中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题.docx

1、中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看, 动态问题经常作为压轴题目出现, 得分率也是最低的。 动态问题一般分两 类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另 一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的 综合分析能力进行考察。 所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才 有机会拼高分。在这一讲,我们着重研究一下动态几何问题的解法,第一部分 真题精讲【例 1】 (2010,密云,一模如图,在梯形 ABCD 中, AD BC , 3AD =

2、, 5DC =, 10BC =,梯形的高为 4.动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2个单位长度的速度向终点 C 运动; 动点 N 同时从 C 点出发沿 线段 CD 以每秒 1个单位长度的速度向终点 D 运动.设运动的时间为 t (秒 . CMB(1当 MN AB 时,求 t 的值;(2试探究:t 为何值时, MNC 为等腰三角形.【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动, 谁没在动, 通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说, 都有一个由动转静的瞬间, 就

3、 本题而言, M , N 是在动,意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现,和这些动 态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的, 而且动态条件之间也是有关系的。 所以当 题中设定 MN/AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。 【解析】解:(1由题意知,当 M 、 N 运动到 t 秒时,如图,过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 点,则 四边形 ABED 是平行四边形.ABMCNED AB DE , AB MN . DE MN . (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将 MN 放在三角形 内,将动态问题转化成平行

4、时候的静态问题 MC NCEC CD=. (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键 1021035t t -=-.解得 5017t =.【思路分析 2】 第二问失分也是最严重的, 很多同学看到等腰三角形, 理所当然以为是 MN=NC即可, 于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN这两种情况。 在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角 形,一定不要忘记分类讨论的思想, 两腰一底一个都不能少。 具体分类以后,就成为了较为 简单的解三角形问题,于是可以轻松求解 【解析】(2分三种情况讨论: 当 MN NC =时,如图作 NF BC 交 BC 于 F ,则有 2MC FC =即. (利用等腰三角形 底边

5、高也是底边中线的性质 4sin 5DF C CD =, 3cos 5C =, 310225tt -=, 解得 258t =.A BMCNFD 当 MN MC =时,如图,过 M 作 MH CD 于 H . 则 2CN CH =, (321025t t =-. 6017t =. AB MCN HD 当 MC CN =时, 则 102t t -=.103t =. 综上所述,当 258t =、 6017或 103时, MNC 为等腰三角形. 【例 2】 (2010,崇文,一模在 ABC 中,ACB=45.点 D (与点 B 、 C 不重合为射线 BC 上一动点,连接 AD ,以 AD 为 一边且在

6、AD 的右侧作正方形 ADEF .(1 如果 AB=AC. 如图, 且点 D 在线段 BC 上运动. 试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系, 并证明你的结论.(2如果 AB AC ,如图,且点 D 在线段 BC 上运动. (1中结论是否成立,为什么?(3 若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P , 设 AC =3=BC , CD=x ,求线段 CP 的长. (用含 x 的式子表示 【思路分析 1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给 出那个 “静止点” , 所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中, 什么条件是不动

7、的。 由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。 【解析】 :(1结论:CF 与 BD 位置关系是垂直;证明如下: AB=AC , ACB =45,ABC=45. 由正方形 ADEF 得 AD=AF , DAF=BAC =90, DAB= FAC , DAB FAC , ACF= ABD . BCF= ACB+ACF= 90.即 CF BD .【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找 AC 的垂线,就可以变成第一问的条件,然后 一样求解。(2 CF BD .

8、(1中结论成立.理由是:过点 A 作 AG AC 交 BC 于点 G , AC=AG 可证: GAD CAF ACF=AGD=45 BCF= ACB+ACF= 90. 即 CF BD【思路分析 3】这一问有点棘手, D 在 BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不一 样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X还是 4-X 。分类讨论之后利用相 似三角形的比例关系即可求出 CP.(3过点 A 作 AQ BC 交 CB 的延长线于点 Q , 点 D 在线段 BC 上运动时, BCA=45,可求出 AQ= CQ=4. DQ=4-x,易证 AQD DCP , CP CD DQ

9、 AQ = , 44CP x x =-, 24x CP x =-+.点 D 在线段 BC 延长线上运动时, BCA=45,可求出 AQ= CQ=4, DQ=4+x. 过 A 作 AC AG 交 CB 延长线于点 G , 则 ACF AGD . CF BD ,GABCEF AQD DCP , CP CDDQ AQ = , 44CP xx =+, 24x CP x =+.【例 3】 (2010,怀柔,一模已知如图, 在梯形 ABCD 中, 24AD BC AD BC = , , , 点 M 是 AD 的中点,MBC 是等边三角形.(1求证:梯形 ABCD 是等腰梯形;(2 动 点 P 、 Q 分

10、别 在 线 段 BC 和 MC 上 运 动 , 且 60MPQ = 保 持 不 变 . 设PC x MQ y =, , 求 y 与 x 的函数关系式;(3在(2中,当 y 取最小值时,判断 PQC 的形状,并说明理由.【思路分析 1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察 几何方面。 第一问纯静态问题, 自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例 1一样是双动点问题,所以就需要研究在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定 MPQ=60, 这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起 来 . 因为最终求两条线段的关系 , 所

11、以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系 . 怎么证 相似三角形呢 ? 当然是利用角度咯 . 于是就有了思路 . 【解析】(1证明: MBC 是等边三角形 60MB MC MBC MCB =, M 是 AD 中点 AM MD = AD BC 60AMB MBC = ,ADCBP M6060DMC MCB = AMB DMC AB DC =梯形 ABCD 是等腰梯形.(2解:在等边 MBC 中, 4MB MC BC =, 60MBC MCB = ,60MPQ = 120BMP BPM BPM QPC +=+= (这个角度传递非常重要 , 大家要仔细揣 摩 BMP QPC = BMP CQP P

12、C CQBM BP= PC x MQ y =, 44BP x QC y =-=-, 444x y x -=- 2144y x x =-+ (设元以后得出比例关系 , 轻松化成二次函数的样子 【思路分析 2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很 轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时 Y 有最小值。接下来就变成了“给定 PC=2,求 PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4,自然看出 P 是中点,于是问题轻松求解。 (3解: PQC 为直角三角形 (21234y x =-+ 当 y 取最小值时, 2x PC = P 是 BC 的中点, MP BC , 而 60MPQ

13、 = , 30CPQ = , 90PQC =以上三类题目都是动点问题, 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件, 例如某 边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。 如果没有特殊条件,那么就需要研 究在动点移动中哪些条件是保持不变的。 当动的不是点, 而是一些具体的图形时, 思路是不是一样呢 ? 接下来我们看另外两道题 .【例 4】 2010,门头沟,一模已知正方形 ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F ,连接 DF , G 为 DF 中点,连接 EG CG ,. (1直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系;(2将图 1中 B

14、EF 绕 B 点逆时针旋转 45,如图 2所示,取 DF 中点 G ,连接 EG CG , , .你在(1中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3将图 1中 BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图 3所示,再连接相应的线段,问(1中的 结论是否仍然成立?(不要求证明图 3图 2图 1FABCDABCDEFGGFD CBA【思路分析 1】 这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。 从旋转 45到旋转任意角 度, 要求考生讨论其中的不动关系。 第一问自不必说, 两个共斜边的直角三角形的斜边中线 自然相等。 第二问将 BEF 旋转 45之后, 很多考生就想不到思路了。事实上,本题的核

15、心 条件就是 G 是中点, 中点往往意味着一大票的全等关系, 如何构建一对我们想要的全等三角 形就成为了分析的关键所在。连接 AG 之后,抛开其他条件,单看 G 点所在的四边形 ADFE , 我们会发现这是一个梯形, 于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法, 自然想到过 G 点做 AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 (1 CG EG =(2 (1中结论没有发生变化,即 CG EG =.证明:连接 AG ,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于 N 点. 在 DAG 与 DCG 中, AD CD ADG CDG DG DG =, , DAG DCG . AG C

16、G =.在 DMG 与 FNG 中, DGM FGN FG DG MDG NFG =, , DMG FNG . MG NG =在矩形 AENM 中, AM EN = 在 Rt AMG 与 Rt ENG 中, AM EN MG NG =, AMG ENG . AG EG =. EG CG =M N图 2ABCDE【思路分析 2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们 不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果 BEF 任意旋转,哪 些量在变化, 哪些量不变呢?如果题目要求证明, 应该如何思考。 建议有余力的同学自己研 究一下,笔者在这里提供一个思路

17、供参考:在 BEF 的旋转过程中,始终不变的依然是 G 点 是 FD 的中点。可以延长一倍 EG 到 H ,从而构造一个和 EFG 全等的三角形,利用 BE=EF这一 条件将全等过渡。要想办法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形 EBC 和三角形 CGH 全等,利用角度变换关系就可以得证了。 (3 (1中的结论仍然成立.G图 3ABCD【例 5】 (2010,朝阳,一模已知正方形 ABCD 的边长为 6cm ,点 E 是射线 BC 上的一个动点,连接 AE 交射线 DC 于点 F , 将ABE 沿直线 AE 翻折,点 B 落在点 B 处.(1当CE BE=1 时, CF=

18、_cm, (2当 CE BE=2 时,求 sinDAB 的值;(3当 CEBE= x 时(点 C 与点 E 不重合 ,请写出ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部分的面积 y 与 x 的关系式, (只要写出结论,不要解题过程 .【思路分析】 动态问题未必只有点的平移, 图形的旋转, 翻折 (就是轴对称 也是一大热点。 这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为 1,第二问比例为 2,第三问比例任意,所以 也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。 同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发 生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图 形也意味着大量全等或者相似

19、关系, 所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。 尤其注意 的是,本题中给定的比例都是有两重情况的, E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的,所以 需要大家分类讨论,不要遗漏。 【解析】(1 CF= 6 cm; (延长之后一眼看出, EAZY (2 如图 1,当点 E 在 BC 上时,延长 AB 交 DC 于点 M , AB CF , ABE FCE , FCABCE BE . CEBE=2, CF=3. AB CF , BAE= F .又 BAE=B AE, B AE= F . MA=MF. 设 MA=MF=k,则 MC=k -3, DM=9-k. 在 Rt ADM 中,由勾股定理得:

20、CADB图 1k2=(9-k2+62, 解得 k=MA=132. DM=52. (设元求解是这类题型中比较重要的方法 sin DAB =135=AM DM ; 如图 2,当点 E 在 BC 延长线上时,延长 AD 交 B E于点 N , 同可得 NA=NE.设 NA=NE=m,则 B N=12-m . 在 Rt AB N中,由勾股定理,得m2=(12-m2+62, 解得 m=AN=152. B N=92. sin DAB =53=AN N B .(3当点 E 在 BC 上时, y=18xx 1+;(所求A B E的面积即为 ABE 的面积,再由相似表示出边长 当点 E 在 BC 延长线上时,

21、y=18x 18x-. 【总结】 通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动 这么几种可能的方式。 动态几何问题往往作为压轴题来出 , 所以难度不言而喻 , 但是希望考生 拿到题以后不要慌张 , 因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中那些 不变的量。只要条分缕析 , 一个个将条件抽出来 , 将大问题化成若干个小问题去解决 , 就很轻 松了 . 为更好的帮助考生 , 笔者总结这种问题的一般思路如下:第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。针对运动的量,要分 析它是如何运动的, 运动过程是否需要分段考虑, 分类讨论。 针对不动的量

22、,要分析它们和 动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。第二、 画出图形, 进行分析, 尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关 系。如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、 做题过程中时刻注意分类讨论, 不同的情况下题目是否有不同的表现, 很多同学丢分 就丢在没有讨论, 只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式, 没有想到另外的方式, 如 本讲例 5当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。图 2第二部分 发散思考【思考 1】 2009,石景山,一模已知:如图 (1 , 射线 /AM 射线 BN , AB 是它们的公垂线, 点

23、 D 、 C 分别在 AM 、 BN 上运动(点 D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合 , E 是 AB 边上的动点(点 E 与 A 、 B 不重合 ,在运动过程中始终保持 EC DE ,且 a AB DE AD =+.(1求证:ADE BEC ;(2如图(2 ,当点 E 为 AB 边的中点时,求证:CD BC AD =+;(3设 m AE =,请探究:BEC 的周长是否与 m 值有关?若有关,请用含有 m 的代数 式表示 BEC 的周长;若无关,请说明理由. 第 25题(1 第 25题(2【思路分析】本题动点较多,并且是以和的形式给出长度。思考较为不易, 但是图中有多个 直角三角形

24、,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。 第三问计算周长,要 将周长的三条线段分别转化在一类关系当中, 看是否为定值, 如果是关于 M 的函数, 那么就 是有关,如果是一个定值,那么就无关,于是就可以得出结论了。【思考 2】 2009,西城,二模 ABC 是等边三角形, P 为平面内的一个动点, BP=BA,若 0 PBC 180,且 PBC 平分线上的一点 D 满足 DB=DA,(1当 BP 与 BA 重合时(如图 1 , BPD= ;(2当 BP 在 ABC 的内部时(如图 2 ,求 BPD 的度数;(3当 BP 在 ABC 的外部时,请你直接写出 BPD 的度数,并画出相应的

25、图形. 【思路分析】本题中,和动点 P 相关的动量有 PBC ,以及 D 点的位置,但是不动的量就是 BD 是平分线并且 DB=DA, 从这几条出发, 可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。 事实 上, P 点的轨迹就是以 B 为圆心, BA 为半径的一个圆, 那 D 点是什么呢?留给大家思考一下【思考 3】 2009,怀柔,二模如图:已知,四边形 ABCD 中, AD/BC, DCBC,已知 AB=5, BC=6, cosB=35. 点 O 为 BC 边上的一个动点,连结 OD , 以 O 为圆心, BO 为半径的O 分别交边 AB 于点 P , 交 线段 OD 于点 M ,交射线 BC

26、于点 N ,连结 MN .(1当 BO=AD时,求 BP 的长;(2点 O 运动的过程中,是否存在 BP=MN的情况?若存在,请求出当 BO 为多长时 BP=MN; 若不存在,请说明理由;(3 在点 O 运动的过程中, 以点 C 为圆心, CN 为半径作C, 请直接写出当C 存在时, O 与C 的位置关系,以及相应的C 半径 CN 的取值范围。【思路分析】 这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。 在和圆有关的 问题当中, 时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。 本题第一问比较 简单,等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出 MN 和 BP ,从而

27、讨论他们 的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考 4】 2009,北京在 ABCD 中, 过点 C 作 CE CD 交 AD 于点 E, 将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF(如 图 1(1在图 1中画图探究:当 P 为射线 CD 上任意一点 (P1不与 C 重合 时, 连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 90 得到线 A B C D N A B C D(备用图段 EC1. 判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系,并加以证明;当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时,连结 EP2, 将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转 90 得 到线段 EC2. 判断直线

28、 C1C2与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论 .(2若 AD=6,tanB=43,AE=1,在的条件下,设 CP1=x , S 11P FC =y ,求 y 与 x 之间的函 数关系式,并写出自变量 x 的取值范围 . 【思路分析】 本题是去年中考原题, 虽不是压轴, 但动点动线一起考出来, 难倒了不少同学。 事实上就在于如何把握这个旋转 90的条件。旋转 90自然就是垂直关系,于是又出现了 一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式, 但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想, 漏掉了很多种情况, 失分非常可惜。 建 议大家仔细研究这

29、道中考原题,按照上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营的去解答。第三部分 思考题解析【思考 1解析】(1证明: EC DE , =90DEC . =+90BEC AED .又 =90B A , =+90EDA AED . EDA BEC =. ADE BEC .(2证明:如图,过点 E 作 EF BC /,交 CD 于点 F , E 是 AB 的中点,容易证明 (21BC AD EF +=. 在 DEC Rt 中, CF DF =, CD EF 21=. (21BC AD +CD 21=. CD BC AD =+. 第 25题(3解:AED 的周长 DE AD AE +=m a +=, m a BE -=. 设 x AD =,则 x a DE -=. =90A , 222AD AE DE +=.即 22222x m x ax a +=+-. a m a x 222-=.由(1知 ADE BEC , 的周长 的周长 BEC ADE BE AD =m a m a -=22am a 2+=. BEC 的周长 +=m a a2ADE 的周长 a 2=. BEC 的周长与 m 值无关.【思考 2答案】解:(1 BPD= 30 ;(2如图 8,连结 CD .