高数高等数学1.8函数的连续性与间断点.ppt

1、第八节第八节 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点一、函数的连续性一、函数的连续性1.1.函数的增量函数的增量函数的增量函数的增量-变量变量变量变量u u的增量的增量的增量的增量-自变量的增量自变量的增量自变量的增量自变量的增量-函数的增量函数的增量函数的增量函数的增量2.2.函数连续的定义函数连续的定义函数连续的定义函数连续的定义定义定义定义定义连续的等价定义连续的等价定义连续的等价定义连续的等价定义说明：说明：说明：说明：左连续：左连续：左连续：左连续：右连续：右连续：右连续：右连续：左连续左连续左连续左连续右连续右连续

2、右连续右连续等价命题等价命题等价命题等价命题:3.3.连续区间与连续函数连续区间与连续函数连续区间与连续函数连续区间与连续函数区间上连续：区间上连续：区间上连续：区间上连续：指函数在区间指函数在区间指函数在区间指函数在区间 a a,b b 上的每一内点都连续，上的每一内点都连续，上的每一内点都连续，上的每一内点都连续，且在且在且在且在a a右连续，在右连续，在右连续，在右连续，在 b b左连续左连续左连续左连续.连续函数：连续函数：连续函数：连续函数：连续区间连续区间说明：说明：说明：说明：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不

3、间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.ab例如：例如：例如：例如：多项式函数多项式函数又如：又如：又如：又如：有理分式函数有理分式函数在其在其定义域内连续定义域内连续.例例例例2 2 2 2证明证明证明证明例例例例3 3 3 3证明证明证明证明同理可证同理可证同理可证同理可证右连续但不左连续右连续但不左连续,例例例例3 3 3 3解解解解三角函数和差化积公式三角函数和差化积公式三角函数和差化积公式三角函数和差化积公式二、函数的间断点二、函数的间断点1.1.间断点的定义间断点的定义间断点的定义间断点的定义定义定义定义定义2.2.间断点的分类间断点的分类间断点的分类间断点的分类第一类间

4、断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点:若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡,可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点.跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点 .无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点 .振荡间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点 .解解解解例例例例1 1 求下列函数的间断点求下列函数的间断点解解解解说明：说明：说明：说明：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的的定义的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.2解解解解解解解解解解解解1解解解解可去型可去型第第第第一一一一类类类类间间

5、间间断断断断点点点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第第第二二二二类类类类间间间间断断断断点点点点oyxoyxoyx例例例例2 2解解解解例例例例3 3解解解解评注：评注：评注：评注：(1)函数无定义的点一定是间断点、分段函数的函数无定义的点一定是间断点、分段函数的分界点可能是间断点；分界点可能是间断点；(2)判别间断点的类型主要方法是讨论极限、判别间断点的类型主要方法是讨论极限、左、右极限左、右极限.小结小结左连续左连续左连续左连续右连续右连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在作业：作业：P65 习题习题1-82.(2)3.(1)(2)(4)