高等数学上册总复习(定义、公式、定理).ppt

1、高等数学上册总复习高等数学上册总复习知识脉络知识脉络 定义、定理、公式及重要结论定义、定理、公式及重要结论 函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第第1章章 函数与极限函数与极限左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较

2、无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系

3、系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分第第2章章 一元函数的微分学一元函数的微分学洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊

4、类型几种特殊类型函数的积分函数的积分第第3章章 一元函数的一元函数的积分学分学问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函

5、数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 第第4 4章章 无穷级数无穷级数函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)(1)单值性与多值性单值性与多值性:函数的性质函数的性质(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函

6、数奇函数奇函数yxo(3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。(4)函数的有界性函数的有界性:设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+

7、l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通常（通常说周期函数的周期是指其最小正说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(5)函数的周期性函数的周期性:oyx反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接函数之间的关系反函数与直接函数之间的关系基本初等函数基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数复合函数复合函数初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并

8、可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式极限的定义极限的定义左极限左极限右极限右极限无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和

9、仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理推论推论1 1推论推论2 2极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子

10、分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.判定极限存在的准则判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)(1)(2)两个重要极限两个重要极限定义定义:无穷小的比较无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)等价无穷小的性质等价无穷小的性质极限的唯一性极限的唯一性连续的定义连续的定义定理定理连续的充要条件连续的充要条件单侧连续单侧连续间断点的定义间断点的定义(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点间断点的分类间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一

11、类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点闭区间的连续性闭区间的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质定理定理定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 2初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区

12、间是指包含在定义域内的区间.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.导数的定义导数的定义定义定义2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:基本导数公式基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本

13、初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）求导法则求导法则(1)(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)(2)反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则(3)(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4)(4)对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方然后利用隐函数的求导方法求出导数法求出导数.适用范围适用范围适用范围适用范围:(5)(5)隐隐

14、函数求函数求函数求函数求导导法法法法则则用复合函数求用复合函数求导法法则直接直接对方程两方程两边求求导.(6)(6)参参参参变变量函数的求量函数的求量函数的求量函数的求导导法法法法则则高阶导数高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)微分的定义微分的定义定义定义(微分的实质微分的实质)导数与微分的关系导数与微分的关系定理定理 微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数

15、的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.柯西中值定理柯西中值定理推论推论推论推论洛必达法则洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型的类型 .注意：注意：注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则

16、的使用条件洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.泰勒中值定理泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式导数的应用导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.定理定理定理定理(第一充分条件第一充分条件第一充分条件第一充分条件)定理定理定理定理(第二充分条件第二充分条件第二充分条件第二充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值