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1、 第二章 连续模型 2.1 微分方程模型2.2 变分法模型2.1.1 微分方程建模的基本方法 1、根据规律列方程、根据规律列方程例：质量为例：质量为m的球，用长为的球，用长为l的细线悬挂在的细线悬挂在O点，点，在地球引力下作往复运动，若不计悬线的质量，在地球引力下作往复运动，若不计悬线的质量，求摆球求摆球m的运动方程式。的运动方程式。2、微元法分析例：将例：将一一水平的金属杆的两端置于支架上，其间的距水平的金属杆的两端置于支架上，其间的距离为离为L，设，设杆件的左端维持在一固定温度，右端也杆件的左端维持在一固定温度，右端也维持在另一固定温度，假定右端温度小于左端温度，维持在另一固定温度，假定右

2、端温度小于左端温度，且温度与时间无关。此杆的导热系数为且温度与时间无关。此杆的导热系数为k，形状类形状类似一个扁铁条，截面面积为似一个扁铁条，截面面积为A，截面周界为截面周界为P，杆件杆件表面对周围介质的传热系数设为常数表面对周围介质的传热系数设为常数a，介质杆的介质杆的周围介质温度为周围介质温度为 ，试确定杆件中任何点的温试确定杆件中任何点的温度与此点离热端的距离之间的关系。度与此点离热端的距离之间的关系。3、模拟近似法例：生物种群数的增长例：生物种群数的增长 4、微分方程建模的基本步骤o由实际问题建立相应的微分方程模型。o求解与分析这一模型，即求出相应的微分方程的解，或是精确解，或是近似解

3、，其中还包括分析解的特性。o利用所得的数学结果，利用解的形式和数值，利用解的定性分析，解释实际问题，从而预测某些自然现象甚至社会现象中的特定性质，以便达到能动地改造世界解决实际问题的目的。2.1.2 超声速流与冲击波超声速流与冲击波从交通流模型谈起城市交通拥阻的分析与治理（2001年全国大学生数学建模夏令营数学建模题目）o许多大中城市的交通拥阻造成了时间的浪费、工作的耽误和心理的烦躁，直接、间接带来了相当大的经济损失。缓解拥阻需要多方努力、综合治理，现在请就你所了解的城市的情况，应用数学建模方法提出、分析并探讨解决城市交通拥阻问题的办法。下面的问题只是一个十字路口的典型环境下相当简化的情形，不

4、一定限于此。o1）在你的所在城市选择一个交通堵塞比较严重的十字路口，如图，到达十字路口的四队车流的每一队，都有直行、左转、右转三个方向。在交通高峰时间实际调查这些车流的数据，以及现行的交通调度方案（包括路口三个方向行车道的划分、红绿灯的控制等）。o2）分析交通堵塞的原因，提出治理方案。o3）对你的方案作计算机模拟，评价其效果。交通模型考察高速公路上形势的交通车辆的流动模型假设模型假设o无穷长公路o单向运动o不允许超车o公路无岔路符号oq(x,t):时刻t单位时间内通过点x的车辆数o :时刻t点x处单位长度内的车辆数ou(x,t):时刻t通过点x的车流速度o 为速度最大值o 为密度最大值流量与速

5、度和密度的关系连续流模型车辆数守恒：o时段t,t+dt中在区间x,x+dx内车辆数的增量应等于时段t,t+dt中通过点x的车流量减去时段t,t+dt中通过点x+dx的车辆流量（6）规格化的参数变量t0,1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界；（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。基于以上原因，目前表示自由形状大都采用参数形式。随着计算机辅助几何设计的研究，人们提出了许多自由形状的表示方法，下面就介绍几种有代表性的表示方法。假设有关函数连续可微Greenshield模型流量与密度的关系连续交通流方程模型求解o各种不同身高的人在一条直线上前进，人的数目足够多，可以看

6、成是一个连续模型。以h(t,x)表示t时刻位于x处（或其附近）的人的身高。考察函数h(t,x)所满足的方程。模型一模型一:所有的人以匀速所有的人以匀速a沿沿x轴轴正方向运动正方向运动o在直线x-at=c上，h取常数值（对应于同一个人！）故沿此方向对t的导数满足h(t,x)满足的偏微分方程通解公式模型二模型二:速度速度a随时间随时间t以及空间以及空间坐标坐标x变化变化o每个人的运动规律o 为此人的初始位置n沿着此常微分方程的任一积分曲线x=x(t)，h=h(t,x(t)=常数。特例：速度和身高成正比o为简单起见，比例系数设为1，即oh=h(t,x)满足求解1.求解常微分方程o沿着此常微分方程的任

7、一积分曲线x=x(t)，h=h(t,x(t)=常数o于是左边常微分方程的积分曲线为直线，在其上h取常数值,且其斜率即为此常数值。解的表达式o过 点的积分曲线为o在其上疏散波o初始时高个子在前，矮个子在后，人群越来越疏散，永远不会出现追赶上的现象压缩波o初始时，高个子在后，矮个子在前，人群将变得越来越密集，最终要出现追赶上的现象两种波的复合间断交通流模型o任取一时间段 及区间段 进行考虑，在时段 中在 上车辆数的增加量应等于在时段 中经过 处的流量减去经过 处的流量，车辆数守恒的积分形式在连续可微流场中解出现间断间断连接条件o或者2.1.3 金融衍生物的定价一、期权基础概念期权基础概念o欧式期权

8、(European Option)在未来某一确定的时间买卖某种金融资产的权利o美式期权(American Option)在未来一定时期内买卖某种金融资产的权利欧式期权o欧式认购期权 在某一个确定的到期日，以确定的价格购买某种确定的金融资产的权利o欧式认沽期权 在某一个确定的到期日，以确定的价格卖出某种确定的金融资产的权利美式期权o美式认购期权 在未来某一段时间范围内以确定的价格购买某种确定的金融资产的权利o美式认沽期权 在未来某一段时间范围内以确定的价格卖出某种确定的金融资产的权利期权价格o买卖合约的双方确定的关于合约的价格问题一o例：今天是2003年5月5日，X股票今天的价格为每股25元，现

9、有一认购期权合约，其投资者可以在半年以后以25元的价格购买一股X股票，则这一合约的价格是多少呢？问题一解答o忽略其他因素，只考虑基础资产价格变化的影响 o如果半年后，该股票的价格变为27元，该期权合约的持有者选择执行该合约，盈利2元o如果半年后，该股票的价格下降为23元，合约无利可图，持有者不执行该合约o规定股票价格变化只有两种可能，上升为27元的概率和下降为23元的概率相同，都是0.5，则该合约的价格应该为例一中购买认购期权与直接购买股票的不同点说明o以1元购买认购期权，半年后可能盈利1元，也可能损失1元，盈利和损失的比例都是初始投资的100%。但是如果投资者现在就以25元购买股票，盈利或者

10、损失的比例都只有8%。影响期权价格的因素o基础资产价格o执行价格o到期期限o基础资产价格波动率o无风险利率o拟派发红利单一因素变化对期权价格的影响变量欧式认购期权欧式认沽期权美式认购期权美式认沽期权股票价格+-+-执行价格-+-+到期期限？+波动率+无风险利率+-+-红利-+-+期权的作用o投机o保值期权定价理论的一般性o期权定价理论不仅仅可以用来为期权定价，原则上，只要一种资产的价格随着另一种资产的变化，期权定价理论都可以用来为该衍生产品定价。o例1：煤矿的价值定价o例2：菜地的价值定价利率的作用o一般假定无风险利率为常数，如有必要，再放松这一假设。o贴现公式 假定在T时刻，为了得到数量为E

11、的货币，在T之前的t时刻，应投入的货币数量为二、金融资产变化模型oS 金融资产价格ot 时间o 资产价值的平均增长率o 收益变动的标准差，描述价格变动的波动程度odx 取自正态分布中的一个样本值描述金融资产变化的简单方程Wiener过程o物理学中的Brown 运动o数学中用Wiener过程描述Brown运动o满足下列性质的dx称标准Wiener过程1.dx是随机变量，遵从正态分布2.dx的均值为零3.dx的值相互独立dx的表达式o是在标准正态分布中取值的随机变量o标准正态分布具有零均值、单位方差并且概率密度函数为正态分布函数数学期望o如果是离散型随机变量，它的可能值为 且 定义其数学期望为o如

12、果是连续型随机变量，它的分布函数为 定义其数学期望为方差o离散型随机变量o连续型随机变量一段相当长的时间T中x的变化o数学期望为0o方差为To标准差为任意变量S的一般的Wiener过程o均值为o方差为o标准差为称S遵从几何Brown运动，其均值为Sdt，方差为 ，标准差为对数正态分布o遵从几何Brown运动的随机变量S的密度函数遵从对数正态分布，变量S的概率密度函数是：估计o假定有n+1个S的历史数据，定义o则有Ito定理o假定f(S,t)是S的光滑函数，随机变量S遵从几何Brown运动，则期权定价的基本假定o基础资产价格遵从对数正态随机过程o在期权有效期内，无风险利率r和基础资产价格波动方差

13、是时间的已知函数。o套期保值没有交易成本o期权有效期内，基础资产不付红利o没有套利机会o基础资产可以连续交易o允许卖空，资产可以细分各种符号说明oS表示基础资产ot表示时间oV=V(S,t)表示期权的价值oC=C(S,t)表示认购期权oP=P(S,t)表示认沽期权oE表示执行价格oT表示到期日or表示利率o表示基础资产的变动程度无风险投资组合o在小时间间隔中构造投资组合消除随机因素o设在dt时间间隔内有一常量，并假定o则利用Ito定理，得到构造无风险投资组合，取=套利原理o假定无风险利率为r，则 考虑到 并选取 得到Black-Scholes公式边界条件 标准欧式期权边界条件o认购期权C(S,

14、t)边界条件o认沽期权P(S,t)边界条件认购期权定价公式 认沽期权定价公式问题二o有一个6个月到期的认购期权，相关股价是110，执行价是100，股票收益率波幅为0.4，无风险利率为6%，求期权价值。oS=110,E=100,r=0.06,T-t=0.5,代入期权价格公式得到C=19.13微分方程模型习题1.试按年龄分组，建立用常微分方程组描述的人口模型。2.试对病愈后有一段时间免疫力，但不能终身免疫的传染病，建立用偏微分方程表示的数学模型。3.许多海生甲壳类动物通过在水中挥动生有一排排化学感觉器官的触角来捕获气味分子。在这个过程中，包含平流输送和分子扩散两个阶段。以螳螂虾为例，建立相关的到达

15、感觉器官表面的气味分子流量模型。4由证券市场，债券市场，期货市场，期权市场和共同基金所组成的现代资本市场，是现代市场经济体系中重要组成部分.现在资本市场的存在，在市场经济发展过程中盘活了资金，加速了资本运作，提高了资本融通的效果，从而达到了资源的有效配置。试对企业基金投资过程中所遇到的风险问题和收益问题建立相关的数学模型，并对个人投资方案做一个简要分析。5.石油勘探开发中，人们用测井了解地层的物理性质，电法测井应用极为广泛。当一口勘探或开发井钻完之后，将测井仪器置于井中，仪器向地层发射稳定电流，形成一个稳定的电场，通过测量某些位置的电位，推算出地层的电阻率。将电阻率数据和用其它方法确定的地层孔

16、隙度数据综合起来就可以确定地层中的油水饱和度并推算出石油的储量。试对石油勘探中的电法测井问题建立数学模型，并给出相关的计算格式。参考文献o1.黄海军，城市交通网络平衡分析理论与实践，人民交通出版社，1994.o2.陆化普，城市交通现代化管理，人民交通出版社，1999.o3.黄卫、陈里得，智能运输系统(ITS)概论，人民交通出版社，1999.o4.王 炜、过秀成，交通工程学，东南大学出版社，2000.o5.李维新，一维不定常流与冲击波，国防工业出版社，2003.o6陈舜，期权定价理论及其应用，中国金融出版社，1996。o7瞿卫东，金融的核心工具期权，文汇出版社，1995。o8.P.Wilmott,Option Pricing:Mathematical Models and Computation,Oxford Financial Press,1996.o9刘次华，随机过程，华中科技大学出版社，1999。o10D.Kannan,An Introduction to Stochastic Processes,New York,1979