第3讲P类NP类NPC类.docx

1、第3讲P类NP类NPC类上次内容：(1)5个算法设计技术，分而治之，贪心技术，回溯，动态规划，局部搜索(2)局部搜索设计近似算法，现在也有了。(3)许多问题设计不出多项式时间求解算法，也有很多问题能找到多项式算法，大学学的算法都是多项式时间的。(4)企图把问题分类，能否分为两类，一类可以设计多项式时间算法，另一类不能设计多项式时间算法。前人建立了一种模型，说明问题很难，怎样说明。实际也是多年研究的结果，科学就是解释现象。例子：实例：布尔变量集合：U=u1, u2, u3, u4, u5，C = , , , 询问：是否存在U真值指派，使() () () () = 1SAT问题一般描述：实例：布尔

2、变量集合：U=u1,u2,un，项集合C = c1, c2, , cm， ck=yk1,yk2,ykt, ykj u1,u2,un, .询问：是否存在U的真值指派，使c1c2cm=1，就是，ck=yk1yk2ykt在人工智能的搜索求解中，推理规则均采用合取范式表示。tsp问题：实例：城市集合：C = c1,c2,cm, d(ci, cj) Z+，ci, cjC，正整数K.询问：是否存在城市排列c(1)c(2)c(m)，使Hamilton回路问题：实例：无向简单图G = (V, E)，|V| = n。询问：是否存在定点排列v(1), v(2), , v(n)，使(v(i),v(i+1)E(G),

3、 i=1,n-1，(v(n),v(1) E(G)。上述两个问题均是询问解得存在性，判断是否具有满足条件的解。书上的表：表上是以前的计算机的计算时间。问题的算法时间复杂性有很多，什么样的好呢？每秒100万次的计算机。T(n)问题输入长度n102030405060n0.000010.000020.000030.000040.000050.00006n20.00010.00040.00090.00160.00250.0036n30.0010.0080.0270.0640.1250.216n510.132012431.7p25.2p130p2n0.001117.9p12.7天35.7年366世纪3n0

4、.05958分6.5年3855世纪表说明多项式时间复杂度与指数时间复杂度，区别大。主要是增长速度区别。3.2确定型图灵机与P类下面要说明什么是多项式时间可以求解的问题，实际要定义多项式时间复杂度，什么是时间复杂度，什么是空间复杂度。自圆其说，说明自然界中的问题，解决问题。英文名字：DTM(1)一个硬壳；存储带：一个方格存一个符号；读写头在那里，可以左右移动，一次移动一个方格。状态控制器可以读写带方格中的内容；(2)硬壳中放入数据；带上放的符号：有限个，其中包括空白符号b，=b，是输入符号集合。符号有限个，不能无限多个。(3)有限个状态；状态个数不随问题实例长度变化而变化。Q = q0, q1,

5、 q2, , qy, qn，q0：起始状态，qy, qn都是停机状态，qy表示停机时回答yes，qn表示停机时回答no。qf=qy,qn(4)状态转换规则。什么是状态，三要素表示DTM状态：(qk,读写头位置，读写头指向位置的带符号)，现在不关心读写头位置，只关心读写头指定带方格的符号。在造计算机时，有一个地址寄存器。(Q-qf)Q：这是一个映射。(qi, si)()：含义，当前状态qi，当前读写头所指方格中的符号si，则下一个状态qi，将带方格中的符号修改为si，读写头移动一个位置： = L, R, S程序实际就是状态转换规则：初始状态q0，按照程序转换状态，到结束时状态qf，回答yes或n

6、o。我们编的程序就是告诉计算机怎样改变状态。真正实现计算机，还有很多工作，怎样用语言的形式描述状态转换规则。那些硬件，那些软件，电子计算机怎样实现。例子：利用turing机判断正整数的奇偶性。(1)=0,1,b；(2)Q=q0, q1, q2, qy, qn(3)状态转换规则如下：Q01bq0(q0,0,r)(q0,1,r)(q1,b,l)q1(q2,0,s)(q2,1,s)(q2,b,s)q2(qy,0,s)(qn,1,s)(q2,b,s)以下是输入的带符号，输入数据，实例，Bb1010bbbb-2-101234567(1)q0,1,r-q0,0读写头位置1;(2)Q0,0,r-q0,1读写

7、头位置2(3)q0,1,r-q0,0读写头位置3;(4)q0,0,r-q0,b读写头位置4；(5)q0,b,L-q1,0读写头位置3;(6)q1,0,s-q2,0读写头位置3直接讲就可以了。定义3.1：把问题的任意实例I输入给DTM，都能经过DTM有限步计算到达停机状态qfqy,qn，则称问题是确定turing机可计算的，否则称为确定turing机不可计算的。有的问题不可计算。不是所有问题都可以计算。团问题：实例：无向图G = (V, E)，正整数J Z+，询问：是否存在G的一个完全子图G, |V(G)| J？输入数据格式认为是一种语言，规则当然是语言，带格式的数据，人们把它看作语言。问题的描

8、述：描述问题的符号集合，描述实例的形式化，输入数据的格式是什么，L，也称为一种语言。针对任意一个输入I L，回答是什么？(I) yes, no*实例有了以后，就有答案了，解也就有了, 回答yes的解可能多个。每个实例对应一个确定的答案。定义3.2：问题是用某个DTM程序可解的，任意实例IL，只要I写在带上，从q0状态开始执行，总可经过有限步计算停机，且在带上保留着该问题的解答(I)yes,no。所用的状态数为计算的时间复杂度：TM(I)。计算中所占用的带方格数为空间复杂度SM(I)。L(n)=I|IL, |I|=n，实例集合，长度为n的语言集合。问题规模怎么描述。TM(n)=maxTM(I)|

9、IL(n)，问题输入长度为n时的时间复杂度。SM(n)=maxSM(I)|IL(n)，问题输入长度为n时的空间复杂度。所有长度为n的实例中，计算时间最长的那个实例的时间复杂度定义为T(n)。本质上，TM(n)也是几乎不可能精确得到的，我们往往只能得到TM(n)的一个上界。定义3.4:多项式时间可解的：存在存在多项式函数P(n)，使TM(n)P(n)。则称问题是多项式时间可计算的。P类问题-DTM多项式时间可计算的。3.3非确定图灵机与NP类素数分解问题：实例：大整数n询问：是否存在两个素数p1, p2，使得：p1*p2=n?密码学上十分重要的问题。验证容易，求解难。货郎判定问题，团问题都是这样

10、，Hamilton回路问题。Sat问题：实例: U = u1,u2,u3,u4,u5, C = (u1,u2,), (u2, ,u5), (,u3,), (u2,u3,u5)询问：是否存在U的真值指派使C中的项均满足。解释何谓满足，就是使项对应布尔表达式取值为1。TSP问题：实例：城市集合：C=c1,c2,cm,d(ci,cj)Z+，ci,cjC，正整数K.询问：是否存在城市排列c(1)c(2)c(m)，使验证容易求解难。三个问题都是这样。Hamilton回路问题：实例：无向简单图G = (V, E)，|V| = n。询问：是否存在定点排列v(1), v(2), , v(n)，使(v(i),v

11、(i+1)E(G), i=1,n-1，(v(n),v(1) E(G)。所以给出NTM模型如下：(1)硬壳：(2)机器的符号，=b(3)状态集合：Q=q0,q1,q2,qf,qfqy,qn(4)状态转换函数：(qi,si)(qi,si,)，哪一个状态，哪一个符号，怎么移动，NTM自己通过猜测部件获得选择。把这件事讲清楚很难。解释什么是NTM， 实际就是验证机器，由猜测部件猜测最好的动作，然后状态控制器去执行动作。求出最优解。根据猜测部件求出的解回答结果。 猜测部件猜测正确，则多项式时间内可以回答正确答案。我们只需要编验证程序就可以。 猜测部件猜测错了，就不能保证最后回答对了。猜测部件应该能够保证

12、，若是就能猜出来。 相当于验证了。猜测一个动作就相当于猜测一个解。一步一步猜，所以一步一步改变状态。 Sat问题若猜测部件给定一个解，能否编一个程序验证是否满足？能否编一个程序对任意猜测的解去验证是否满足？当然能，这有什么不确定的地方？因为不知道猜测什么解，所以下一步不确定。 问题是猜测部件有多大能力。可以认为猜测解。定义3.5：NTM可解，给定，任意I L, NTM总可在有限步停机，给出正确答案。定义3.6:时空复杂度。L(n)=I|IL,(I)=1,|I|=n，回答是的实例长度为n的集合。TNTM(n)=maxTNTM(I)|IL(n)SNTM(n)=maxSNTM(I)|IL(n)定义3

13、.7：NP类问题，TNTM(n)P(n)。问题类。NTM多项式时间可解的问题。是否可以编个程序，v1,vm：所有图的点P1=v1, L=0.For i= 2 To m do step 1Guess(v1, x)If xP1,Pi-1 return errorPi=x;If x=v2, L=L+d(vi-1,v2)If x=v3, L=L+d(vi-1,v3)If x=vm, L=L+d(vi-1,vm)End forIf LK Return YES else NO.v1,vm：所有图的点P1=v1, L=0.Guess(v1, x2m)For i= 2 To m do step 1If xiP

14、1,Pi-1 return errorPi=xi;If xi=v2, L=L+d(vi-1,v2)If xi=v3, L=L+d(vi-1,v3)If xi=vm, L=L+d(vi-1,vm)End forIf LK return YES else return NO.说明： P类，NP类，多项式时间可验证的问题类NP类。 PNP 定理3.1：NP类的问题，均可用DTM在T(n)=O(2P(n)时间内求解。存在P(n)。 简单说明怎样证明。因为每一步有好几个选择，用O(2P(n)可以全部枚举出来。不让猜测部件猜了，把所有可能的解都举出来，每个都验证，因为一次验证多项式时间：q(n),解的长度

15、不会超过q(n)，总时间复杂度不超过：|q(n).3.4多项式变换与NPC类前面的东西没法证明TSP问题不存在多项式时间复杂度。举例子，很多人花费大量时间企图证明TSP问题不存在多项式算法，但是都没有证出来。求解问题时想到用变换。实际上求解问题用变换效果并不好。但是可以用变换证明问题的计算难度。用一个问题的语言描述另一个问题，任何一个实例都行方可。把一个问题转换为另一个问题解决。用1的语言描述2，若1存在多项式算法，则2也存在多项式算法。举个例子：sat,n皇后问题x11x12x13x1nx21x221x2n11111111xn1xnnsat,团问题Sat问题：实例:U=u1,u2,u3,u4

16、,u5, C=(u1,u2,), (u2, ,u5), (,u3,), (u2,u3,u5)询问：是否存在U的真值指派使C中的项均满足。1说明别人做过n皇后问题，速度很快，就是找不出好算法来。2说明怎样做？变量：x11,x12,x1n,xn1,xnn每行只有一个取1：xi1,xin，。，。每列只有一个取1：每个斜线只有一个取1。项个数，不超过，时间复杂度O(n3)变换：reductionHamilton回路可以用Sat表达：V1V2V3V41x11(1)x12x13x142x21x22x23(1)x243x31x32(1)x33x344x41x42x43x44(1)y12,y13,y14y21

17、,y23,y24y31,y32,y34y41,y42,y43每行一个1，每列一个1，第i行与第i+1行(x11,x12,x13,x14),(,),(,)(x21,x22,x23,x24),(,),(,)(x31,x32,x33,x34),(,),(,)(x41,x42,x43,x44),(,),(,)(x11,x21,x31,x41),(,),(,)(x12,x22,x32,x42),(,),(,)(x13,x23,x33,x43),(,),(,)(x14,x24,x34,x44),(,),(,)有边取1，无边取0。y12,y21,y14,y41,y23,y32,y24,y42,y34,y43。两点之间一定要有边。(,yjk), 1j,k4。(,yjk), 1j,k4。(,yjk), 1j,k4。(,yjk), 1j,k4。多项式变换定义： 1=；2= 变换f：1*2*，IL1，f(I)L2，1(I)=2(f(I) f变换可以在p(|I|=n)时间内计算完成。则f称为由1到2的多项式规约。若1可以多项式归约到2，则若2存在多项式算法，则1也有多项式算法。前面的多项式规约进一步修改如下： 1=；2= 变换f：1*2*，IL1，f(I)L2，1(I)=12(f(I)=1