知识讲解条件概率事件的相互独立性理基础.docx

1、知识讲解条件概率事件的相互独立性理基础条件概率 事件的相互独立性【学习目标】1了解条件概率的概念和概率的乘法公式2能运用条件概率解决一些简单的实际问题3了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件4能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设 A 、 B 为两个事件， 且 P( A) 0 ，在已知事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概率叫做条件概率。用符号 P(B | A) 表示。P(B | A) 读作： A 发生的条件下 B 发生的概率。要点诠释在条件概率的定义中，事件 A 在 “事件 B 已发生 ”这个附加条件下的概率与没

2、有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率2 P（ A B）、 P（ AB ）、 P（ B）的区别P（ A B）是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。P（ AB ）是事件 A 与事件 B 同时发生的概率，无附加条件。P（ B）是事件 B 发生的概率，无附加条件它们的联系是： P(A | B)P( AB) P(B)要点诠释一般说来， 对于概率 P(A|B) 与概率 P(A) ，它们都以基本事件空间为总样本， 但它们取概率的前提是不相同的。概率 P(A) 是指在整个基本事

3、件空间的条件下事件 A 发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的可能性大小。例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球 ”， B=“取得玻璃球 ”。基本事件空间包含的样本点总数为 16 ，事件 A 包含的样本点总数为 11，故 P( A)11。16玻璃木质总计红235蓝4711总计61016如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率， 那么第 1 页 共 12 页在事件 B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为 “玻璃球的总数 ”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件 B 发生的条件下事

4、件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42P( A | B)。63要点二、条件概率的公式1 计算事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率，常有以下两种方式：利用定义计算先分别计算概率 P（ AB）及 P（ B），然后借助于条件概率公式 P( A | B)P( AB )求解P( B)利用缩小样本空间的观点计算在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而AB包含的基本事件数，即： P(B | A)n( AB)P( A | B)，此法常应用于古典概型中的条件概率B包含的基本事件数n( A)求解要点诠释概率 P(B|A) 与 P(AB) 的联系与区别：联系：事

5、件 A， B 都发生了。区别：在 P(B|A) 中，事件 A，B 发生有时间上的差异， 事件 A 先发生事件 B 后发生； 在 P(AB) 中，事件 A，B 同时发生；基本事件空间不同在 P(B|A) 中，事件 A 成为基本事件空间；在 P(AB) 中，基本事件空间仍为原基本事件空间。2 条件概率公式的变形公式 P( A | B)P( AB)P（ B）、 P（ A B）、 P（ AB）的关系，常常用于知二求一，即要熟练揭示了P( B)应用它的变形公式如，若 P（B） 0，则 P（AB ） =P（ B）P（ A B），该式称为概率的乘法公式要点诠释条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质如：

6、任何事件的条件概率取值在0 到 1 之间；必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为0；条件概率也有加法公式：P（ B C A）=P（ B A） +P（ C A），其中 B 和 C 是两个互斥事件要点三、相互独立事件1.定义：事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响，即 P(B | A) P( B) ，这样的两个事件叫做相互独立事件。第 2 页 共 12 页若 A 与 B 是相互独立事件，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也相互独立。2 相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件 A 和事件 B，用 A B 表示事件 A、 B 同时发生。（ 1

7、）若 A 与 B 是相互独立事件，则 P( A B) P( A) P(B) ；（ 2）若事件 A1, A2 , , An 相互独立， 那么这 n 个事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积，即： P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2) P(An) 。要点诠释（ 1） P（ AB） =P（ A）P（ B）使用的前提是 A、 B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积（ 2）两个事件 A 、 B 相互独立事件的充要条件是 P( A B) P( A) P(B) 。3相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概

8、念，它们之间没有直接关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。 相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 ,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件A， B，它们发生的概率为 P（ A）， P（ B），将 A，B 中至少有一个发生记为事件A+B，都发生记为事件AB，都不发生记为事件 A B ，恰有一个发生记为事件A B A B ，至多有一个发生记为事件 A B A

9、BA B ，则它们的概率间的关系如下表所示：概率A， B 互斥A， B 相互独立P（ A+B）P（ A）+P（ B）1 P( A) P(B)P（ AB）0P（ A） P（ B）P( A B)1 P（ A）+P（ B） P( A)P( B)P( A BA B)P（ A）+P（ B）P( A)P( B) P( A) P( B)P( A BA B A B)11 P（A） P（ B）【典型例题】类型一、条件概率例 1 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别第 3 页 共 12 页为 20 和 18 ，两地同时下雨的比例为12 ，问：（ 1）乙地为雨天时，

10、甲地也为雨天的概率为多少？（ 2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？【思路点拨】（1 ）在乙地为雨天的事情业已发生的情况下， 求甲地也下雨的概率， 为典型的条件概率问题。【解析】设 A 表示 “甲地为雨天 ”， B 表示 “乙地为雨天 ”，则根据题意有P（A） =0.20 ， P（ B） =0.18 ，P（ AB） =0.12 P( AB) 0.12（ 1） P( A| B)0.67 ；P( B)0.18P( AB) 0.12（ 2） P(B | A)0.60 P( A)0.20【总结升华】这类条件概率的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发生有没有影响。 若

11、没有影响， 就是无条件概率； 若有影响， 就是条件概率， 然后根据相应的公式计算即可。举一反三：【变式 1】 甲、乙两名推销员推销某种产品，据以往经验，两人在一天内卖出一份产品的概率分别为3 和57 ，两人在一天内都卖出一份产品的概率为1 ，问：102（ 1 ）在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？（ 2 ）在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？【答案】事件 A=“甲在一天内卖出一份产品 ”，事件 B=“乙在一天内卖出一份产品 ”，因为两人在一天内卖出一份产品的概率分别为3 和 7，两人在一天内都卖出一份产品的概率为1 ，5102所以 P( A)371， P(B

12、)， P( AB )。5102（ 1 ）因为 “在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品”这一事件是甲在一天内卖出一份产品后，乙P( AB)15卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得2P(B | A)3；P( A)65（ 2 ）因为 “在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品 ”这一事件是乙在一天内卖出一份产品后， 甲P( AB)15卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得2P( A | B)7。P(B)710【变式 2 】若 P( A)31）， P(B | A)，则 P( AB ) 等于（4223C15ABD8383【答案】 B第 4 页 共 12 页P（ AB） P( A)P( B | A)

13、313。428【变式 3 】一个盒子中装有6 只好晶体管和4 只坏晶体管，任取两次，每次取1 只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（）A 3B 1C 5D 45399【答案】 C设 A =“第 i 次取到好的晶体管”（ i=1， 2 ）。i因为 P( A1 )63 ， P( A1A2 )6 51 ，1051093所以 P( A2 | A1 )P( A1 A2 ) 5 。P( A1 )9例 2 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题，如果不放回地依次抽取 2 道题，求：（ 1）第 1 次抽到理科题的概率；（ 2）第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率；（ 3

14、）在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题概率【思路点拨】本题考查古典概型、条件概率（ 1 ）和（ 2）中利用 Pm解决，（ 3 ）利用条件概率公n式解决【解析】 设 “第 1 次抽到理科题 ”为事件 A，“第 2 次抽到理科题 ”为事件 B，则 “第 1 次和第 2 次都抽到理科题 ”为事件 AB A31A41123（ 1） P( A)A52205（ 2） P( AB)A3263A522010P( AB)31（ 3） P(B | A)10P( A)325【总结升华】（ 1）求条件概率P( B | A) 的关键就是要抓住事件A 作为条件和事件A 与 B 同时发生这两件事，然后具体问

15、题具体对待。（ 2）本题第（ 3 ）问可用下面的方法求解：用 n （ A）表示事件 A 中包含的基本事件个数，则 n （ A）=12 ， n （ AB） =6 ，第 5 页 共 12 页n( AB)61故 P(B | A)12n( A)2举一反三：【变式 1 】某学校一年级共有学生100 名，其中男生60 人，女生40 人；来自北京的有20 人，其中男生12 人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？【答案】用 A 表示 “任选一人是女生 ”， B 表示 “任选一人来自北京 ”，依题意知北京的学生有 8名女生，这是一个条件概率问题，即计算P（ B A）408由于 P( A)， P(

16、AB)，100100P(AB)81100 P( B | A)P( A)405100【变式2】在 10 支铅笔中， 有 8 支正品， 2 支次品， 若从中任取 2 支，则在第 1 次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是（）A1884BCD54595【答案】 C利用缩小样本空间的方法求解。因为第一次取到1 支次品，还剩9 支铅笔，其中有8 支正品，所以第二次取正品的概率是8 。9【变式3 】盒中装有5 件产品，其中3 件一等品， 2 件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1 件，求：（ 1 ）取两次，两次都取得一等品的概率；（ 2 ）取两次，第二次取得一等品的概率；（ 3 ）取两次，已知

17、第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。【答案】事件 Ai 为 “第 i 次取到一等品 ”，其中 i=1 ，2 ，（ 1 ）取两次，两次都取得一等品的概率为P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1)32354；10（ 2）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品，可得 P( A2 )P(A1 A2A1 A2 )P( A1 A2 ) P( A1 A2 )233235454；5（ 3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，P( A1A2 )231即 P( A1 | A2 )54P( A2 )3。25例 3. 1号箱中有

18、2 个白球和4 个红球， 2 号箱中有5 个白球和3 个红球，现随机地从1 号箱中取出一球第 6 页 共 12 页放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，问从2 号箱取出红球的概率是多少？【思路点拨】从 2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1 号箱取出红球时；二是当从1 号箱取出白球时【解析】记事件 A：从 2 号箱中取出的是红球；事件B：从 1 号箱中取出的是红球则 P( B)442 ， P(B) 1 P( B)1 ，233P( A | B)3 1 4 ， P( A | B)831 ，81913从而 P( A)P( AB) P( AB)P( A | B)P( B)P( A | B

19、) P(B)421111933327【总结升华】 求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率公式和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的加法公式，得到最终结果举一反三：【变式】 一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那么：（ 1）先摸出一个白球不放回，再摸出 个白球的概率是多少？（ 2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？【答案】（ 1）设“先摸出一个白球不放回 ”为事件 A，“再摸出一个白球 ”为事件 B，则 “先后两次摸到白球 ”为事件 AB ， P( A)1111， P( AB )2326P( AB)116 P( B | A)1

20、P( A)32（ 2）设 “先摸出一个白球放回”为事件 A1， “再摸出一个白球 ”为事件B1，则 “两次都摸到白球 ”为事件A1 B1， P( A1 )11， P( A1 B1 )42P( A1B1 )114 P( B1 | A1 )12P( A1 )2综合（ 1）（2）所述，先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率为1 ；先摸出一个白球后放回，3再摸出一个白球的概率为 1 2类型二、相互独立事件第 7 页 共 12 页例 4. 容器中盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球（ 1） “从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球 ”与 “从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球

21、 ”这两个事件是否相互独立？为什么？（ 2） “从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球 ”与 “把取出的 1 个白球放回容器，再从容器中任意取出 1 个，取出的是黄球 ”这两个事件是否相互独立？为什么？【思路点拨】 从相互独立事件的定义入手【解析】 （ 1）“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球 ”的概率为 5 ，若这一事件发生了，则 “从剩8下的 7个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球 ”的概率为 4 ；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 57可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件7（ 2）由于把取出的白球放回容器， 故对 “从中

22、任意取出 1 个，取出的是黄球 ”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件【总结升华】 判断两事件是否相互独立的方法有：（ 1）通过计算 P（ B|A） =P（ B）可以判断两个事件相互独立：（ 2）通过验证 P（ AB） =P（ A） P（ B）也可以判断两个事件相互独立举一反三：【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件（ 1）运动员甲射击 1 次， “射中 9 环 ”与 “射中 8 环 ”；（ 2）甲、乙两运动员各射击 1 次， “甲射中 10 环 ”与 “乙射中 9 环 ”：（ 3）甲、乙两运动员各射击 1 次， “甲、乙都射中目标 ”与 “甲、乙都没有射中目标 ”；（ 4）甲、

23、乙两运动员各射击 1 次， “至少有 1 人射中目标 ”与 “甲射中目标，但乙没有射中目标 ”【答案】（ 1）甲射击 1 次， “射中 9 环 ”与 “射中 8 环 ”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件（ 2）甲、乙各射击 1 次， “甲射中 10 环”发生与否对 “乙射中 9 环 ”的概率没有影响，二者为相互独立事件（ 3）甲、乙各射击 1 次， “甲、乙都射中目标 ”与 “甲、乙都没有射中目标 ”不可能同时发生，二者是互斥事件（ 4）甲、乙各射击 1 次， “至少有 1 人射中目标 ”与 “甲射中目标，但乙没有射中目标 ”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件例 5. 甲、乙各