matlab频谱分析时的若干问题解释及几种频谱的理解.docx

1、matlab频谱分析时的若干问题解释及几种频谱的理解matlab频谱分析时的若干问题解释及几种频谱的理解文主要说明以下几个问题：在matlab中如何表示频率为f1，以采样率f抽样后所得到的数字信号？如此表示的依据是什么？使用matlab画出的频谱(一般是幅度谱或称振幅谱)的横坐标轴的意义是什么？如何根据横坐标轴的值得到其所对应的实际频率？实数序列的频谱除第零个点和第N/2个(当N为偶数时)点外（从0N-1），其它具有共轭对称性质；复数序列呢？频率分辨率指的是什么？高分辨谱和高密度谱有何区别？有何作用？约定：对于信号cos(t)，它是以周期为2/为周期的信号，角频率=2f，我们经常这样称呼这个信

2、号：它的角频率为，频率为fHz，周期T=1/f秒；一、信号采样问题在matlab中对以下信号进行采样：其中f1 = 1000Hz，根据奈奎斯特采样定理，采样频率f 2f1，在此我们取f = 3000Hz。在matlab中仿真也好，实际中处理的信号也罢，一般都是数字信号。而采样就是将信号数字化的一个过程，设将信号s1(t)数字化得到信号：其中n=0N-1，N为采样点数。我们来解释一下s1(n)，为什么说上式表示以采样率f对频率为f1的信号进行采样的结果呢？采样，顾名思义，就是对信号隔一段时间取一个值，而隔的这段时间就是采样间隔，取其倒数就是采样率了。那们我们看上式，将前面的参数代入：当n=0时：

3、当n=1时：当n=2时：当n=3时：这是不是相当于对信号s1(t)的一个周期内采了三个样点呢？对一个频率为1000Hz的信号每周期采三个样点不就是相当于以3倍于频率的采样率进行采样呢？注意，当n=3时相当于下一个周期的起始了。我们取采样点数N=64，即对64/3=21.3个周期，共计64/3/f1=21.3ms时长。我们在matlab中输入以下命令： n=0:63; f1=1000;f=3000; s1=cos(2*pi*f1/f*n); plot(abs(fft(s1);图1下面我们对图1进行一下解释，以说明图中的横坐标轴的所代表的意义。对于信号：我们知道它的傅里叶变换是：如果在-23000

4、/2 23000/2范围内观察信号s1(t)的频谱，则应该在21000和-21000两个频点上有两根谱线，而对采样后的数字信号，频率坐标轴范围-23000/2 23000/2将被归一化到-2(3000/2)/3000 2(3000/2)/3000即- 范围内，因此将在21000/3000和-21000 /3000即2/3和-2/3的两个频点上有两根谱线。注意，此时坐标轴上的2代表着3000Hz的频率范围。另外还有一点应该明白的是，时域采样意味着频域的周期延拓，即- 上的谱线与-+M2 +M2范围内的谱线是一模一样的，其中M为任意的整数。更通俗的说，a b之间的频谱与a+M2 b+M2之间的频谱

5、是一模一样的。因此- 0之间的频谱与 2之间的频谱是一样的。在matlab中，如果仅简单的执行plot绘图命令，坐标横轴将是1 N，那么这1 N代表着什么呢？是的，应该代表02，应用到上面的例子即是03000Hz的频率范围。其中1 N/2代表0 ，而N/2 N代表- 0。从理论上讲，对于应该在1000Hz和-1000Hz两个频点上有两根线，即应该在x1（其中x1(3000/2) /(64/2)=1000，解得x1=21.3）上和64-x1上有两根谱线。观察图1可知，两个峰值大约对应横轴坐标为21和43=64-21两个点。若令：则傅里叶变换是：在matlab中执行以下命令： n=0:63; f1

6、=1000;f=3000; s2=sin(2*pi*f1/f*n); plot(abs(fft(s2);则可得其频谱，如图2所示：图2由图可得两个峰值的位置基本与图1相同，这由其傅里叶表达式也可以得出此结论。以上分别说明了余弦和正弦的频谱，而且余弦和正弦均是实数序列，实数序列的离散傅里叶变换(DFT)具有共轭对称性质（此性质可XX或查阅数字信号处理相关书籍或自行推导，很简单的），这从图中也可以看出。（画图时取其模值，共轭取模与原先数取模将变成相等）二、复数的频谱若令则计算其傅里叶变换可得：因此频谱中将只有一根谱线。在matlab中输入以下命令： n=0:63; f1=1000;f=3000;

7、s3=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n); plot(abs(fft(s3);图3从图3可以看出，对于一个复数序列求频谱，它的幅度谱将不再是对称的两根谱线。其实经过类似于实数序列的推导可以得出，复数序列的频谱将不再具有类似于实数序列的共轭对称性质。当1为负值时会如何呢？同样对于信号：输入以下命令计算它的频谱： n=0:63; f1=-1000;f=3000; s4=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n); plot(abs(fft(s4);图4对比图3和图4可知，当频率为正值时，峰值将在1 32范围内；而当频率为负值时，峰值将

8、在33 64之间。此性质可通俗的描述如下：对于信号：对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为fs，采样点数为N，得到数字信号s(n)，n = 0,N-1，则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k)，k = 0,N-1。观察S(k)的幅度谱，若k = 0 N/2-1之间有峰值，则s(t)的频率f在0 fs/2之间；若k =N/2 N-1之间有峰值，则s(t)的频率f在-fs/2 0之间；并且有且只有一个峰值。设幅度谱峰值当k = k1时出现，则s(t)的频率为：三、频率分辨率频率分辩率是指频域取样中两相邻点间的频率间隔。更确切的说是如果某一信号含有两个频率成分f1和f2，Of = |

9、f2-f1|，频率分辨率的概念是如果频率分辨率大于Of，对信号进行谱分析后将不能视别出其含有两个频率成分，这两个频率将混叠在一起。以下是摘自华科姚天任数字信号处理（第二版）第92页的一段：现在我们设定信号：其中1=21000，2=21100，在matlab中输入以下命令计算其频谱： n=0:63; f1=1000;f2=1100;f=3000; s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); plot(abs(fft(s5);图5从图5中可以看出能够分辨出f1 = 1000Hz和f2 = 1100Hz两个频率分量。我们利用上面的理论来计算一下此时的频率分辨率：采样频

10、率fs = 3000Hz采样点个数N = 64最长记录长度tp = N(1/fs)频率分辨率F = 1/tp = fs/N = 3000/64 =46.875Hz因为F n=0:23; f1=1000;f2=1100;f=3000; s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); plot(abs(fft(s5);图6第二种尝试：采样率fs升为8000Hz，即满足奈奎斯特采样定理，大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍，采样点个数N不变，仍为64个，在matlab中输入以下命令： n=0:63; f1=1000;f2=1100;f=8000; s5=co

11、s(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); plot(abs(fft(s5);图7由图6和图7可以看出，这两种尝试虽然满足奈奎斯特采样定理，但都不能分辨出两个频率分量，用前面的理论知识可以作如下分析：第一种尝试的频率分辨率：第二种尝试的频率分辨率：因此以上两种尝试均不能分辨出频率间隔为100Hz的两个频率分量。四、高密度谱的概念如图6所示，频谱很不平滑，呈很明显的折线状态，我们在matlab中输入以下命令： n=0:23; f1=1000;f2=1100;f=3000; s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); plot(abs(fft(

12、s5,zeros(1,104);图8图8是将图6中的信号在时域补了104个零后才进行谱分析的。比较图6与图8，虽然相对于图6来说图8的频率分辨率并没有增加，但其每个点所代表的频率更小了，也就是密度更高了（同样3000Hz的频率，图6中使用了24点，而图8中使用了128点），这就是高密度谱。通常可以靠补零的方式来提高频谱的密度，但补零不能提高频率分辨率。很多人在此很迷惑，在末尾加零后，使一个周期内的点数增加，必然使样点间隔更近，谱线更密，是以前看不到的谱分量就可以看到了，能够看到更多的谱，不是提高分辨力了吗？其实加零后，并没有改变原有记录的数据，原有数据的频谱一开始就存在，我们只是有的看不见，加

13、零后只是让我们看见原来本就存在的频率，也就是说，原始数据代表的该有的频率就有，没有的频率加再多的零（极限是成连续的），也没法看见。在数字信号处理中，高分辨率谱和高密度谱是较为易混淆的两个概念。获得高分辨率谱的途径是增加信号采样的记录时间tp，而高密度谱则是通过在时域补零得到的。高分辨谱的用途很显示，可以分辨出频率间隔更小的两个频率分量，那么高分辨率谱有什么作用呢？要想明白高密度谱的概念，就不得知道一个名词：栅栏效应。高分辨率谱就是为了减小栅栏效效的。实际信号是无限长的，其频谱是连续的，但是要用计算机对信号进行频谱分析，就必须把它截短使之成为有限长度为tp的信号，这样的截短相当于对信号加矩形窗。经过加窗截取，信号的周期变为tp，其频谱相应地由原来的连续谱变为离散谱，离散谱的谱线只在f = 1/tp的整数倍的位置上才出现，于是谱线间的实际信号的谱线有可能被挡住而损失掉，这称之为栅栏效应。例如截取信号长度为tp=0.5s，则可得到的谱线为2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，若信号中包含频率为7Hz的分量，则该分量将被栅栏挡住，无法显示出来。