XX届高三理科数学三角函数总复习教学案.docx

1、XX届高三理科数学三角函数总复习教学案XX届高三理科数学三角函数总复习教学案高考导航考试要求重难点击命题展望了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数的定义.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质，理解正切函数在上的单调性.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx.了解函数yAsin的物理意义，能画出函数yAsin的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周

2、期变化现象的重要函数模型.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，yAsin的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示

3、，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.知识网络5.1任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若是第二象

4、限角，试分别确定2、的终边所在的象限.【解析】因为是第二象限角，所以36090360180.因为236018022360360，故2是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为18045218090，当2n时，n360452n36090，当2n1时，n3602252n360270.所以2是或第三象限角.【点拨】已知角所在象限，应熟练地确定2所在象限.如果用1、2、3、4分别表示、二、三、四象限角，则12、22、32、42分布如图，即象限角的半角是或第三象限角，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2的终边在x轴上方，那么角是A.象限角B.或第二象限角c.或第三象限角D.或第

5、四象限角【解析】由题意222，Z，得2，Z.当是奇数时，是第三象限角.当是偶数时，是象限角.故选c.题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.若60，R10c，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；若扇形的周长是一定值c，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】设弧长为l，弓形面积为S弓，因为603，R10c，所以l103c，S弓S扇S121010312102sin6050c2.因为c2Rl2RR，所以Rc2，S扇12R2122c22244c22144c216，当且仅当4时，即2时，扇形的面积有最大值为c216.【点拨】用弧长公式l|R

6、与扇形面积公式S12lR12R2|时，的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角为多少弧度时，该扇形的周长c有最小值？并求出最小值.【解析】因为S12Rl，所以Rl2S，所以周长cl2R22Rl24S4S，当且仅当l2R时，c4S，所以当lR2时，周长c有最小值4S.题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】已知角的终边与函数y2x的图象重合，求sin；求满足sinx32的角x的集合.【解析】由交点为或，所以sin255.找终边：在y轴正半轴上找出点，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接oP1、oP2，则为角x的终边，并写出对应的角.画区域

7、：画出角x的终边所在位置的阴影部分.写集合：所求角x的集合是x|243x23，Z.【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数ylgsinxcosx12的定义域为【解析】2x23，Z.所以函数的定义域为x|2x23，Z.总结提高确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如3603的错误书写.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.2同角三角函数的关系、诱导公式

8、典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f1x，则ff【解析】ff1sin21sin222|sincos|sincos|.因为，所以sincos0，sincos0.所以|sincos|sincos|sincossincos2cos.题型二三角函数式的求值问题【例2】已知向量a，b.若ab，求tan的值；若|a|b|，0，求的值.【解析】因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan14.由|a|b|知，sin225，所以12sin24sin25.从而2sin224，即sin2cos21，于

9、是sin22.又由0知，42494，所以2454或2474.因此2或34.【变式训练2】已知tan12，则2sincoscos2等于A.45B.85c.65D.2【解析】原式2sincoscos2sin2cos22tan11tan285.故选B.题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知2x0且sinxcosx15，求：sinxcosx的值；sin3cos3的值.【解析】由已知得2sinxcosx2425，且sinx0cosx，所以sinxcosx212sinxcosx1242575.sin3cos3cos3xsin3x7591125.【点拨】求形如sinxcosx的值，一般先平方后利用基本关

10、系式，再求sinxcosx取值符号.【变式训练3】化简1cos4sin41cos6sin6.【解析】原式122sin2cos212sin2cos2123sin2cos223.总结提高对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2cos21是恒成立的.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.3两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简.【解析】因为0，所以022，所以原式cos.【点拨】先从角度统一入手，将化成2，然后再观察结构特征，如

11、此题中sin22cos22cos.【变式训练1】化简2cos4x2cos2x122tansin2.【解析】原式1222tancos2cos22x4cossincos22x2sin12cos2x.题型二三角函数式的求值【例2】已知sinx22cosx20.求tanx的值；求cos2x2cossinx的值.【解析】由sinx22cosx20tanx22，所以tanx2212243.原式cos2xsin2x2sinxsinxcosxsinxsinx1tanx1114.【变式训练2】2cos5sin25sin65【解析】原式2cossin25cos253cos25cos253.题型三已知三角函数值求解

12、【例3】已知tan12，tan17，且，求2的值.【解析】因为tan22tan1tan243，所以tantan2tan2tan1tan2tan1，又tantantantan1tantan13，因为，所以04，又2，所以20，所以234.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若与是两锐角，且sin2sin，则与的大小关系是A.B.c.D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sinsin1，所以sin12，又是锐角，所以30.又当30，60时符合题意，故选B.方法二：因为2sinsinsincoscossinsinsin，所以s

13、insin.又因为、是锐角，所以，故选B.总结提高两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；掌握角的演变规律，如“2”等.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.4三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知04，04，3sinsin，4tan21tan22，求的值.【解析】由4tan21tan22，得tan12.由3sinsin得3sinsin，所以3sincos3cossinsinc

14、oscossin，即2sincos4cossin，所以tan2tan1.又因为、，所以4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan35，tan14，那么tan等于A.1318B.1322c.723D.318【解析】因为4，所以tantantantan1tantan723.故选c.题型二等式的证明【例2】求证：sinsinsinsin2cos.【证明】证法一：右边sin2cossinsinsincoscossinsinsinsinsinsin左边.证法二：sinsinsinsinsinsinsin

15、2cossinsin2cos，所以sinsin2cossinsin.【点拨】证法一将2写成，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin3sin，求证：tan4tan0.【证明】因为5sin3sin，所以5sin3sin，所以5sincos5cossin3sincos3cossin，所以2sincos8cossin0.即tan4tan0.题型三三角恒等变换的应用【例3】已知ABc是非直角三角形.求证：tanAtanBtanctanAtanBtanc；若AB且tanA2tanB，求证：tancsin2B3cos2B；在的条件

16、下，求tanc的最大值.【解析】因为c，所以tanctan1tanAtanB，所以tanctanAtanBtanctanAtanB，即tanAtanBtanctanAtanBtanc.由知tanc1tanAtanBtanB12tan2BsinBcosBcos2B2sin2Bsin2B2sin2B3cos2B.由知tanctanB12tan2B12tanB1tanB12224，当且仅当2tanB1tanB，即tanB22时，等号成立.所以tanc的最大值为24.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在ABc中，tanBtanc3ta

17、nBtanc3，3tanA3tanB1tanAtanB，试判断ABc的形状.【解析】由已知得tanBtanc3，即tanBtanc1tanBtanc3，tanAtanB1tanAtanB33.所以tan3，tan33.因为0Bc，0AB，所以Bc3，AB56.又ABc，故A23，Bc6.所以ABc是顶角为23的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式.5三角函数的图象和性质典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f2sinx4cosx43cosx2.求函数f的最小正周期；令gf，判

18、断g的奇偶性.【解析】f2sinx4cosx43cosx2sinx23cosx22sin，所以f的最小正周期T2124.gf2sin1232sin2cosx2.所以g为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数ysin2xsinxcosx的最小正周期T等于A.2B.c.2D.3【解析】y1cos2x212sin2x221222sin12，所以T22.故选B.题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：fsin2xsinx1cosx；f2cos2cosx.【解析】f2sinxcosxsinx1cosx2cosx1cosx2cos2x2cosx2212，当c

19、osx1时，fax4，但cosx1，所以f4，当cosx12时，fin12，所以函数的值域为12，4).f22cosx3cosx3sinx23cos，所以函数的值域为23，23.【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求ysinxcosxsinxcosx的值域.【解析】令tsinxcosx，则有t212sinxcosx，即sinxcosxt212.所以yftt2121221.又tsinxcosx2sin，所以2t2.故yf1221，从而fyf，即1y212.所以函数的值域为1，212.题型三三角函数的单调性【例3】已知函数fsin

20、的部分图象如图所示.求，的值；设gff，求函数g的单调递增区间.【解析】由图可知，T4，2T2.又由f1知，sin1，又f1，所以sin1.因为|，所以2.fsincos2x.所以gcoscos2xsin2x12sin4x.所以当224x22，即28x28时g单调递增.故函数g的单调增区间为28，28.【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数ysin为增函数的区间是A.0，3B.12，712c.3，56D.56，【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选c.总结提高求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.三角函数的最值都是

21、在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.6函数yAsin的图象和性质典例精析题型一“五点法”作函数图象【例1】设函数fsinx3cosx的周期为.求它的振幅、初相；用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；说明函数f的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换得到.【解析】fsinx3cosx22sin，又因为T，所以2，即2，所以f2sin，所以函数fsinx3cosx的振幅为2，初相为3.列出下表，并描点画出图象如图所示.把ysinx

22、图象上的所有点向左平移3个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，得到ysin的图象，然后把ysin的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y2sin的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为yAsin形式，再令x0，2，32，2求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则A.12，12，6B.12，12，3c.12，2，6D.2，12，3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，

23、由图象可判断该直线的斜率12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T44，故12.将点代入解析式y2sin，得1253，Z，所以56，Z.结合各选项可知，选项A正确.题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数fsin2x3sinxsin2cos2x，xR在y轴右侧的个最高点的横坐标为6.求的值；若将函数f的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg的图象，求函数g的最大值及单调递减区间.【解析】f32sin2x12cos2x32sin32.令2x62，将x6代入可得1.由得fsin32，经过

24、题设的变化得到函数gsin32，当x443，Z时，函数g取得最大值52.令2212x6232，即443，4103为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y2sin的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点对称，则|的最小值是A.4B.3c.2D.34【解析】将函数y2sin的图象向右平移4个单位后得到y2sin32sin的图象.因为该函数的图象关于点对称，所以2sin2sin0，故有4，解得4.当0时，|取得最小值4，故选A.题型三三角函数的综合应用【例3】已知函数yfAsin2的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点.求的值；求fff.【解析】yAsin2A2A2cos，因为yf的最大值为2，又A0，所以A2A22，所以A2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，所以12222，所以4.所以f2222cos1cos，因为yf过点，所以cos1.所以222，解得4，又因为02，所以4.方法一：因为4，所以y1cos1sin2x，所以ffff21014，又因为yf的周期为4,XX4502.所以fff4502XX.方法二：因为f2sin2，所以ff2sin22sin22，