高等数学等价无穷小替换极限的计算.docx

1、高等数学等价无穷小替换极限的计算讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、 理解无穷小与无穷大的概念；2、 掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、 不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、 无穷小与无穷大；2、 无穷小的比较；3、 几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、 求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小 与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂

2、练习（15 分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 nr 数列xn的极限、X； （ Xr : :、X-:-）函数f x 的极限、X x0 （ X- x0、X乞一）函数f （x）的极限这七种趋近方式。下面 我们用x *表示上述七种的某一种趋近方式，即* x_ x x 、-： x- x0 x- Xq x- x0_;定义：当在给定的x *下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x *下的无穷小，即 xm f(x)=o。例如,V IXmosinx = o,二函数sinx是当xt 0时的无穷小.lim - = 0函数-是当x 时的无穷小.x x x lim。 =0, 数列-是当n；二

3、时的无穷小.n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的X. *下，f x无限增大，则称f x是X. *下的无穷大，即lim* f(x)=。显然，nT血时，n、n2、n3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是 无穷大，如lim ex = 0， lim ex ：X x :.所以ex当x 时为无穷小，当x、 时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大，则丄为无穷小；反之，

4、如果f x为无穷小，且f x = 0，则丄为无穷大。f X f X小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应 给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系：定理1 lim f (x) = A? f (x) A+ (x),其中(x)是自变量在同一变化过X? X)x程x_ x0 (或x)中的无穷小.证：(必要性)设 lim f(x) = A令:(x) = f (x)- A,则有 lim (x)= 0,X?冷 x? 0f(x)=A ： (x).(充分性)设f(x)= A+ ： (x),其中：(x)

5、是当X? Xo时的无穷小，则lim f (x) = lim( A+ ： (x)二 A lim ： (x) = A【意义】(1 )将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小)；(2)给出了函数f(x)在xo附近的近似表达式f (x)? A,误差为(x).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如，n二时丄是无穷小，但n个 1之和为1不是无穷小.n n定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.1 1 1如：lim(-1)n 0， lim xsin 0， lim sinx = 0n 7 x x护 x推论1在同一过程中，有极限的变

6、量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较1例如，当x? 0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小，观察各极限：x2lim =0, x2比3x要快得多；x爭3xlim sinx =1, sinx与x大致相同; x_Q xxin1极限不同，反映了趋向于零的快慢”程度不同.1.定义：设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 -1 0.B(1)如果lim = 0,就说：是比高阶的无穷小，记作：=0()；(2)如果lim二C(C = 0),就说与是同阶的无穷小；特殊地如果lim = 1,则称：与:是等价的无穷小，记作Ct(3

7、)如果liT= C(C? 0,k 0),就说是的k阶的无穷小.(4)(2)原极限=迎2x2x例1 证明:当x； 0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.2.常用等价无穷小:当x 0时,(1)sinx x ；(2) arcsinx x ；(3) tanx x ；(4)arcta nxx ；(5) ln(1 x)x ；(6) ex-1 x1_cosx x22(8) (1 X)、j Jx(9) ax- 1 In a* x例4求卿坦詩1正解：当X 0时，sin2x2x, tanx-sinx 二 tanx(1-cosx) x3,1x3故原极限=规話冷【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘

8、积形式才可以进 行等价无穷小替换。tan5x - cosx 1例5 求lim .T sin3x1 解: tanx =5x o(x), sin3x =3x o(x), 1 -cosx =尹2 o(x2).25.型1x叱x 2 x3 o(x)x三、极限的简单计算1.2x5 3x4 + 2x +1即为其极限，例如2X3x33：2x； 122 ；若f Xo不存在，我们也能知道属9代入法：直接将XT Xo的Xo代入所求极限的函数中去，若 f(xo)存在,于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但 我们看出了这是一个0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法x2

9、 _g例如，lim = lim x 3 =6。xy x_3 t3.分子(分母)有理化法X2 5 一3 X2 5 一3 X2 5 3 2x 1 5，火急+1 - J5 黒(J2x +1 - Q2x 十1 + V5 対 X2 + 5 十 3)=加4x 2 2x - 4X 辽 2x_2又如,lim x2 1 - x = lim 0x x x2 1 x4.化无穷大为无穷小法又：Txm（4x_1） =3 式 0,二limx 1x2 2x-34x 1=0.解：x = 0是函数的分段点，两个单侧极限为2左右极限存在且相等,故四彳厲/.y(x)=2k二2,当k充分大时,y(xo) M.无界，1取 x (k =

10、 0,1,2,3,)2k兀当k充分大时,Xk ”：，但y(Xk) =2k二sin2k二=0”： M.不是无穷大.结论：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且帔林刈=人，问：能否保证有A0的结论？试举例 说明.1 i解：不能保证.例 f (x)二一 _x 0, f (x)二一 0 一 f (x)二1lim A = 0.x:x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当x=时f(x)=丄，g(x)二沁都是无穷小量x x但lim 岀二lim sinx不存在且不为无穷大，故当 :时f(x)和g(x)不能比X：f (x) J ：较【课堂练习】求下列函数

11、的极限解:原极限=lim ex 5二lim亡1 lim匕妙二1(5)1x - 2xT x 7x7【分析】“ 0 ”型，拆项。 lim 5x5 54x4 3x22x5 4x +1【分析】“抓大头法”，用于二型Q0【分析】：型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算【分析】“0 ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因 子。x2 x2 9 32 =6 x1 2 n（7）求lim（冷刍） nY n n n马)“im1 2 nn2 n厂n211 n(n 1) =lim -2 n 忙：n2lim-(V-.n2 n 2解：n- 时,是无穷小之先变形再求极限.【内容小结】一、 无穷小

12、（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、 主要内容：两个定义；四个定理；三个推论.2、 几点注意：（1） 无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小 的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 .（3） 无界变量未必是无穷大.二、 无穷小的比较：1.反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷 小都可进行比较。高（低）阶无穷小；等价无穷小；无穷小的阶。2.等价无穷小的替换：求极限的又一种方法，注意适用条件.三、 极限求法（不同类型的未定式的不同解法）；a.多项式与分式函数代入法求极限；b.消去零因子法求极限；c.无穷小因子分出法求极限；d.利用无穷小运算性质求极限；e.利用左右极限求分段函数极限.