离散数学第十章基本图类及算法习题答案.ppt

1、设一个树中度为设一个树中度为k的结点数是的结点数是nk(2 k)，求它的叶的数目。，求它的叶的数目。解：设解：设n个结点的树有个结点的树有t个叶，个叶，由已知由已知n=t+ni2(n-1)=t+ini消去式中的消去式中的n:2=t+(2-i)ni 即：即：t=(i-2)ni+2i=2i=2 i=2 i=3 习题十一习题十一 1设设e是连通图的一条边，证明是连通图的一条边，证明:e是割边当且仅当是割边当且仅当e含于含于G的每的每个生成树中个生成树中.证明证明:()如果割边如果割边e不在不在G的某个生成树中的某个生成树中,则则G-e仍有生成树仍有生成树,即仍连通即仍连通,与割边的定义相矛盾与割边的

2、定义相矛盾.()如果如果e是每个生成树的公共边是每个生成树的公共边,则去掉则去掉e后后G-e不再连通不再连通,即即e为为G 的割边的割边.习题十一习题十一 10树树T中最长道路的起点和终点必都是中最长道路的起点和终点必都是T的叶的叶.证明证明:设设u到到v的道路是树中最长道路，如果的道路是树中最长道路，如果u或或v不是叶，由道不是叶，由道路唯一性，必有路唯一性，必有u或或v的邻接结点不在该道路上，因此这条的邻接结点不在该道路上，因此这条道路可延长至道路可延长至w，与最长条件矛盾。，与最长条件矛盾。习题十一习题十一 2用用Kruskal算法求图的一个最小生成树。算法求图的一个最小生成树。解：边按

3、序排列：解：边按序排列：ab,gc,eg,ed,af,fd,fe,dc,fb,bd,ag,bc按算法构造生成树边集为：按算法构造生成树边集为：ab,gc,eg,ed,af,fd,W(T)=8.agfedcb132132114465习题十一习题十一 12用用Kruskal定理证明定理证明Peterson图不是平面图。图不是平面图。证明：下面是证明：下面是Peterson图的一个子图，图的一个子图，它与它与k3,3的细分图同构，所以的细分图同构，所以Peterson图不是平面图。图不是平面图。设设G是阶数不小于是阶数不小于11的图，证明：的图，证明：G或或G中至少有一个是非平中至少有一个是非平面图

4、。面图。证明：假设证明：假设G和和G都是平面图，可得都是平面图，可得n(n-1)/2 6n-12，所以所以 n2-13n+24 0可得可得n 10，与已知矛盾。所以原题得证。，与已知矛盾。所以原题得证。习题十二习题十二 3证明：少于证明：少于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于4。证明：假设证明：假设 5，可得，可得 5n 2m 由平面性，由平面性，2m 6n-12再将再将n 12 代入代入5n 2m，得，得m 30，与已知矛盾。所以，与已知矛盾。所以原题得证。原题得证。n 12习题十二习题十二 5若一平面图与其对偶图同构，则称这个平面图为自对偶

5、图。推若一平面图与其对偶图同构，则称这个平面图为自对偶图。推导自对偶图必须满足的结点数导自对偶图必须满足的结点数n与边数与边数m的关系，并找出一个的关系，并找出一个自对偶图。自对偶图。解：如果解：如果G是自对偶图，在欧拉公式中必有是自对偶图，在欧拉公式中必有n=f,于是于是m=2(n-1).习题十二习题十二 9设设G=（V，E）是一个具有）是一个具有2k(k0)个奇数度结点的连通图。证个奇数度结点的连通图。证明：明：G中必存在中必存在k条边不相重的简单道路条边不相重的简单道路P1,P2,Pk,使得使得E=E(P1)E(P2)E(Pk).证明：把证明：把2k个奇数度结点分成两两一组的个奇数度结点

6、分成两两一组的k组，然后每组结点新组，然后每组结点新加一条边，所得图为欧拉图，故存在欧拉回路。加一条边，所得图为欧拉图，故存在欧拉回路。再去掉欧拉回路中的再去掉欧拉回路中的k条新加入的边，得到条新加入的边，得到k条互无重复边的道条互无重复边的道路路P1,P2,Pk,即为所求。即为所求。习题十三习题十三 2v9v6v3v1求图中，中国邮递员问题的解。求图中，中国邮递员问题的解。解：图中有解：图中有4个奇数度结点个奇数度结点v1,v6,v9,v3,求两两之间最短长度：求两两之间最短长度：Pv1v6=3 (v1v6),Pv1v9=7 (v1v2v3v4v9),Pv1v3=4 (v1v2v3),Pv6

7、v9=7 (v6v7v8v9),Pv3v6=6 (v3v8v7v6),Pv3v9=3 (v3v4v9),Pv1v6和和Pv3v9满足最小性要求，满足最小性要求，复制复制v1v6和和v3v4v9的边，图中欧拉回路即为所求解。的边，图中欧拉回路即为所求解。v2v4v5v7v8v1022111133v1134415562习题十三习题十三 5证明：连通图证明：连通图G是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二部图。部图。证明：证明：“”：当：当G是平面欧拉图时，是平面欧拉图时，G的点度是偶数，对应的点度是偶数，对应G*的的面度应是偶数，说明面度应是偶数，说明G*的回路都是

8、偶长回路，从而的回路都是偶长回路，从而G*是是二部图。二部图。“”：当：当G*是平面二部图时，它的面度都是偶数，因而是平面二部图时，它的面度都是偶数，因而G的各点度均为偶数，故的各点度均为偶数，故G是平面欧拉图。是平面欧拉图。n个人定期围圆桌而坐，商讨事务，他们希望每人每次两旁的人都和以前个人定期围圆桌而坐，商讨事务，他们希望每人每次两旁的人都和以前的不同，这样的安排最多有多少种？的不同，这样的安排最多有多少种？解：将人看作图的结点，邻座关系作为图的边。每次安排方式对应一个解：将人看作图的结点，邻座关系作为图的边。每次安排方式对应一个Hamilton回路。因为每人每次两旁的人都和以前不同，所以

9、每回路。因为每人每次两旁的人都和以前不同，所以每2种种安排方式对应安排方式对应2个无公共边的个无公共边的Hamilton回路。回路。因每个人都可与其余人邻座，所以本问题转化为在因每个人都可与其余人邻座，所以本问题转化为在Kn中找出所有无公共中找出所有无公共边的边的Hamilton回路的个数。回路的个数。Kn共有共有n(n-1)/2条边，每条条边，每条Hamilton回路的长度为回路的长度为n，因此，因此Kn中最多有中最多有(n-1)/2条无公共边的条无公共边的Hamilton回路。因此，最多有回路。因此，最多有(n-1)/2种安排。种安排。例如例如n=7时，共有时，共有3种就座方式，分别是：种

10、就座方式，分别是：1 2 3 4 5 6 7 11 3 5 7 2 4 6 11 4 7 3 6 2 5 1 用用2种以上办法判别下图不是种以上办法判别下图不是Hamilton图。图。解：解：用必要条件，选用必要条件，选7个结点，去掉后剩个结点，去掉后剩9支。支。注意观察，发现是平面二部图，因为所有回路都是偶长，那就可对结注意观察，发现是平面二部图，因为所有回路都是偶长，那就可对结点进行二部划分：一部是点进行二部划分：一部是7个，另一部是个，另一部是9个结点。但二部图要成为个结点。但二部图要成为Hamilton图必须图必须2部结点数相同。部结点数相同。2(f4(1)-f4(2)+4(f6(1)-f6(2)=0f4(1)+f4(2)=12f6(1)+f6(2)=1无合理解。无合理解。习题十三习题十三 15