线性规划.ppt

1、运筹学的主要内容线性规划线性规划数数学学规规划划非线性规划非线性规划整数规划整数规划动态规划动态规划学学科科内内容容多目标规划多目标规划双层规划双层规划组组合合优优化化最优计数问题最优计数问题网络优化网络优化排序问题排序问题统筹图统筹图随随机机优优化化对策论对策论排队论排队论库存论库存论决策分析决策分析可靠性分析可靠性分析 许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优化问题化问题,最优化模型是数学建模中应用最广泛的最优化模型是数学建模中应用最广泛的模型之一模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、其内容包括线性规划、整数线性规划、非线性规划、动态规划、变分法、

2、最优控制等非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等.近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几乎每次都有一道题要用到此方法乎每次都有一道题要用到此方法.此类问题的一般形式为：此类问题的一般形式为：minf(x),s.t.x.目标函数约束条件可行解域线性规划线性规划（LinearProgramming,缩写为缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。应用领域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的

3、最优利用、设备最佳运线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。、利润最大）。第一章线性规划第一章线性规划第一节线性规划的基本概念第一节线性规划的基本概念第二节线

4、性规划的标准形式和解的性质第二节线性规划的标准形式和解的性质第三节单纯形法第三节单纯形法第四节人工变量法第四节人工变量法第五节线性规划应用举例第五节线性规划应用举例第一节线性规划的基本概念第一节线性规划的基本概念1.1线性规划线性规划数学模型数学模型(MathematicalModelofLinearProgramming)【例例1.11.1】最优生产计划问题。最优生产计划问题。某某企企业业在在计计划划期期内内计计划划生生产产甲甲、乙乙、丙丙三三种种产产品品。这这些些产产品品分分别别需需要要要要在在设设备备A A、B B上上加加工工，需需要要消消耗耗材材料料C C、D D，按按工工艺艺资资料料

5、规规定定，单单件件产产品品在在不不同同设设备备上上加加工工及及所所需需要要的的资资源源如如表表1.11.1所所示示。已已知知在在计计划划期期内内设设备备的的加加工工能能力力各各为为200200台台时时，可可供供材材料料分分别别为为360360、300300公公斤斤；每每生生产产一一件件甲甲、乙乙、丙丙三三种种产产品品，企企业业可可获获得得利利润润分分别别为为4040、3030、5050元元，假假定定市市场场需需求求无无限限制制。企企业业决决策策者者应应如如何何安安排排生生产产计计划划，使使企企业业在在计计划划期期内内总总的的利润收入最大？利润收入最大？1.1.1应用模型举例应用模型举例产品产品

6、资源资源甲甲乙乙丙丙现有资源现有资源设备设备A312200设备设备B224200材料材料C451360材料材料D235300利润（元利润（元/件）件）403050表表1.1产品资源消耗产品资源消耗【解解】设设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：为：产品产品资源资源甲甲乙乙丙丙现有资现有资源源设备设备A31 2200设备设备B22 4200材料材料C45 1360材料材料D23 5300利润（元利润（元/件）件）40 30 50最优解最优解X=(50,30,10);Z=3400目标函数目标函数资源约束资源约束线性规划的数学模型由线性规划

7、的数学模型由决策变量决策变量Decisionvariables目标函数目标函数Objectivefunction约束条件约束条件Constraints构成。称为三个要素构成。称为三个要素。n其特征是：其特征是：n1解决问题的解决问题的目标函数目标函数目标函数目标函数是多个决策变量的是多个决策变量的线性线性函数，函数，通常是求最大值或通常是求最大值或最小值；最小值；n2解决问题的解决问题的约束条件约束条件约束条件约束条件是一组多个决策变量的是一组多个决策变量的线性线性不不等式或等式。等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？【例例1.2】某某商商场场决决定定：营

8、营业业员员每每周周连连续续工工作作5天天后后连连续续休休息息2天天，轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。所示。表表1.2营业员需要量统计表营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。最少。星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数需要人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400【解解】设设xj (j=1，2，7)为休息为休息2天后星期一到星期日开天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型

9、为始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为星星期期需要需要人数人数星星期期需要需要人数人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400目标函数：总人数最少目标函数：总人数最少约束条件：上班人数大于每天需要人数约束条件：上班人数大于每天需要人数1 1 X1X10 0人人 C1=C1=404404=300300404-300=104404-300=1042 2 X2X26767人人 C2C2301301=3003001 13 3 X3X3146146人人 C3C3350350=3503500 04 4 X4X4170170人人 C4C4400400=4004000 05

10、 5 X5X59797人人 C5C5480480=4804800 06 6 X6X6120120人人 C6C6600600=6006000 07 7 X7X71717人人 C7C7550550=5505500 0最优解：最优解：Z617（人）人）【例例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为钢长度为4m。现在要制造现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？辆汽车，最少要

11、用多少圆钢来生产这些轴？【解解】这是个条材下料问题这是个条材下料问题，设切口宽度为零。，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表表示，求这个不等式关于示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有组，也就是有10种下料方式，如表种下料方式，如表1.3所示。所示。表表13下料方案下料方案方案方案规格规格12345678910需求量需求量y1(根根)2211100000

12、1000y210210432101000y301023012451000余料余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.5设设xj(j=1,2,10)为为第第j种种下下料料方方案案所所用用圆圆钢钢的的根根数数。则则用用料料最最少数学模型少数学模型为为为为:方案方案规格规格12345678910需求量需求量y1(根根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.5求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将

13、毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。初选。1 1 X1X15005002 2 X2X20 03 3 X3X30 04 4 X4X40 05 5 X5X50 06 6 X6X662.562.57 7 X7X70 08 8 X8X80 09 9 X9X92502501010 X10X100 0Z812.5最优解：最优解：【例例

14、1.4】配配料料问问题题。某某钢钢铁铁公公司司生生产产一一种种合合金金，要要求求的的成成分分规规格格是是：锡锡不不少少于于28%，锌锌不不多多于于15%，铅铅恰恰好好10%，镍镍要要界界于于35%55%之之间间，不不允允许许有有其其他他成成分分。钢钢铁铁公公司司拟拟从从五五种种不不同同级级别别的的矿矿石石中中进进行行冶冶炼炼，每每种种矿矿物物的的成成分分含含量量和和价价格格如如表表1.4所所示示。矿矿石石杂杂质质在在治治炼炼过过程程中中废废弃弃，现现要要求求每每吨吨合合金金成成本本最最低低的的矿矿物物数数量量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变

15、化。表表1.4矿石的金属含量矿石的金属含量合金合金矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解解:设设xj（j=1,2，5）是第是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模种矿石数量，得到下列线性规划模型型矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190注注意意，矿矿石石在在实实际际冶冶炼炼时时金金属属含含量量会会发发

16、生生变变化化，建建模模时时应应将将这这种种变变化化考考虑虑进进去去，有有可可能能是是非非线线性性关关系系。配配料料问问题题也也称称配配方方问问题题、营营养养问问题题或或混混合合问问题题，在在许许多多行业生产中都能遇到。行业生产中都能遇到。1 1 X1X10 02 2 X2X20.33330.33333 3 X3X30 04 4 X4X40.58330.58335 5 X5X50.66670.6667最优解：最优解：Z=347.5第五年：第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：第一年：x1+x2=200(万元万元)第二年：第二年：(x1/2+x3)+x4=x2第三年第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型整理后得到下列线性规划模型【解解】设设x1：第一年的投资；第一年的投资；x2：第一年的保留资金第一年的保留资金x3：第二年新的投资；第二年新的投资；x4：第二年的保留资金第二年的保留资金x5：第三年新的投资；第三年新的投资；x6：第三年的保