线性方程组的解的结构.ppt

1、第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组线性方程组在几何中的应用在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理1 在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。入研究解的性质和解的结构。24.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理1、非齐次方程组解的存在性定理、非齐次

2、方程组解的存在性定理2、齐次方程组解的存在性定理、齐次方程组解的存在性定理3(4-1)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)4一、非齐次方程组解的存在性定理一、非齐次方程组解的存在性定理定理定理定理定理4.1.14.1.1对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次方程组方程组(4-1)向量向量 可由可由A的列向量组的列向量组线性表示。线性表示。5定理定理定理定理4.1.24.1.2设设的线性方程组的线性方程组的系数行列式的系数行列式Cramer法则法则则方程组有唯一解则方程组有唯一解,且解为且解为:(4-2)6二、齐次方程组解的存在性

3、定理二、齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)7定理定理定理定理4.1.34.1.3对于对于齐次齐次齐次齐次方程组方程组(1)A的列向量组线性无关的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关推论推论1当方程的个数当方程的个数m小于未知量的个数小于未知量的个数n，则，则(4-3)一定有非零解一定有非零解.齐次方程组解的存在性定理齐次方程组解的存在性定理8定理定理定理定理4.1.44.1.4设设的线性方程组的线性方程组有非零解有非零解(4-4)9例：例：(1)如果非齐次线性方程

4、组如果非齐次线性方程组 有惟一解，有惟一解，则则 只有零解？只有零解？(2)如果如果 只有零解，则只有零解，则非齐次线性方程组非齐次线性方程组 有惟一解吗？有惟一解吗？10第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组线性方程组在几何中的应用在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理114.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为基础解系基础

5、解系基础解系基础解系)如何求如何求?齐次方程组齐次方程组(假设有无穷多解假设有无穷多解)(1)解集的特点解集的特点?称：称：12性质性质1：若若 是是(4-3)的解，的解，解空间解空间:的所有解向量的集合的所有解向量的集合S，对加法和数乘，对加法和数乘都都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的线性方程组的解空间解空间。性质性质2：注：注：如果如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。只有零解，解空间是零空间。如果如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。有非零解，解空间是非零空间。性质性质性质性质推论推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为

6、基础解系。而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题首先回答问题(1)13设设是是的的解，满足解，满足线性无关；线性无关；的的任一解都可以由任一解都可以由线性线性是是的的一个一个基础解系基础解系。基础解系基础解系表示表示,则称则称下面我们用一个例子回答第下面我们用一个例子回答第(2)和第和第(3)个问题，个问题，同时也是定理同时也是定理4.2.1的例证。的例证。(取任意实数取任意实数)从而从而也是也是(4-3)的解。的解。14通过下面的例子通过下面的例子,针对一般的方程组针对一般的方程组例例1回答所提问题回答所提问题.第一步第一步第一步第一步:对系数矩阵对系数矩阵 A 初等行变

7、换化行最简形初等行变换化行最简形 B从行最简形能得到什么？从行最简形能得到什么？15第二步第二步第二步第二步：写出同解的方程组：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程保留第一个未知数在方程的左边的左边,其余的都移到右边其余的都移到右边.右边的又叫自由变量右边的又叫自由变量)自由变量的个数自由变量的个数=?第三步第三步第三步第三步:令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式写出通解，再改写成向量形式 16是解吗是解吗?线性无关吗线性无关吗?任一解都任一解都 可由可由 表示吗表示吗?是基础解系吗是基础解系吗?基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数=?第四步第四步第四

8、步第四步:写出基础解系写出基础解系17设设是是矩阵，如果矩阵，如果则则齐次线性方程组齐次线性方程组的的基础解系存在，基础解系存在，且且每个基础解系中含有每个基础解系中含有个个解向量。解向量。定理定理定理定理4.2.14.2.1推论推论推论推论2 2设设是是矩阵，如果矩阵，如果则则齐次线性方程组齐次线性方程组的任意的任意 个线性无关个线性无关的解向量均可构成基础解系。的解向量均可构成基础解系。18设设 ,证明证明证证记记则由则由说明说明都是都是的解的解因此因此移项移项重要结论重要结论重要结论重要结论推论推论推论推论3 319例例2设设 ,是是 的的两个不同的解向量两个不同的解向量,k 取任意实数

9、取任意实数,则则 Ax=0 的通解是的通解是20且线性无关，则且线性无关，则_是是AX=O的基础解系。的基础解系。(2),(3)练习练习练习练习1、21练习练习2、求下列线性方程组的基础解系与通解、求下列线性方程组的基础解系与通解.22例例3证明证明设设 ,首先证明首先证明利用这一结论利用这一结论证证重要结论重要结论重要结论重要结论23第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组线性方程组在几何中的应用在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的

10、存在性定理244.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构以下总假设以下总假设有解有解,而其对应的齐次方程组而其对应的齐次方程组的基础解系为的基础解系为这里这里25性质性质性质性质性质性质(1 1)设设 都是都是(1)的解的解,则则是是(2)的解的解.(2 2)设设 是是(1)的解的解,是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定),则对则对(1)的任一解的任一解 x是是(2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得又形如又形如(3)的向量的向量(任取任取)都是都是(1)的解的解.由此得由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。注

11、：非齐次方程组的解集不是空间。26定理定理定理定理4.3.14.3.1设设 是是(1)的任一解的任一解,则则(1)的通解的通解为为例例4解解27得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系于是所有通解于是所有通解即得方程组的一个解即得方程组的一个解28练习练习求下列线性方程组的通解求下列线性方程组的通解.29设设是非齐次方程组是非齐次方程组 Ax=b 的解的解,则则是是 Ax=0 的解的解是是 Ax=b 的解的解例例530例例6设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量,且且求该方程组的通解求该方程组的通解.解解取

12、取 ,则它就是解则它就是解,从而也是从而也是基础解系基础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为自学书自学书P.144-145 例例2、3、5。31小结：小结：作业：作业：P142 1 P147 432第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组线性方程组在几何中的应用在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理334.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用34例例7求一个齐次方程组求一个齐次方程组,使它的基础解系为使它的基础解系为记之为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程,习惯把未知习惯把未知的的 A 放在右边放在右边,转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 的列的列(A 的行的行)即可即可.解解 得基础解系得基础解系设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 ,则则取取即可即可.解解35