第八讲期权二叉树定价模型.ppt

1、第八讲第八讲 二叉树模型二叉树模型 8.1 单步二叉树图单步二叉树图8.1.1 二叉树图的构造二叉树图的构造问题问题 假设一种股票当前价格为假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将，三个月后的价格将可能为可能为$22或或$18。假设股票三个月内不付红利。有效。假设股票三个月内不付红利。有效期为期为3个月的欧式看涨期权执行价格为个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该。如何对该期权进行估值？期权进行估值？思路思路 根据期权的特性，显然可以用图根据期权的特性，显然可以用图8-1所示的二叉树图来描所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。述股票和期权的价格运动。如果能够用这种股票和期权构造

2、一个组合，使得在三个如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。出期权的价格。构造一个证券组合，该组合包含一个构造一个证券组合，该组合包含一个股股票多头头寸股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。和一个看涨期权的空头头寸。是否可有多种构造方法是否可有多种构造方法?由图由

3、图8-1可知，当股票价格从可知，当股票价格从$20上升到上升到$22时，该证券组时，该证券组合的总价值为合的总价值为22-1；当股票价格从当股票价格从$20下降到下降到$18时，该证时，该证券组合的总价值为券组合的总价值为18。完全可以选取某个完全可以选取某个值，使得该组合的终值对在上述两值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。由由 221=18 得得 =0.25 是否一定为正是否一定为正?因此，一个无风险的组合由因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，

4、无论股票价格是上升还是下降，在期构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。利率。假设无风险利率为年率假设无风险利率为年率12。则该组合的现值应为：。则该组合的现值应为：4.5e-0.120.25=4.3674 股票现在的价格已知为股票现在的价格已知为$20。用。用f表示期权的价格。因此，表示期权的价格。因此，由由 200.25f=4.3674 得得 f=0.633 如果期权价格偏离如果期权价格偏离0.633，则

5、将存在套利机会。，则将存在套利机会。8.1.2 一般结论一般结论 考虑一个无红利支付的股票，股票价格为考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股基于该股票的某个衍生证券的当前价格为票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况时刻的盈亏状况。一个证券组合由股的股票多头和一个衍生证券空头构成。如果股票价格上升如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为：在有效期末该组合的价值为：如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：当两个价值相等时当两个价值相等时 即即 （9.1

6、）该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的时刻的两个节点之间运动时，两个节点之间运动时，是衍生证券价格变化与股票价格变是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。化之比。用用r表示无风险利率，该组合的现值应为：表示无风险利率，该组合的现值应为：而构造该组合的成本是：而构造该组合的成本是：因此因此 将式（将式（9.1）代入上式，得到）代入上式，得到 其中其中 （9.3）风险中性概率风险中性概率 运用单步二叉树图方法，式（运用单步二叉树图方法，式（9.2）和（）和（9.3）就可为衍）就可为衍生证券估值。生证券估值。8.1.3 股票预期收益的无关性股票预期收

7、益的无关性 衍生证券定价公式（衍生证券定价公式（9.2）并没有用到股票上升和下降的）并没有用到股票上升和下降的概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假设假概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假设假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。值也增加，看跌期权的价值则减少。之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率

8、已经包含在股票的价格中。它说明，当来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降的概率。的概率。8.2 风险中性估值风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理风险中性估值原理 式（式（9.2）中的变量）中的变量p可以可以解释为解释为股票价格上升的概率，股票价格上升的概率，于是变量于是变量1p就是股票价格下降的概率。这样，就是股票价格下降的概率。这样，pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：）可以表述为：衍生证券的价值

9、是其未来预期值按无风险利率贴现的值衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值。同样，按照上式对同样，按照上式对p的解释，在的解释，在T时刻预期的股票价格时刻预期的股票价格 即即 将式（将式（9.2）中的）中的p代入上式，得代入上式，得 E(ST)=SerT （9.4）这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，设定上升运动的概率等于设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无就是等价于假设股票收益等于无风险利率。风险利率。我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（risk

10、-nerisk-neutral worldrld）。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收高效益是无风险利率。期收高效益是无风险利率。式（式（9.4）说明，当设定上升运动的概率为）说明，当设定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险时，我们就在假设一个风险中性世界中性世界。式（式（9.2）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。风险利率贴现的值。以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设世界以上过程表明，当为期权和其它衍生证券

11、估值时，完全可以假设世界是风险中性的。这就是所谓风险中性（是风险中性的。这就是所谓风险中性（risk-neutral valuation）原理。原理。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。8.2.2 风险中性估值举例风险中性估值举例 我们将风险中性估值原理运用于图我们将风险中性估值原理运用于图8-1的例子。的例子。在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利率率12。则有：。则有：22p+18(1-p)=20e0.120.25 即即 4p=20e0.120.25-18 得得 p

12、=0.6523 在三个月末尾在三个月末尾:看涨期权价值为看涨期权价值为$1的概率为的概率为0.6523，价值，价值为零的概率为为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：。因此，看涨期权的期望值为：0.65231+0.34770=$0.6523 按无风险利率贴现得期权现在的价值：按无风险利率贴现得期权现在的价值：f=0.6523e-0.120.25=0.633 8.3 两步二叉树图两步二叉树图8.3.1 两步二叉树图的构造两步二叉树图的构造 假设一种股票开始的价格为假设一种股票开始的价格为$20，并在图，并在图8-3所示的所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上两步二叉树

13、图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升升10或者下降或者下降10。假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利率是年率率是年率12。考虑一个执行价格为考虑一个执行价格为$21的期权。的期权。在图在图8-3中，很容易得到，在节点中，很容易得到，在节点D，期权价格为期权价格为$3.2；在节点；在节点E和和F，期权价格为零。期权价格为零。在节点在节点B的期权价格计算如下：的期权价格计算如下：u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523.在节点在节点B的期权价格为：的期权价格为：e-0.120.25(0.65233.2十十0.347

14、70)=2.0257 在节点在节点C，期权价格为期权价格为0。在节点在节点A的期权价格为：的期权价格为：e-0.120.25(0.65232.0257十十0.34770)=1.2823 在构造这个例子时，在构造这个例子时，u和和d(股票价格上升和下降的比率股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。是相等的。由式（由式（9.3）可得风险中性的概率）可得风险中性的概率p，它在每个节它在每个节点都是相同的。点都是相同的。8.3.2 一般结论一般结论 如图如图8-4所示，初始股票价格为所示，初始股票价格为

15、S。在每个单步二叉树在每个单步二叉树中，股票价格或者上升到初始值的中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值倍，或下降到初始值的的d倍。假设无风险利率是倍。假设无风险利率是r。每个单步二又树的时间长每个单步二又树的时间长度是度是t年。年。重复式（重复式（9.2）的计算，给出：）的计算，给出：（9.5）（9.6）（9.7）将式（将式（9.5）和（）和（9.6）代入式（）代入式（9.7），得到：），得到：式中，式中，p2，2p(1-p)和和(1-p)2是达到最后上、中、下三个是达到最后上、中、下三个节点的概率。节点的概率。衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界的衍生证券的价格等于它在它在风

16、险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。预期收益按无风险利率贴现的值。如果在树图中加入更多的步如果在树图中加入更多的步(step)以推广应用二叉树图以推广应用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是成立的。方法，风险中性估值的原理一直是成立的。衍生证券的价格衍生证券的价格总是等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的总是等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。值。8.3.3 看跌期权的例子看跌期权的例子 考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升步二叉树中股票价格或者按比率上升20，或者按比率，或者按比率下降下降20。无风险利率为。无风险利率为5。构造如图构造如图8-5所示的两步二叉树图。风险中性概率所示的两步二叉树图。风险中性概率P的的值为：值为：最后股票的可能价格为最后股票的可能价格为$72、$48和和$32。在这种情况下，。在这种情况下，fuu=0,fud=