处的切线斜率k=,k=,则切则切线方程为线方程为y-2=(x-1),y-2=(x-1),又切线过原点又切线过原点,故故0-2=(0-1),0-2=(0-1),解得解得=2.=2.答案答案:2 2(3)(2015(3)(2015阳泉模阳泉模拟)直直线y=y=x+bx+b是曲是曲线y=y=lnln x(xx(x0)0)的一条切的一条切线,则实数数b=b=.【解析解析】y=,y=,令令 =,=,得得x=2,x=2,因此切点为因此切点为(2,ln2),(2,ln2),代入直线方程代入直线方程y=x+by=x+b得得b=ln2-

12、1.b=ln2-1.答案答案:ln2-1ln2-1考点考点1 1 导数的计算导数的计算【典例典例1 1】求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=(1)y=e ex xsinsin x.(2)y=x().x.(2)y=x().(3)y=x-(3)y=x-(4)y=ln(1-2x).(4)y=ln(1-2x).【解题提示解题提示】(1)(1)利用积的导数运算法则求解利用积的导数运算法则求解.(2)(3)(2)(3)先化简再求导先化简再求导.(4)y=ln(1-2x).(4)y=ln(1-2x)是由是由y=y=lnln u u与与u=1-2xu=1-2x复合而成复合而成.【规范解答规范解答】(1

13、)y=(1)y=(e ex x)sin)sin x+ex+ex x(sin(sin x)=x)=e ex xsinsin x+ex+ex xcoscos x.x.(2)(2)因为因为所以所以y=y=(3)(3)因为因为y=x-sin x,y=x-sin x,所以所以y=1-y=1-coscos x.x.(4)(4)设设y=y=lnln u,u,则则y=ln(1-2x)y=ln(1-2x)是由是由y=y=lnln u,u,与与u=1-2xu=1-2x复合而成复合而成.所以所以yyx x=yyu uuux x=(=(lnln u)u)(1-2x)=(1-2x)=(-2)(-2)【易错警示易错警示】

14、解答本题有三点容易出错：解答本题有三点容易出错：(1)(1)解答本题解答本题(2)(2)时，若直接使用积的运算法则求导时，若直接使用积的运算法则求导,则运算烦琐，易则运算烦琐，易出错出错.(2)(2)解答本题解答本题(3)(3)时，若不先化简，直接使用积的运算法则求导，易导时，若不先化简，直接使用积的运算法则求导，易导致错误答案致错误答案.(3)(3)解答解答(4)(4)时，易因搞不清复合函数的构成而解答失误时，易因搞不清复合函数的构成而解答失误.【规律方法规律方法】导数计算的原则和方法导数计算的原则和方法(1)(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的原则：先化简解析式，

15、使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导和、差、积、商，再求导.(2)(2)方法：方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的

16、形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求导复合函数：由外向内，层层求导.【变式训练变式训练】求下列各函数的导数求下列各函数的导数.(1)y=(3x(1)y=(3x2 2-4x)(2x+1).-4x)(2x+1).(2)y=x(2)y=x2 2sin x.sin x.(3)y=(3)y=(4)(4)【解析解析】(1)(1)因为因为y=(3xy=(3x2 2-4x)(2x+1)-4x)(2x+1)=6x=6x3 3+3x+3x2 2-8x-8x2 2-4x=6x-4x=6x3 3-5x-5x2 2-4x-4x，所以所以y=18xy=18x2 2-10 x-4.-10 x-4.(2)y=(x(2)y=(x2 2)sin x+x)sin x+x2 2(sin x)=2xsin x+x(sin x)=2xsin x+x2 2cos x.cos x.(3)y=(3)y=(4)(4)所以所以y=y=【加固训练加固训练】求下列函数的导数求下列函数的导数.(1)y=3(1)y=3x xe ex x-2-2x x+e.+e.(2)y=(2)y=(3)y=(3)y=【解析解析】(1)y=(3(1)y=(3x