高等数学-连续.pptx

1、1二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 主要内容主要内容1-8 1-8 函数函数的连续性与间断点的连续性与间断点 2*函数的增量函数的增量一一、函数、函数连续性的定义连续性的定义3函数函数在点在点1.1.定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)(1)在点在点即即(2(2)极限极限(3)(3)设函数连续必须连续必须具备具备的的条件条件:存在存在;且有有定义定义,存在存在;思考思考思考思考:用数学语言描述函数连续性的定义用数学语言描述函数连续性的定义用数学语言描述函数连续性的定义用数学语言描述函数连续性的定义当当时时,有有4如：函数如：函数y=在在 x=2

2、处连续。因为处连续。因为如：函数如：函数y=sinx 在在 x=0处连续。因为处连续。因为补例补例1 1证证由定义由定义1 1知知5左连续左连续右连续右连续2 2、左连续左连续和右连续和右连续定理定理说明：说明：1.1.函数在点函数在点 处处连续与函数在点连续与函数在点 处处有极限的有极限的的区别与联系的区别与联系.连续连续 有有极限极限62.2.三个连续的定义的主要作用三个连续的定义的主要作用常用于具体函数连续性的判定常用于具体函数连续性的判定常用于理论推导常用于理论推导常用于分段函数分界点处连续性的判断常用于分段函数分界点处连续性的判断.7例例2 2解解右连续右连续左不连续左不连续83.连

3、续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间叫做在该区间上的上的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.该区该区间叫函数的间叫函数的连续区间连续区间.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.在闭区间在闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作9又又如函数如函数在在内连续内连续 .因为因为 同样可得同样可得:函数函数在在内连续内连续.例如例如在在上连续上连续 .(有理整函数有理整函数)因为因为 基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的.1

4、0在在在在二二、函数、函数的间断点的间断点(1(1)函数函数(2(2)函数函数不存在不存在;(3(3)函数函数存在存在 ,但但设在点的某去心邻域内有定义,则满足虽有虽有定义定义,但但虽有虽有定义且定义且在无定义无定义 ;的间断点：下列情形之一的即称为即称为1.1.间断点的定义：间断点的定义：112.2.间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在的间断点的间断点1 1、若、若称称2 2、若、若称称第二类间断点第二类间断点:不是第一类间断点的任何间断点不是第一类间断点的任何间断点为为可去间断可去间断点点.为为跳跃间断点跳跃间断点 .即即或或无意义无意义.1213为其无穷间断点

5、为其无穷间断点 .为其振荡间断为其振荡间断点点.例如例如:14为可去间断为可去间断点点.显然显然为其可去间断为其可去间断点点.(4(4)15(5)(5)为其跳跃间断为其跳跃间断点点.16注意：注意：可去间断点只要改变或者补充间断可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义点处函数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.为可去间断为可去间断点点.如如补充定义补充定义 ：时时则函数在则函数在 处处就连续了就连续了.练习：练习：0-11-1B18分段函数的间断点应注意分段函数的间断点应注意：1.1.函数函数的的无定义无定义点点必必为间断为间断点点；2.2.分段点分段点可能可能间断间断也也可能不可能不间断间断注意：函数注意：函数在在0 0处的处的左右极限左右极限是不同的是不同的！思考题思考题思考题解答思考题解答2020但反之不成立但反之不成立.例例但但212223242626三、小结三、小结271.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点作业：作业：P61.3(1)、（、（3）、（）、（4）P71.2、1028