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1、初二数学下册复习资料一元一次不等式（组）（一） 一、全章教学内容及要求 、理解不等式的概念和基本性质 、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集 、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。 二、技能要求 1、会在数轴上表示不等式的解集。 2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。 3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。 三、重要的数学思想： 1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。 2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步 领会数形结合的思想。 四、主要数学能力 1、

2、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。 3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用 不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。 五、类比思想： 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”， 它体现了“不 同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。 在本章中，类比思想的突出运

3、用有： 不等式与等式的性质类比。 1、不等式与等式的性质类比。 对于等式（例如 a=b）的性质，我们比较熟悉。不等式（例如 ab 或 a20, 两边都乘以-5，得， x7 成立，那么 x=5 是不等式 x+47 的一个解。若 x=2 不等式 x+47 不成立，那么 x=2 不是不等式 x+47 的解。 注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。 例如： 例如：x+6=5 只有一个解 x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图， 而不等式 x+65 则有无数多个解-大于-1 的任何一

4、个数都是它的解。它的解集是 x-1，在数轴上表示出来是一个区间，如图 2、符号“”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”；符号“”读作“小于或等 于”或可以理解为“不大于”。 例如； 例如；在数轴上表示出下列各式： （1）x2 （2）x1 （4）x-1 解： x2 x1 x-1 不等式解法与方程的解法类比。 3、不等式解法与方程的解法类比。 从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两 个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性 质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解

5、集。 例如： 例如：解下列方程和不等式： = +1 +1 解：3(2+x)=2(2x-1)+6 6+3x=4x-2+6 3x-4x=-2+6-6 -x=-2 x=2 x=2 是原方程的解 1、去分母： 解：3(2+x)2(2x-1)+6 2、去括号： 6+3x4x-2+6 3、移项： 3x-4x-2+6-6 4、合并同类项： -x-2 5、系数化为 1： x2 x2 是原不等式的解集。 注意： 注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤 1 和 5，如 果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。 2 六、带有附加条件的不等式： 带有附加条件的不等式： 例

6、 1，求不等式 (3x+4)-37 的最大整数解。 分析： 分析：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加 条件的解。 解： (3x+4)-37 去分母： 3x+4-614 移项： 3x14-4+6 合并同类项： 3x16 系数化为 1： x5 x5 的最大整数解为 x=5 例 2，x 取哪些正整数时，代数式 3- 的值不小于代数式 的值？ 解：依题意需求不等式 3- 的解集。 解这个不等式： 去分母：24-2(x-1)3(x+2) 去括号： 24-2x+23x+6 移项： -2x-3x6-24-2 合并同类项： -5x-20 系数化为 1： x4 x4 的

7、正整数为 x=1, 2, 3, 4. 答：当 x 取 1, 2, 3, 4 时，代数式 3- 的值不小于代数式 的值。 例 3，当 k 取何值时，方程 x-2k=3(x-k)+1 的解为负数。 分析：应先解关于 x 的字母系数方程，即找到 x 的表达式，再解带有附加条件的不等式。 分析： 解：解关于 x 的方程： 去分母： 去括号： 移项： x-2k=3(x-k)+1 x-4k=6(x-k)+2 x-4k=6x-6k+2 x-6x=-6k+2+4k 3 合并同类项： -5x=2-2k 系数化为 1： x= = . 要使 x 为负数，即 x= 0， 2k-20, k1， 当 k0, m4. 当

8、m0，即 a-3 时，x , (2)当 a+3=0，即 a=-3 时，0x12，不等式无解。 (3)当 a+30，即 a0, a+3=0, a+3a，则 a 的取值范围是_； （2）若 a , 则 a 的取值范围是_。 2 解：（1） a a, 2 a a0, 即 a(a1)0, 或 解得 a1 或 a0。 答：a 的取值范围是 a1。 （2） a , a 0, 即 0. 或 或 解得 a1 或1a0. 答：a 的取值范围是1a1. 例 2（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想： _ ; _ ; _ ; _ ; _ ; _ . 从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母_，所得分数的值

9、比原分数的值要 _。 猜想：设 ab0, m0, 则 _ 。 （2）试证明你的猜想： 分析：1.易知：前面的各个空都填 “ ”. 一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大。 b 2.欲证 a ? b+m a+m ，只要证 0. 5 即证 0, 即证 b0, ba0, m(ba)0, = = = 0, 。 上面这个不等式有很多有意义的应用。 例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板 面积的比值应不小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。若同时增加相等的窗户面积 和地板面积，住宅的采光条件变好了。 设窗户面积为 a，

10、地板面积为 b，若同时增加相等的窗户面积和地板面积 m，由 住宅的采光条件变好了。 中考解析 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等式和它的基本性质 b，那 a+cb+c（或 acbc） （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果 ab， 且 c0，那么 acbc(或 ) （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果 ab， 且 c0，那么 acbc(或 b，则下列不等式一定成立的是（ ） B、 1 C、ab D、ab0 A、 1 考点： 考点：不等式的性质 评析： 评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数（或

11、整式）不等号不变；不等式 两边同时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。 因此 ab，所以 a、b 均可为负数也可为正数，所以 A、B 选项都不对，C 选项不等号的方向没改变， 所以也不对，因 ab，（a、b 代表的是任意数）所以根据不等式的性质运用排除法，可知正确选项 为 D。 真题专练 1（北京海淀区）比较大小：当实数 a0 时，1+a 1a(填“”) (写 2（广东省）已知实数 a、b 满足 ab0，a+b0，则满足条件的实数 a、b 可分别为 出满足条件的两个数即可)。 3（北京西城区）如果 ab，那么下列结论中错误的是（ ） A、a3b3 B、

12、3a3b C、 D、ab ） 4（北京海淀区）若 ab0，则下列各式中一定正确的是（ D、ab A、ab B、ab0 C、 5（天津市）若 ab，且 c 为实数则下列各式正确的是（ ） 2 2 2 2 D、ac bc A、acbc B、acbc C、ac bc 6（荆门市）已知 a、b、c 是有理数，且 abc，那么下列式子正确的是（ ） A、a+bb+c B、abbc C、abbc D、 答案： 答案： 1、10 的解集是 x2，它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明了， 容易知道哪些数不是原不等式的解。 （2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组

13、 时，易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点处 画实心圆圈，否则，画空心圆圈。 中考典例： 中考典例： （龙岩市、宁德市）不等式 2x+103 的解集是 。 考点： 考点：不等式的解集 评析： 评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两 边同时减 10，然后两边再除以 2，求得解集为 x 真题专练 1（石家庄市）不等式6x4 的解集是（ 。 ） A、x B、x C、x D、x 2（宜昌市）如果不等式（a1）xa1 的解集是 x1，则 a 的取值范围是（ ） 。 3（徐州市）不等式 5x46x 的解集是 4（西安市

14、）若代数式 3x+4 的值不大于 0，则 x 的取值范围是（ ） A、x B、x C、xD、x 答案： 答案： 1、B； 2、a1（提示：因为不等号的方向改变了，所以 a10，即 a1）； 3、x4； 4、C（提示：3x+4 的值不大于 0，即得不等式 3x+40） 课外拓展 解不等式的通法与技巧 同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一 些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。 一、凑整法 例 1解不等式 。 分析： 分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。 解：两边同乘以-4，得 x+30-2-x. x15-10x. -7

15、x14. 即 xb 则下列不等式一定成立的是（ ） A、 acbc B、 C、 a|c|b|c| D、 a+cb+c ） 2实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列式子中正确的是（ A、 b+c0 C、 acbc B、 a+bac 3下列各题的解法中，正确的是（ A、-x5 ） 9 B、-x-5,两边都乘以-1，得 x5 C、-x-5,两边都乘以-1，得 x5 D、-x-5, 两边都乘以-1，得 x5 4在数轴上表示不等式 x-2 的解集正确的是（ ） A、 B、 ） C、 D、 5若代数式 3x+4 的值不大于 0，则 x 的取值范围是（ A、 xB、 xC、 xa-1 的解

16、集是 x1 C、a1 D、a0 ） 7设 a、b 是已知数，不等式 ax+b0(a0)的解集是（ A、 x B、 x D、 x- 8不等式组 A、 解集是 x2 的解集的情况为（ ） C、 解集是-1x2 D、 无解 B、 解集是 xb+c 成立。 评析： 评析 答案：D。 2. 评析：由图可知：ab0c, |c|b|，很明显，A、B 都是错的，对于 C 也是错的，因为 cc, a0, abac. 答案：D。 3. 评析：主要考察不等式的性质 3，在不等号的两边同时乘上一个负数， 评析： 不等号的方向要改变。 答案：A。 4.评析：x-2，方向应向右，且包含 x=-2，故选 C。 评析： 评析

17、 答案：C。 5. 答案：B 评析： 评析：注意“不小于零”与“大于零”的区别，由语言叙述写成不等式并解不等式即可。 6. 评析：通过观原不等式与解集发现，不等号方向发生了改变，说明未知数前的系数是负数， 评析： 即 a-10。 解答：由题意可知 a-10, a1，故选 C。 注意： 注意：从不等号方向的改变这一重要线索入手，推断出未知数系数的符号是解含有未知字母系数 的不等式的一个重要方法。 7.评析：移项得 ax-b, 然后把系数化为 1。因为 a评析： 评析 答案：D 8.评析：直接求即可。 评析： 评析 答案：D 注： （1）解每一个不等式时，如果要利用不等式性质 3，注意不等号改变方

18、向问题； （2）找不等式的公共解时，借助数轴更直观； 9. 评析：求（1）（2）中公共部分，且 x 要为整数，由(1)得 评析： x- ，由(2)得 x2 ， - x2 ， 因为 x 为整数，所以 x 可以为 0 或 1 或 2。 答案：C 10. 解答： 由 x-5-2, 得 x3； 由 3-x-1. 解答： 不等式组解集是-1b）不等式组的解集 数轴表示 1. （同大型，同大取大）xa 2. （同小型，同小取小） xb 3. （一大一小型，小大之间） bx 解不等式(2)得 x4 （2）求组的解集 （利用数轴确定不等式组的解集） （借助数轴找公共部分） 12 （3）写出不等式组解集 （4）将解集标在数轴上 原不等式组的解集为 -1, 解不等式(2)得 x1, 解不等式(3)得 x2, 在数轴上表示出各个解为： 原不等式组解集为-1-1, 解不等式(2), |x|5, -5x5, 将(3)(4)解在数轴上表示出来如图， 原不等式组解集为-14x-5 得：x3， 1、先求出不等式组的解集。 解不等式 1 得 x2， 2、 在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。 原不等式组解集为 x2， 这个不等式组的正整