随机信号分析课件2(常建平).ppt

1、第第 2 2 章章 随机信号的时域分析随机信号的时域分析 常建平 信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。由于我们讨论的是随机的时间信号，其幅度、相位随机变化，无法由确定的时间函数来描述。而随机信号的统计规律则是确定的，因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型随机过程。下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。举例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测 到的所有的可能结果有m种，记录下m个不相同的波形。2.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 尽管从总体上看随机过程各

2、次所得的结果可能不尽相同，是随机的。但是就其单次实验结果k而言，它是确定的，是可以用一个确定时间函数 表示的。因此，如果能观察到随机过程的所有可能结果，每个结果用一个确定函数 表示，则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体 或 来描述。以上是所有可能结果的集合，尽管在每次测量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，但事先可以确定“总会”在这m个波形中“出现一个”。即：中每一个结果k总有一个波形 与其对应。而对应于所有不同的实验结果 ，得到的一族时间波形 ，而它们的总体 称为“随机过程”。相对所有实验结果而言，这一族时间函数的总体 构成了随机过程，其中 称随机过程的样本函数，而所有样本函数的集合 则

3、构成了随机过程的“样本函数空间”。可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)，tT，。对于某个时刻t=ti，X(ti，)通常称为随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态”。它仅是参变量的函数，对所有实验结果而言，它随机地取X(ti，1)，X(ti，k)，X(ti，m)中的任一个“值”所以随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态”X(ti，)是定义在上的一个“随机变量”Xi。而随机过程X(t，)在t=tj时刻的“状态”X(tj，)是定义在上的另一个“随机变量”Xj。随着t的变化，得到一个个不同的“状态”X(t1，),X(ti，),X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2,Xn。所以又可以将

4、随机过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t)”。对于随机过程X(t)而言：固定，t变化 一个确定的时间函数。t 固定，变化 一个随机变量（状态）。t固定，固定 一个确定的值。，X(t，m)，t变化，变化 随机过程（一族时间函数的总体，或随时间变化的随机变量）一般随机变量写成:X,Y,Z。一般随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)一般样本函数写成:，脚标k对应中第k个样本。2.1.2 随机过程的分类随机过程的分类一、按过程的时间和状态是连续?还是离散?来分类。1.连续型随机过程 X(t,).的时间和状态均是连续的。时间连续过程的样本函数 在时间上是连续的。状态连续过程在任一时刻的

5、状态Xi取值连续，是连续型随机变量。2离散型随机过程 Y(t,)的时间是连续的，状态是离散的。状态离散过程在任一时刻的状态Yj取离散值，是离散型随机变量。其概率分布如：3.连续随机序列 时间离散、状态连续时间离散离散时间用序号n代替t。过程的样本函数在时间上是离散的，构成样本序列 。状态连续过程的状态Xj仍取连续值，是连续型随机变量。其概率密度如：4.离散随机序列 时间离散、状态离散时间离散过程在时间上离散的，构成随机序列。状态离散过程的状态Wi取离散值，是离散型随机变量。二、按随机过程的概率分布或性质来分类二、按随机过程的概率分布或性质来分类1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程其每一个状态Xj

6、均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。2)、平稳随机过程过程的一阶，二阶矩不随时间的变化而变化3)、独立增量过程每一个状态的增量之间相互独立。213、随机过程的概率分布例：例：随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,tn状态X(t1),X(t2),X(tn)构成n维随机变量 X(t1),X(t2),X(tn)，当t0,n 时的 n维随机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时刻t1T，其状态是一维随机变量，其分布函数 可以反应随机过程X(t)在整个时间段T上的所有一维状态的概率分布情况。所

7、以定义随机过程X(t)的一维分布函数：一维概率密度：一维分布只能描述随机过程X(t)在任一孤立时刻的统计特性，而不能反应随机过程X(t)的各个状态之间的关系。二、随机过程的二维分布随机过程X(t)在任意两个固定时刻t1T，t2T的状态X(t1),X(t2)构成二维随机变量X1，X2，其联合分布函数：随着(t1,t2)的变化，可以表示随机过程X(t)在整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。所以定义随机过程X(t)二维分布函数：随机过程X(t)二维概率密度：三、随机过程X(t)的n维概率分布 随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,tn状态X(t1)、X(t2)、X(tn)构成n

8、维随机变量 X1,X2,Xn。用类似上面的方法，我们可以定义随机过程X(t)的n维分布函数为：n维概率密度为：同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要性质：1）2）3）4）5)6）如果X(t1),X(t2),X(tn)统计独立，则有214、随机过程的数字特征、随机过程的数字特征一、数学期望如果将过程X(t)中的 t 看成是固定的，则 X(t)就是一个随机变量，它随机的取值，其在 t 时刻取值的概率密度为 。据期望的定义：mx(t)描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心即X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X

9、(t)中的t视为固定时，X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：将t视为变量时，即为过程X(t)的均方值。同理，过程X(t)的方差：过程X(t)的均方差：故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：对离散型随机过程Y(t),tT,若所有状态取值的样本空间为y1,y2,ym。可用利函数表示其一维概率密度。即：iI=1,m其中 表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。均方值为：方差为：三、随机过程的自相关函数下面两个随机过程 X(t)，Y(t)它们的期望和方差都相同，mx(t)=my(t)，x(t)=y(t)。但从样本函数看有明显不同。(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2

10、)之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征 自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与X(t2)之间的“相关程度”。状态X(t1)与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：随机过程的自相关系数定义为：若离散型随机过程Y(t)所有状态可能取值的范围是y，则该过程的自相关函数为：注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件是：例例2.2、设

11、随机过程X(t)=Ut，U在(0,1)上均匀分布，求EX(t)，DX(t)，Rx(t1,t2)，Cx(t1,t2)。解：例例2.3 若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求RX(t1,t2)。解：由题意可知，随机过程X(t)在 t1,t2 两个时刻为两个离散随机变量。所以可列出联合分布率如下：X(t1)X(t2)Pi1151/42241/43621/44311/4习题：习题：2-1、2-2、2-3、2-42.1.5 随机过程的特征函数随机过程的特征函数一、一维特征函数将X(t)视为某一固定t时刻的状态,则随机变量X(t)的特征函数：将 t 看成变量，就是随机

12、过程X(t)的特征函数。特征函数的逆变换：n阶原点矩：二.二维特征函数三.随机过程X(t)在任意两个时刻t1,t2的状态 构成二维随四.机变量，它们的联合特征函数为：五.又称作随机过程X(t)的二维特征函数。二维特征函数 的逆变换：所以，随机过程X(t)的相关函数可以用其二维特征函数来求：若将上式两边对变量1，2 各求一次偏导数，据逆转公式，由过程X(t)的n维特征函数可求得n维概率密度。三.n维特征函数四.离散型随机过程的特征函数五.将t固定，则离散型随机过程X(t)是在t时刻的状态，若X(t)(随机变量)随机的取值i，i=1,2,，其概率 ，则离散型随机过程的一维特征函数定义为 同理，定义

13、两个时刻t1,t2的状态X(t1)，X(t2)的联合特征函数为离散型随机过程的二维特征函数2.2.1 平稳随机过程平稳随机过程粗略的说粗略的说随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1.定义 设有随机过程 X(t),t T，若对于任意n和任意t1t2 0)以后，x()就很小了，可以近似认为X(t)与X(t+)不相关。这个可以认为X(t)与X(t+)不相关的时间间隔“0”称为“相关时间”。由图可见，由于过程不同，自相关系数()也不同，其不相关的时间间隔“0”也不相同。通常定义相关时间“0”的方法有两种：1、2、相关时间“0”所反映的意义

14、：由图可见，曲线越陡，相关时间“0”越小，意味着过程的任意两个状态X(t),X(t+)不相关所要求的时间差越短。样本变化越剧烈（样本起伏越大）。反之，且反。因此，相关时间0是对过程的任意两个状态X(t),X(t+)随变成不相关“快、慢”的一种度量。例例2.8 已知平稳过程X(t)的自相关函数 ，求其自相关系数和相关时间。解：解：由相关系数的定义由相关时间定义一：由相关时间定义二：一.两个随机过程的联合分布 设有两个随机过程 ,它们的概率密度分别为1、两个过程的n+m维联合分布函数2、两个过程的n+m维联合概率密度2.3 两个随机过程的联合统计特性两个随机过程的联合统计特性3、若X(t)与Y(t

15、)对于任意的 n,m,都有或则称随机过程X(t)和Y(t)是相互独立的。4、若两个过程的任意n+m维联合分布均不随时间平移 而变化，则称此两过程为联合严平稳或者严平稳相依。二.两个随机过程的互相关和正交三三.1、互相关函数 定义两个随机过程X(t)与Y(t)的互相关函数为式中 是过程X(t)与Y(t)在两个时刻t1,t2的状态。2、协方差函数 定义过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为式中 分别是随机变量 的数学期望。此式也可写成3、两个过程正交、两个过程正交4、两个过程互不相关、两个过程互不相关若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1，t2 都有则称X(t)和Y(t)两个过程正交。则

16、称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态正交。若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1，t2 都有则称X(t)和Y(t)两个过程互不相关。若仅在同一时刻 t 存在若仅在同一时刻 t 存在则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态互不相关。三、两个随机过程联合平稳三、两个随机过程联合平稳1、定义、定义 若X(t)、Y(t)为两个平稳随机过程，且它们的互相关函数仅是单变量的函数，即则称过程X(t)和Y(t)为“联合宽平稳”，简称“联合平稳”。2、性质、性质(1)、互相关函数和互协方差函数均不是偶函数(2)、互相关函数和互协方差函数的取值满足：(3)、表示两个平稳过程正交。(5)、表示两个平稳过程互不相关。(4)、两个平稳过程所有同一时刻的状态正交。(6)、两个平稳过程所有同一时刻的状态互不相关。3、两个联合平稳过程的互相关系数习题习题 2-9、2-11、2-12、2-132.4 复随机过程复随机过程“实”随机过程可以看成随时间变化的“实”随机变量。“复”随机过程可以看成随时间变化的“复”随机变量。一、复随机变量1、定义：复随机变量 Z=X+jY 由实随机变量X,Y构成。2、