用线性规划问题的最优解在边界上简解高考题高考数学考点分类解析.docx

1、用线性规划问题的最优解在边界上简解高考题 高考数学考点分类解析用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线来解决的，所以有下面的结论：(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.(2)若目标函数在两个不同的点处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线与直线平行(此时线段一定是可

2、行域的边界，且线段上的所有点都是最优解).(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.下面用这些结论简解几道线性规划题.题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2 C2 D3解 B.题中的可行域为图1中的(其顶点坐标分别是)及其内部的区域.图1再由结论(3)，可得或2.再检验，得.题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A2 B1 C1 D2解 C.若，可得z无最大值，所以.先画出不等式组表示的区域为图2中

3、的阴影部分.图2(请把图中的“”分别改为“”)直线过原点且不与直线不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域(若是图2中的某一块无限区域，则z无最大值).又直线2xy=2与直线交于点，再由以上结论(3)，得是最优解且直线过点A，所以.题3 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为( )A5 B4 C. D2解 B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组的解).由以上结论(3)，得(2,1)是最优解，所以.接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式

4、求得答案.题4 (2014年高考全国课标卷I文科第11题)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a( )A5 B3 C5或3 D5或3解 B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是(即方程组的解).由以上结论(3)，得是最优解，所以a3或5 因为题设中是“最小值为7”(不是“最大值或最小值为7”)，所以还须检验：当a3时，可得“最小值为7”；当a5时，可得“最大值为7”.所以a3.题5 (2014年高考安徽卷理科第5题)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或1 B2或 C2或1 D2或1解 D.先作出可行域是图3中的.图3(请去掉图中过原点的直线)

5、由题设及结论(2)知，初始直线与的某一条边平行，得或或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，.题6 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解 .先作出可行域是图4中的.题设即，由以上结论(3)，得，即.图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点的坐标)题7 (2013年高考浙江卷理科第13题)设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k= 解 2.先作出可行域是图5中的(其中)，得以下三种情形：(1)若在点处取到最大值，得，这不可能！(2)若在点处取到最大值，得，经检验知，这也不可能！(3)若在点处取到最大值，得

6、，经检验知，符合题意！所以.图5题8 (北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷(高三数学(理科)第8题)设为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域内的任一点，都有成立，则的最大值等于( )A.2 B.1 C.0 D.3解 A.先作出平面区域为图6中的.图6题设即：对于区域上的任一点，都有成立.其充要条件是的顶点的坐标均满足，即，由此可得的最大值是2(这也是一个线性规划问题).注 由此解法，还可得出的取值范围是.建议把题目中的“区域内”改为“区域上”，若是“区域内”，则所求最大值不存在，只能得到的取值范围是.用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题高考题 (2

7、015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0得x，由g(x)0得x，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数又函数g(x)在x时g(x)时g(x)0，所以其大致图象如图1所示图1直线yaxa过点(1，0)若a0，则f(x)0.结合函数图象可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0a)在点(x0，g(x0)的上方，得x0只能是0，所以实数a应满足即解得a1.即实数a的取值范围是.解法2 (分离常数法)D.令后，得题设即关于t的不等式有唯一的整数解.若，由a1，可得所以题设即关于t的

8、不等式即有唯一的整数解，也即关于t的不等式有唯一的整数解.设，得，所以函数在上是增函数，得最大值为.又，由此可作出函数的图象如图2所示：图2注意到图象过点且，所以由图2可得：当时，满足的整数t有，所以此时不满足题意.当时，满足的整数t只有，所以此时满足题意.得所求a的取值范围是.解法3 (排除法)D.当时，不等式f(x)0即ex(2x1)0得x，由g(x)0得x，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数又g(0)1，所以可得曲线在点处的切线为，如图3所示图3所以当a1且时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数

9、与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解 题1 解方程：(1)；(2)；(3).解 (1)容易观察出均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解，所以这两个解就是原方程的所有解.(2)同理，可得原方程的所有解是.(3)容易观察出均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解(因为对于任意的非零实数，和都是原方程的解，所以应当把和理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程

10、的所有解.题2 解方程.解 设函数，易知它是增函数，所以方程至多有一个根(当2在函数的值域中时有一个根，否则没有根)，所以原方程的根是.题3 已知，求.解 由及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解： 或 该方程组即因为关于的一元二次方程最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解，.题4 (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列的前项和为，且N*)，其中，求数列的通项公式.解 由题设得，所以当确定时，也唯一确定.所以由知，数列是唯一确定的.可以观察出满足题设的所有条件，所以数列是满足题设的唯一数列，得.另解 因为 由题设得，再由

11、知是唯一确定的数列.再同上得.题5 (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列的前项和为，已知，且N*)，其中为常数.(1)求与的值；(2)证明数列为等差数列；解 (1).(2) N*)， 所以是唯一确定的数列，也是唯一确定的数列.又由知，若为等差数列，则，于是.容易验证满足，所以题中的，为等差数.题6 已知数列满足，求；解 首先，由首项及递推关系知，满足题意的数列是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得，即（k是常数）满足递推关系，再由，得满足题目的所有条件，所以本题的答案就是.题7 已知数列满足，求.解 易知本题的答案是是唯一

12、确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得是非零常数），即满足递推关系，再由，得满足题目的所有条件，所以本题的答案就是.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案. 对于要求解的问题，若能证明它最多有是确定的正整数)个解，又找出了它的个解，则这个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题： 题8 (2010安徽理20)设数列中的每一项都不为0.证明为等差数列的充分必要条件是：对任何N*，都有.证明 先证必要性.若数列是公差为的等差数列：当时，易得欲证成立

13、.当时，有 再证充分性.只需对用数学归纳法证明加强的结论：若恒成立，则成等差数列，且.当时成立：当时，得，所以成等差数列，还可证(因为由可得，而由时成立立知.假设时成立：即成等差数列，且.由时均成立及知，当确定时，数列也是确定的，而由必要性的证明知，由确定的等差数列满足题设，所以由题设及确定的数列就是这个等差数列，即成等差数列，同上还可证，即时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项J.中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题高考题 (