《抛物线及其标准方程》.ppt

1、小结：抛物线极其标准方程画抛物线抛物线的定义：定点定点 F F 叫做叫做 抛抛物线的物线的焦点焦点；定直线定直线 L L 叫做叫做抛物线的抛物线的准线准线 平面内到定点平面内到定点 F F与到定直线与到定直线 L L 的距的距离相等的点的轨迹叫离相等的点的轨迹叫抛物线抛物线.L LFKMNF F在在l l上时，轨迹是过点上时，轨迹是过点F F垂垂直于直于L L的一条直线。的一条直线。注意注意平面上与一个定点平面上与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l（F F不在不在l l上上）的距离相等的点的轨迹叫做）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。抛物线。F F在在l l上时，轨迹是过点上时，轨迹是

2、过点F F垂垂直于直于L L的一条直线。的一条直线。方程方程 y2=2px（p0）叫做抛物线的标准方程叫做抛物线的标准方程其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程一一.定义定义:平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的的距离相等的点的轨迹叫做距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。定点。定点F F叫做抛叫做抛物线的物线的焦点焦点定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。二二.标准方程标准方程:yoxFMlNKyxoyxoyxoyxo 图图 形形 焦焦

3、 点点 准准 线线 标准方程标准方程 根据上表中抛物线的标准方程的不同根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系，应关系，如何判断抛物线的焦点位置，如何判断抛物线的焦点位置，开口方向开口方向？想一想想一想:第第一一：一一次次项项的的变变量量为为抛抛物物线线的的对对 称轴，焦点就在对称轴上称轴，焦点就在对称轴上;第二：一次项系数的正负决定了抛第二：一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向物线的开口方向.例例1 1（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已

4、知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y=6x2，求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），），求它的标准方程。求它的标准方程。解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）准线方程为准线方程为x=-.3232 1 12解解:方程可化为方程可化为:x=-y,故故p=,焦点坐标焦点坐标为为(0,-),准线方程为准线方程为y=.16 1 24 1 242解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准方程为方程为:x =-8y2练习：练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下

5、列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x=；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y 或或 x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20 x （2）x2=y （3）x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（5，0）x=-5（0，）18y=-18y=2(0 ,-2)例例2 2、求过点求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y

6、轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2=2py，得，得p=当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2=-2px，得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x 。思考题思考题、M是抛物线是抛物线y2=2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0+2pOyxFM小小 结结 ：1、抛物线的定义、抛物线的定义,标准方程类型与图象的标准方程类型与图象的对应对应关系关系以及以及判断方法判断方法2、抛物线的、抛物线的定义、标准方程定义、标准方程和它和它

7、 的焦点、准线、方程的焦点、准线、方程3、求标准方程（求标准方程（1 1）用定义；）用定义；（2 2）用待定系数法）用待定系数法P71P71思考：思考：二次函数二次函数 的图像为的图像为什么是抛物线？什么是抛物线？当当a0a0时与当时与当a0a0）有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质）的几何性质?对称性对称性2、关于关于x轴轴对称对称即点即点(x,-y)也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2=2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2=2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上,即满足

8、即满足y2=2px，顶点顶点3、定义：抛物线与定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛它的轴的交点叫做抛物线的物线的顶点顶点。y2=2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2=2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。离心率离心率4、P(x,y)抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率。由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程

9、抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质（二）归纳：抛物线的几何性质图 形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的

10、离心率是确定的,为为1;P(x,y)补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P（2）焦半径：）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：BA例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。三、典例精

11、析三、典例精析 解法解法2 2 F1(1,0),例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。解法解法3 3 F1(1,0),|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8ABFA1B1例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，

12、且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。小结：变式变式1：过（：过（2，0）点作斜率为）点作斜率为1的直线的直线l，交抛，交抛物线物线 于于A,B两点，求两点，求 过点M（2，0）作斜率为1的直线L为 :y=x-2FAB只有一个公共点只有一个公共点有两个公共点有两个公共点没有公共点没有公共点例例3,已知抛物线已知抛物线 的焦点是的焦点是F，点，点P是抛物线上的是抛物线上的动点，又有点动点，又有点A(1，5),求求 的最小值，并求出的最小值，并求出取最小值时取最小值时P点的坐标。点的坐标。A(1,5)FlQOPP例例3,已知抛物线已知抛物线 的焦点是的焦点是F，点，点P是抛

13、物线上的是抛物线上的动点，又有点动点，又有点 求求 的最小值，并的最小值，并求出取最小值时求出取最小值时P点的坐标。点的坐标。解：将x=3 代入抛物线方程y2=2x，得 A在抛物线内部，设抛物线上点P到准线l：的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d由图可知，当APl时，|PA|+d最小，最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，此时点P的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，点P的坐标为(2，2)A(3,2)FlQOPA(3，2),PB1过抛物线过抛物线 的焦点作直线交抛物线于的焦点作直线交抛物线于 ，两两点，如果点，如果 ，那么，那么 =（）（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知已知M为抛物线为抛物线 上一动点，上一动点，F为抛物线的焦点，定点为抛物线的焦点，定点 ，则，则 的最小值为（的最小值为（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63过抛物线过抛物线 的焦点的焦点F作直线交抛物线于作直线交抛物线于P、Q两点，两点，若线段若线段PF、QF的长分别是的长分别是p、q，则，则 =（）（A）（B）（C）（D）BBC随堂练习：