两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时教案数学高一必修4第三.docx

1、两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时教案数学高一必修4第三第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2 两角和与差的余弦正弦正切公式一、学习目标1. 知识与知能(1.能利用两角差的余弦公式及诱导公式导出两角和的余弦公式。(2.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差 (和 的正弦公式 .(难点 (3.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式 .(4.掌握两角和与差的余弦正弦正切公式的变形使用,能利用公式进行简单的求值、化简等 .(重点、难点 2. 过程与方法通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式, 认识整个公式体系的推理和形成过程, 领会其 中

2、体现出来的数学基本思想,掌握研究数学的基本方法,从而提高基本的数学素养 .3. 情感、态度与价值观通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识; 理解掌握两角 和与差的三角的各种变形, 提高逆向思维的能力, 培养利用联系、 变化的辩证唯物主义观点去 分析问题的能力 .二、教学重点难点重点:两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导及利用公式化简求值 .难点:灵活运用公式进行化简求值 .三、专家建议通过对两角和与差的正、余弦公式、正切公式推理,变形应用的学习,让学生进一步体会 各个公式之间的联系及结构特点; 通过例题学习, 总结方法, 巩固练习加强和差角公式的正用、 逆用和变用

3、的学习,从而培养发现思维能力,变异思维能力,分析问题解决问题的能力,强化 数学探究意识,掌握转化与化归的数学思想方法。四、教学方法自学 -训练 -点拨 -练习 -总结五、教学过程 课堂探究知识点 1 两角和的余弦公式【问题导思】1. 如何利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式?把公式 cos(- =cos cos +sin sin 中的 用-代替,结果如何?【提示】 cos(+ =cos cos -sin sin .知识点 2:两角和与差的正弦公式【问题导思】1. 如何利用两角和 (差 的余弦公式推导出两角和的正弦公式?【提示】 sin(+ =cos2(+=cos(2- -=cos(2-c

4、os +sin(2-sin =sin cos +cos sin .即 sin(+ =sin cos +cos sin .2. 把公式 sin(+ =sin cos +cos sin 中的 用-代替,结果如何?【提示】 sin(- =sin cos -cos sin .(1两角和的正弦公式:sin(+ =(, R .(2两角差的正弦公式:sin(- =(, R .知识点 3 两角和与差的正切公式【问题导思】已知 tan , tan 的值,能否利用公式 S ( 和 C ( 推导出 tan(?【提示】 tan(+ =sin (+cos (+sin cos +cos sin cos cos -sin

5、sin sin cos +cos sin cos cos cos cos -sin sin cos cos tan +tan 1-tan tan , tan(- =tan +tan (-1-tan tan (-=tan -tan 1+tan tan 典例剖析类型 1 给角求值例 1. (1求 sin 157cos 67+cos 23sin 67的值;(2求 sin(+75 +cos(+45 -3cos(+15 的值 .【思路探究】 (1的形式与公式有差异,应先由诱导公式化角,再逆用公式求值 .(2所给角有差异,应先拆角,将角统一再用公式, +75=(+15 +60, +45=(+ 15 +30

6、.【自主解答】 (1原式=sin(180-23cos 67+cos 23sin 67=sin 23cos 67+cos 23sin 67=sin(23+67 =sin 90=1.(2sin(+75 +cos(+45 3cos(+15=sin(+15+60 +cos(+15+30 -3cos(+15=sin(+15cos 60+cos(+15sin 60+cos(+15cos 30-sin(+15sin 30-3 cos(+15= 12sin(+15 +32+15 +32+15 -12sin(+15 -3cos(+15 =0.【总结提升】1. 对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦、

7、余弦公式求出具体数值,一 般有以下三种途径:(1化为特殊角的三角函数值;(2化为正负相消的项,消去,求值;(3化为分子、分母形式,进行约分再求值 .2. 在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数 式的特点,如果整体符合三角公式,则整体变形,否则进行各局部的变换 .【变式训练】求下列各式的值:(1sin 165; (2sin 14cos 16+sin 76cos 74.【解】 (1法一 sin 165=sin(90+75 =cos 75=cos(45+30=cos 45cos 30-sin 45sin 30= 6-2 4.法二 sin 165=sin(180-

8、15 =sin 15=sin(45-30 =sin 45cos 30-cos 45sin 30= 62 4.(2法一 sin 14cos 16+sin 76cos 74=sin 14cos 16+cos 14sin 16=sin(14+16 =sin 30= 1 2法二 sin 14cos 16+sin 76cos 74=cos 76cos 16+sin 76sin 16=cos(76-16 =cos 60= 1 2.例 2. 求下列各式的值:(1tan 15; (2 1-3tan 753+tan 75; (3tan 23+tan 37+3tan 23tan 37.【思路探究】 解决本题的关键

9、是把非特殊角转化为特殊角 (如 (1及公式的逆用 (如 (2与 活用 (如 (3,通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的 .【自主解答】 (1tan 15=tan(45-30= tan 45-tan 301+tan 45tan 301-3 3 1+ 33= 33333-1 3+1=23.(2 13tan 753+tan 7533-tan 751+33=tan 30-tan 751+tan 30tan 75=tan(30-75 =tan(-45 =-tan 45=-1.(3 tan(23+37 =tan 60= tan 23+tan 371-tan 23tan 373,

10、tan 23+tan 37=3(1-tan 23tan 37 , 3(1-tan 23tan 37 +3tan 23tan 37=3. 1. 公式 T (+ , T (- 是变形较多的两个公式,公式中有 tan tan , tan +tan (或 tan -tan , tan(+(或 tan(-. 三者知二可表示或求出第三个 .2. 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换. (1(2014遵义高一检测 化简:tan 5+tan 40+tan 135tan 5tan 40tan 30;(2已知 tan(+ =5, tan(- =3,求 tan 2, tan 2, tan 2+4. 【解】

11、 (1原式=tan 45(1-tan 5tan 40-tan 45tan 5tan 4033=-tan 5tan 40tan 5tan 40333. (2tan 2=tan(+ +(-=tan (+tan (-1-tan (+tan (-5+31-5347 tan 2=tan(+ -(-=tan (+-tan (-1+tan (+tan (-5-31+5318 tan 2+4=1+tan 21-tan 2=1-471+47=311类型 2 给值求值例 3.(2013青岛高一检测 已知 234cos(- =1213, sin(+ =-35,求 sin 2的值 .【思路探究】 观察出角的关系, 即

12、 2=(- +(+ , 然后求出 sin(- 和 cos(+ 的值,利用两角和的正弦公式求解结果 .【自主解答】 因为 2 34,所以 0- 4+ 3 2.又 cos(- = 1213sin(+ =-3 5,所以 sin(- =1-cos (-=1-( 13 2= 5 13,cos(+ =-1-sin (+=-1-(- 352=-4 5.所以 sin 2=sin(- +(+=sin(-cos(+ +cos(-sin(+= 513(-45+1213(-35 =-56 65.【总结提升】解答此类问题的关键是把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示出来,一般注意以下几方面:(1当 “ 已知角 ”

13、 有两个时, “ 所求角 ” 一般表示为两 “ 已知角 ” 的和与差的形式 .(2当 “ 已知角 ” 有一个时,应注意 “ 所求角 ” 与 “ 已知角 ” 的和与差的形式, “ 所求角 ” 再用诱导公式变成 “ 已知角 ” .(3角的拆分方法不惟一,应根据题目合理拆分 .(4用同角三角函数的基本关系式求值时,一定要注意角的范围 .【变式训练】已知 cos = 17cos(- =131402sin =_.【解析】 0 2, 0- 2, sin =1-cos 3 7. sin(- =1-cos (-=3 14. sin =sin-(-=sin cos(- -cos sin(- =32. 【答案】

14、32类型三 条件求值 (角问题 图 3-1-1例 4. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 以 Ox 轴为始边作两个锐角 , ,它们的终边分别 与单位圆相交于 A , B 两点,已知 A , B 的横坐标分别为 210255(1求 tan(+ 的值; (2求 +2的值 .【思路探究】 解决本题可先由任意角的三角函数定义求出 cos , cos ,再求 sin , sin ,从而求出 tan , tan ,然后利用 T (+ 求 tan(+ ,最后利用 +2=(+ +,求 tan(+2 进而得到 +2的值 .【自主解答】 由条件得 cos =210cos =255, , 为锐角 . sin

15、=7210, sin 55. tan =7, tan =12(1tan(+ =tan +tan 1-tan tan 7+121-7123. (2tan(+2 =tan(+ + =tan (+tan 1-tan (+tan -3+121-(-3121, , 为锐角, 0+232, +2=34.【总结提升】1. 通过先求角的某个三角函数值来求角 . 2. 选取函数时,应遵照以下原则 (1已知正切函数值,选正切函数;(2已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数 . 若角的范围是 (0, 2 ,选正、余弦皆可;若 角的范围是 (0, ,选余弦较好;若角的范围为 (2, 2 ,选正弦较好 .3. 给值求角的

16、一般步骤 (1求角的某一三角函数值; (2确定角的范围;(3根据角的范围写出所求的角 . 【变式训练】(2014北京高一检测 (1已知 2, , sin =35,求 tan +4的值;(2如下图所示,三个相同的正方形相接,试计算 +的大小. 【解】 (1因为 sin =35 2,所以 cos =-45所以 tan =sin cos 35-4534故 tan +4=tan +tan 41-tan tan 4-34+11- -34117(2由题图可知 tan = 13, tan =12且 , 均为锐角, tan(+ =tan +tan 1-tan tan 1 3+ 1 2 1-1 3 1 2=1.

17、 + (0, , += 4.类型 4 三角形中的三角函数例 5. 已知 ABC 中, tan B +tan C +3tan B tan C =3, 且 3tan A +3tan B +1=tan A tan B ,判断 ABC 的形状 .【思路探究】 【自主解答】 由 tan A =tan-(B +C =-tan(B +C = tan B +tan Ctan B tan C -13-3tan B tan Ctan B tan C -13.而 0 A 180, A =120.由 tan C =tan-(A +B = tan A +tan B tan A tan B -1tan A +tan B

18、3tan A +3tan B3 3,而 0 C 180, C =30, B =30. ABC 是顶角为 120的等腰三角形 .【归纳提升】利用和差角公式判断三角形形状时, 应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的 关系或者求出内角大小, 进而判断三角形形状, 注意对三角形内角和 A +B +C =180这一隐含 条件的运用 .变式训练 在非直角三角形 ABC 中,求证:tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C .【解】 在非直角三角形 ABC 中,有 A +B +C =,即 A +B =-C ,且 A , B , A +B 都不等于 2.有 tan(A

19、 +B =tan(-C , tan A +tan B1-tan A tan B=-tan C , tan A +tan B =-tan C (1-tan A tan B =-tan C +tan A tan B tan C . tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C . 课堂小结 1. 公式记忆(1理顺公式间的逻辑关系C (+ 以-代 C (- 诱导公式 S (+ 以-代 S (-. (2注意公式的结构特征和符号规律对于公式 C (- , C (+ 可记为“同名相乘,符号反” ; 对于公式 S (- , S (+ 可记为“异名相乘,符号同” . 2. 公式

20、 T ( 的结构特征和符号规律(1公式 T ( 的右侧为公式形式, 其中分子为 tan 与 tan 的和或差, 分母为 1与 tan tan 的差或和 .(2符号变化规律可简记为“分子同,分母反” . 3. 公式 T ( 应用时要注意的问题 (1公式的适用范围由正切函数的定义可知 , , +(或 - 的终边不能落在 y 轴上,即不为 k +2(k Z .(2公式的逆用一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如 tan 41, tan 633tan 3=3等 .特别要注意 tan(4 =1+tan 1-tan tan(4 =1-tan 1+tan .(3公式的变形用人教 A 版 数学教案

21、 必修 4 第三章 3.1.2 第一课时 只要见到 tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式 T(的意识，就不难想到解题思路. 六、板书设计 两角和与差的余弦正弦正切公式 倍角公式 学习目标 探究点 1 探究点 2 注意事项： 1 2 3 4. 学生练习 典例分析 例1 例2 例3 当堂检 测反馈 作业 小结： 七当堂检测 1.sin 75 ( A. C. 6 2 4 6 2 2 D. 6 2 2 B. 6 2 4 【解析】 sin 75 sin(30 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 2 6 1 2 3 2 2 2 2 2 4 . 【答案】 B 2.(

22、2013 长沙高一检测已知 tan 2，则 tan(4( A.3 C.4 D.4 tan tan 4 21 【解析】 tan(4 1213. 1tan tan 4 B.3 第 11 页共 11 页 人教 A 版 数学教案 必修 4 第三章 3.1.2 第一课时 【答案】 A 3.(2014 唐山高一检测A、B 为锐角三角形的两个内角，则 tan A tan B 的值( A.不大于 1 B.小于 1 C.等于 1 D.大于 1 【解析】 tan Ctan(AB 又tan Atan B0， 1tan Atan B0. tan Atan B1，故选 D. 【答案】 D 4.(2014 江南十校高一检

23、测若 3sin x 3cos x2 3sin(x， (， 0， 则 等于( A.6 5 C. 6 B.6 5 D. 6 3 ，且 (，0得： 3 tan Atan B 0， 1tan Atan B . 【解析】 因为 3sin x 3cos x2 3sin(x，所以由 tan 6，故选 A. 【答案】 A 5.(2014 淮安高一检测sin 155 cos 35 cos 25 cos 235 _. 【解析】 cos 23 sin 53 sin 23 cos 53 sin 53 cos 23 cos 53 sin 23 sin(53 23 1 sin 30 2. 1 【答案】 2 1 1 6.(

24、2014 铜山高一检测已知 tan22，tan23，则 tan 2 _. 【解析】 tan 2 tan22 1 1 tan2tan2 23 1 1 1 7. 1tan2tan2 123 第 12 页共 12 页 人教 A 版 数学教案 必修 4 第三章 3.1.2 第一课时 1 【答案】 7 3 2 7.已知 0，2，2，0，且 cos(5，sin 10 ，求 . 【解】 0，2，2，0， 0，2，0，2， 从而 (0，. 3 4 cos(5，sin(5. 2 2，0，sin 10 ， 7 2 cos 10 ， sin sin( sin(cos cos(sin 4 7 2 3 2 2 5 10 5 10 2 0， 2 ， . 4 1 3 8.(2014 邹平高一检测(1已知 tan(2，sin 5，2，求 tan(2的值. (2已知 tan 3(1m，tan( 3(tan tan m，求 tan(的值. 1 【解】 (1tan(2， 1 4 tan 2，tan 23. 3 又sin 5.且 (2， 4 3 cos 5.tan 4. tan(2 tan 2tan 7 24. 1tan 2tan tan tan tan( 3. 1tan tan (2两式作差得 tan tan 3(1tan tan ，即 第 13 页共 13 页