1、第六节 高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考1一、问题的提出一、问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变其定义和求法是否与实变函数相同函数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?2二、主要定理二、主要定理定理定理证证3根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式
2、得从柯西积分公式得456再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限7至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数析函数.依次类推依次类推,利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证证毕证毕高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分.8三、典型例题三、典型例题例例1 1解解910根据复合闭路定理根据复合闭路定理1112例例3 3解解由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得1314例例4 4解解15根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导
3、数公式,1617例例5 5(Morera定理定理)证证依题意可知依题意可知18参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二,可证明可证明因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,19四、小结与思考四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别.高阶导数公式高阶导数公式20例例6 6证证不等式即证不等式即证.21思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同数与实函数的导数有何不同?22思考题答案思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.23
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