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1、离散数学期末复习1.1 命题概念命题：具有唯一真值的陈述句1.1 命题概念练习：1.下列句子为命题的是（）A.全体起立！B.X=0 C.我在说谎 D.张三生于1886年的春天2.下列句子不是命题的是（）A.中华人民共和国的首都是北京 B.张三是学生 C.雪是黑色的 D.太好了！DD1.2 复合命题与联结词常用的联结词（1）否定定义1.2.1 设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作P。“”表示命题的否定.P的真值：若P为T，P为F；若P为F，P为T P PFTTF1.2 复合命题与联结词常用的联结词（2）合取定义1.2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作PQ。称作合取联结词，在自然

2、语言中的“并且”、“和”、“既.又.”、“不仅.而且.”、“虽然.但是.”等都可以符号化为 例1 2是素数和偶数 设P：2是素数，Q:2是偶数，故上述命题可表述为PQ 例2 王乙工作努力且身体好。设P:王乙工作努力，Q:王乙身体好，故上述命题可表述为PQ 1.2 复合命题与联结词常用的联结词（2）合取PQ的真值 当且仅当P与Q同时为T时，PQ为T.其余情况，PQ为FP QPQT TTT FFF TFF FF1.2 复合命题与联结词常用的联结词（2）合取注意:命题联结词“合取”可将两个互为否定的命题联结在一起：PP 此时其真值永为F P PPPT FFF T F1.2 复合命题与联结词常用的联结

3、词（3）析取定义1.2.3 两个命题P,Q的析取是个复合命题，记作PQ。称作析取联结词，与自然语言中的“或”有些相似例4 王强是这次校运动会的跳高或100米短跑的冠军。设P:王强是这次校运动会的跳高冠军；Q:王强是这次校运动会的100米短跑的冠军。所以本例可描述为：PQ 1.2 复合命题与联结词常用的联结词（3）析取PQ的真值 当且仅当P与Q同时为F时，PQ为F.否则，PQ为TP QPQT TTT FTF TTF FF1.2 复合命题与联结词常用的联结词（4）条件定义1.2.4 给定两个命题P,Q，其条件命题是一个复合命题，记作PQ。其中P为前件，Q为后件。PQ读作“如果P那么Q”，“若P则Q

4、”例6 如果我有就学机会，那么我必用功读书。设P:我有就学机会；Q:我必用功读书。所以本例可描述为：PQ 1.2 复合命题与联结词常用的联结词（4）条件PQ的真值 当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，PQ 为F.其余情况，PQ为T P QPQT TTT FFF TTF FT1.2 复合命题与联结词常用的联结词（5）双条件定义1.2.6 给定两个命题P,Q，其复合命题PQ称作双条件命题，读作P当且仅当Q。例 两个三角形全等，当且仅当它们的三组对应边相等。设P:两个三角形全等；Q:它们的三组对应边相等。所以本例可描述为：PQ 1.2 复合命题与联结词常用的联结词（5）双条件PQ 的真值 当P与Q

5、的真值为相同时，PQ 为T.其余情况，PQ 为F P QPQT TTT FFF TFF FT1.2 复合命题与联结词1.2 复合命题与联结词1.3 命题公式与真值表真值表定义1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,P3,.Pn 为出现在P中的所有命题变元，对 P1,P2,P3,.Pn 指定一组真值称为对P的一种指派。若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组值为成真指派；若指定的一种指派，使P的值为假，则称这组值为成假指派。1.3 命题公式与真值表1.3 命题公式与真值表等价式定义1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,P3,.Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,P3

6、,.Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记作AB。从上述真值表的例子中，可以知道：P Q PQ (PQ)(P Q)PQ 上述二式以后经常作为等值公式直接应用。1.3 命题公式与真值表定义1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真,则称公式A为重言式或永真式。定义1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假,则称公式A为矛盾式或永假式。定义1.3.7 设A为一命题公式，若A在它的各种真值指派下至少存在一组成真指派，则称A是可满足式。1.3 命题公式与真值表对合律 PP幂等律 P PP,P PP结合律 (P Q)RP(Q R)

7、,(P Q)RP(Q R)交换律 P QQ P,P QQ P分配律 P(Q R)(P Q)(P R),P(Q R)(P Q)(P R)1.3 命题公式与真值表吸收律 P(P Q)P,P(P Q)P德摩根律 (P Q)PQ,(P Q)PQ同一律 P FP,P TP零律 P TT,P FF否定律 P PT,PPF两个等值公式：两个等值公式：P Q PQ (PQ)(P Q)PQ 1.4 等价变换与蕴含式等价变换定理1.4.1 设 X 是合式公式 A 的子公式，若有Y也是一个合式公式，且XY，如果将A中的X用Y置换，得到公式B,则 AB。例：证明Q(P(PQ)QP 证：设A：Q(P(PQ)，因为P(P

8、Q)P（吸收律）故B:QP，即AB1.4 等价变换与蕴含式等价变换判断命题公式是重言式或矛盾式真值表等价变换1.4 等价变换与蕴含式1.5 最小联结词组与范式最小联结词组（1）由PQ(PQ)(QP)，故可把包含的公式等价变换为包含“”和“”的公式。（2）由PQPQ，故可把包含的公式等价变换为包含“”和“”的公式。（3）由PQ(PQ)，PQ(PQ)说明“”与“”可以相互交换。故由“”“”“”“”“”这5个联结词中若干个组成的命题公式，必可由,或,组成的命题公式所替代。我们把,及,称为命题公式的最小联结词组。1.5 最小联结词组与范式范式定义1.5.1 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式

9、 A1 A2.An （n1）其中A1，A2，.，An 都是由命题变元以其否定组成的析取式。例如：（PQ）（PR）（PQ）是一个合取范式1.5 最小联结词组与范式范式定义1.5.2 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式 A1 A2.An （n1）其中A1，A2，.，An 都是由命题变元以其否定组成的合取式。例如：（PQ）（PR）（PQ）是一个析取范式1.5 最小联结词组与范式范式一个命题公式的合取范式或析取范式不是唯一的。1.5 最小联结词组与范式主范式定义1.5.3 n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现仅且出现一次。例如：2个命题

10、变元P和Q，其小项为：PQ,PQ,PQ,PQ 3个命题变元P，Q和R，其小项为：PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR1.5 最小联结词组与范式小项的表示一般来说，n个命题变元有2n个小项，n个命题变元的小项，将命题变元看成1，其否定看成0，则每个小项对应着一个二进制数。例：m000=PQR m001=PQR m010=PQR m011=PQR m100=PQR m101=PQR m110=PQR m111=PQR1.5 最小联结词组与范式主范式定义1.5.4 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。定理1.5.1

11、 在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式主析取范式。定理1.5.2 任意含n个命题变元的非永假命题公式，其主析取范式是唯一的。1.5 最小联结词组与范式主范式定义1.5.5 n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现仅且出现一次。例如：2个命题变元P和Q，其大项为：PQ,PQ,PQ,PQ 3个命题变元P，Q和R，其大项为：PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR,PQR1.5 最小联结词组与范式大项的表示与小项情况类似，每个大项也可以编码。具体方法：首先将n个命题变元排序，将每个命题变元对应成0，其否定

12、对应成1，则可将2n个大项按二进制数编码，记为Mi，其下标是由二进制化为十进制数。例：2个命题变元P,Q的命题公式，应有4个大项：PQ=M00=M0 PQ=M01=M1,PQ=M10=M2,PQ=M11=M3 1.5 最小联结词组与范式主范式定理1.5.3 在真值表中一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式主合取范式。定理1.5.2 任意含n个命题变元的非永真命题公式A，其主合取范式是唯一的。1.5 最小联结词组与范式主范式从A的主析取范式求主合取范式步骤：（1）求出A的主析取范式中为包含小项的下标（2）把（1）中求出的下标写成对应大项。（3）做（2）中写成的大项合取，即为A的主

13、合取范式。1.5 最小联结词组与范式主范式例：公式A：（pq）（qp），则公式A的主合取范式为例：（PQ）Q =m01m11 （PQ）Q =M00M101.5 最小联结词组与范式主范式根据主范式的定义和定理,可以判定含n个命题变元的公式:（1）若A可化为与其等价的,含2n个小项的主析取范式,则A为永真式.（2）若A可化为与其等价的,含2n个大项的主合取范式,则A为永假式.（3）若A的主析取范式不含2n个小项,或A的主合取范式不含2n个大项,则A为可满足式.判断公式类型：1，真值表 2.等值演算 3.主范式1.4 等价变换与蕴含式1.4 等价变换与蕴含式蕴含式定理1.4.2 设A,B为两命题公式

14、，AB，当且仅当AB为一个重言式。定义1.4.1 当且仅当PQ是一个重言式时，我们称“P蕴含Q”，并记作P Q。P Q称作P蕴含Q或蕴含式，亦称作永真条件式。1.4 等价变换与蕴含式蕴含式（1）化简式 PQ P.PQ Q（3）附加式 P PQ（4）变形附加式 P PQ，Q PQ（5）变形简化式 （PQ）P;（PQ）Q（6）假言推论 P（PQ）Q（7）拒取式 Q（PQ）P（8）析取三段论 P(PQ)Q（9）条件三段论 （PQ）(QR)PR（10）双条件三段论 （PQ）（QR）PR（11）合取构造二难 （PQ）（RS）（PR）QS（12）析取构造二难 （PQ）（RS）（PR）QS（13）前后件附加

15、 PQ （PR）（QR）;PQ （PR）（QR）1.6 推理理论有效推理：从前提出发，根据确认的推理规则推导出一个结论，这个过程叫有效推理。定义1.6.1 设H1，H2，.，Hn，C是命题公式，当且仅当H1H2.Hn C，称C是一组前提的有效结论。1.6 推理理论判别有效结论的方法：（3）构造论证法在推理过程中，如果命题变元很多，用真值表、等值演算法及主范式法等作推理证明都很不方便。表1.6.2及表1.6.3的公式可直接应用。常用的推理规则：（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提，简称P规则。（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上，所证明的结论都可作为后续证明的前提。（3）置换

16、规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换（表1.6.2，表1.6.3），记为T规则。1.6 推理理论1.6 推理理论判别有效结论的方法：（3）构造论证法定理 1.6.2 若H1H2.Hn C为永假式，则H1H2.Hn C成立。附加前提法：把结论的否定作为前提，推出F。1.6 推理理论定理1.6.3（CP规则）若H1H2.Hn R C,则H1H2.Hn RC。2.1 谓词的概念与表示客体：指可以独立存在的对象，一个具体的事物，一个抽象的概念谓词：指明客体性质或指明客体之间关系2.2 量词与合式公式量词：表示数量的词量词有2种：1.全称量词：对应日常语言中的“一切”“任意的”“所有”“凡是”等词。用符号“”表示。表示对个体域里所有的x，而 表示个体域里所有个体，都有性质F。2.存在量词：对应日常语言中的“存在的”“有一个”“至少有一个”等词。用符号“”表示。表示存在个体域中的个体，而 表示存在个体域中的个体具有性质F。2.2 量词与合式公式在全称量词中，特性谓词是条件式的前件。在存在量词中，特性谓词后跟一个合取项。2.2 量词与合式公式2.2 量词