玻色统计与费米统计.ppt

1、第八章第八章 玻色统计与费米统计玻色统计与费米统计8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体8.3 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚8.4 光子气体光子气体8.5 金属中的自由电子气金属中的自由电子气8.6 白矮星白矮星 第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统（固体）第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统（固体）和满足经典极限条件的玻色和费米系统（气体）。和满足经典极限条件的玻色和费米系统（气体）。经典极限条件也称经典极限条件也称非简并条件非简并条件，可表达为：，可表达为：满足上述条件的气体称为满足上述条件的气体称为非简并气体非

2、简并气体，无论由玻色子，无论由玻色子构成（玻色系统）还是费米子构成（费米系统），都可构成（玻色系统）还是费米子构成（费米系统），都可以用玻尔兹曼分布来处理；不满足上述条件的气体称为以用玻尔兹曼分布来处理；不满足上述条件的气体称为简并气体简并气体，需要分别用玻色分布和费米分布来处理。，需要分别用玻色分布和费米分布来处理。弱简并气体弱简并气体强简并气体强简并气体若若玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻色分布玻色分布费米分布费米分布定域系统和非简并定域系统和非简并气体气体由玻色子构成的由玻色子构成的简并气体简并气体由费米子构成的由费米子构成的简并气体简并气体适用范围适用范围一、玻色系一、玻色系统8.1 热力学

3、量的统计表达式热力学量的统计表达式引入巨配分函数引入巨配分函数则系统平均总粒子数则系统平均总粒子数内能内能广义力（物态方程）广义力（物态方程）对简单系统对简单系统注意到注意到 是是 的函数，有的函数，有 熵和熵和、的确定：的确定：根据开系的根据开系的热力学基本方程力学基本方程表明表明 是是 的积分因子。的积分因子。所以所以 表明表明 是是 的积分因子。的积分因子。比较上两式，可得比较上两式，可得前面得到：前面得到：积分得分得由玻色分布由玻色分布与（与（6.7.4）比较，可得）比较，可得玻耳兹曼关系：玻耳兹曼关系：因为因为 是是 （简单系统即简单系统即 ）的函数，）的函数，以以 为自然变量的特性

4、函数是巨热力学势：为自然变量的特性函数是巨热力学势：巨热力学势巨热力学势 则费米系米系统热力学量的力学量的统计表达式与玻色系表达式与玻色系统热力学力学量的量的统计表达式完全相同。表达式完全相同。二、二、费米系统费米系统引入费米系统的巨配分函数引入费米系统的巨配分函数平均平均总分子数分子数 总内能内能 广广义力力 熵熵玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系巨热力学势巨热力学势 首先通过量子力学的理论计算，或者分析有关首先通过量子力学的理论计算，或者分析有关实验的光谱数据，获取热力学系统的能级表达式和实验的光谱数据，获取热力学系统的能级表达式和能级简并度，由此计算配分函数，最后用热力学量能级简并度，由此计算配分

5、函数，最后用热力学量的统计表达式通过配分函数计算热力学量，从而确的统计表达式通过配分函数计算热力学量，从而确 定系统的全部平衡性质。定系统的全部平衡性质。三、量子统计物理学处理热力学系统的一般方法三、量子统计物理学处理热力学系统的一般方法8.2弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并气体：弱简并气体：或或虽小但不可忽略的玻色和费米气体。虽小但不可忽略的玻色和费米气体。以下推导过程的公式中，上面的符号适用于以下推导过程的公式中，上面的符号适用于费米气体，费米气体，下面的符号适用于下面的符号适用于玻色气体。并且不考虑分子的内部结玻色气体。并且不考虑分子的内部结构，即分子只有平

6、动自由度，其能量表达为构，即分子只有平动自由度，其能量表达为非简并条件非简并条件 或或 其中其中g 是由于粒子可能具有自旋而引进的简并度。是由于粒子可能具有自旋而引进的简并度。系统的系统的内能内能为为 考虑到平动自由度的能级是连续的，求和可以用积分考虑到平动自由度的能级是连续的，求和可以用积分来近似，于是系统的来近似，于是系统的总分子数总分子数为为习题习题61 在弱简并的情形下，在弱简并的情形下，较小，较小，较小，可取级较小，可取级数的一级近似（零级近似相当于玻尔兹曼分布）：数的一级近似（零级近似相当于玻尔兹曼分布）：引入引入变量量 ，将上两式改写为：，将上两式改写为：其中其中求积分求积分由分

7、部积分由分部积分因为因为所以所以 可得可得 两式相除，再取近似两式相除，再取近似其中其中 由于由于 较小，用零级近似，即玻尔兹曼分布的结较小，用零级近似，即玻尔兹曼分布的结果带入：果带入：可得可得由由非相对论粒子非相对论粒子的性质（习题的性质（习题7.1）得物态方程得物态方程 第一第一项是根据玻耳是根据玻耳兹曼分布得到的内能和曼分布得到的内能和压强强，第二，第二项是由微是由微观粒子全同性原理引起的量子粒子全同性原理引起的量子统计关关联所所导致的附致的附加内能和附加加内能和附加压强强。费米气体的附加内能（米气体的附加内能（压强强）为正而正而玻色气体的附加内能玻色气体的附加内能为负。可以。可以认为

8、，量子量子统计关关联使使费米子米子间出出现等效的排斥作用，玻色粒子等效的排斥作用，玻色粒子间则出出现等效的吸等效的吸引作用。引作用。总结：总结：上上节讨论了弱了弱简并理想玻色（并理想玻色（费米）气体的性米）气体的性质，初步看到由微初步看到由微观粒子全同性粒子全同性带来的量子来的量子统计关关联对系系统宏宏观性性质的影响，在弱的影响，在弱简并的情形下并的情形下 8.3 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚(BEC)小，影响是微弱的。小，影响是微弱的。上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体 由于玻色子的特性，当理想玻色气体由于玻色子的特性，当

9、理想玻色气体满足足时，玻色子将向基，玻色子将向基态能能级转移，出移，出现独特的独特的玻色玻色爱因斯坦凝聚因斯坦凝聚现象。象。1924年印度物理学家玻色提出黑体辐射是光子理想气体的年印度物理学家玻色提出黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了观点，他研究了“光子在各能级上的分布光子在各能级上的分布”问题，以不同于普问题，以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式。他将这一结果寄给爱朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式。他将这一结果寄给爱因斯坦。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手这一问因斯坦。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手这一问题的研究。他于题的研究。他于1924和和1925年发表两

10、篇文章，将玻色对光子年发表两篇文章，将玻色对光子的统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低的统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所说的玻色爱因斯坦凝聚。在很长一段时间里，没就是我们所说的玻色爱因斯坦凝聚。在很长一段时间里，没有任何物理系统被认为与玻色爱因斯坦凝聚现象有关。有任何物理系统被认为与玻色爱因斯坦凝聚现象有关。1938年，伦敦提出低温下液氦的超流现象可能是氦原子玻色凝聚的年，伦敦提出低温下液氦的超流现象可能是氦原子玻色凝聚的体现，玻色爱因斯坦凝

11、聚才真正引起物理学界的重视。体现，玻色爱因斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。以以 表示粒子的表示粒子的最低能级最低能级，则要求：，则要求：由于由于 ，这就要求，这就要求所有能级所有能级 均有均有一、一、临界温度界温度考考虑由由N个全同近独立玻色子个全同近独立玻色子组成的系成的系统，假，假设粒子粒子的自旋的自旋为0（g=1），温度），温度为T，体，体积为V。据玻色分布，。据玻色分布，处在能在能级 的粒子数为：的粒子数为：即理想玻色气体的即理想玻色气体的化学势化学势必须低于粒子最低能级的能必须低于粒子最低能级的能量。量。若取最低能若取最低能级为能量的零点，即能量的零点，即 ，则 化学势化学势由粒子

12、数守恒公式确定：由粒子数守恒公式确定：可知化学势可知化学势为温度温度T T及粒子数密度及粒子数密度n n的函数。由于的函数。由于 和和 都与温度无关，因此若都与温度无关，因此若给定定n n，则温度温度T T愈低，愈低，因为因为 ，要求，要求 越大。越大。将上式的求和用积分代替，利用将上式的求和用积分代替，利用 化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一临界温化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一临界温度度 时，时，将趋于将趋于0。这时。这时 趋于趋于1。则则临界温度界温度 由下式给出：由下式给出：令令求积分求积分因为因为即即 时，时，。因此，对于给定的粒子数密度因此，对于给定的粒子数密度n n

13、，临界温度，临界温度 为：为：利用利用对，例：例：温度低于温度低于 时有何现象出现？前面的讨论指出，温时有何现象出现？前面的讨论指出，温度愈低时度愈低时值愈高，但在任何温度下值愈高，但在任何温度下必取负值。由此必取负值。由此可知，可知，时，时，仍趋于仍趋于0，所以有，所以有 的粒子到哪去了呢？因的粒子到哪去了呢？因为 中含有中含有 项，所，所以以上式的积分中没有上式的积分中没有 的粒子的贡献。高温时粒子的粒子的贡献。高温时粒子都处在激发态，可以不用考虑都处在激发态，可以不用考虑 的粒子数密度的粒子数密度 但但 时，必须考虑时，必须考虑 的贡献。的贡献。二、玻色爱因斯坦凝聚现象二、玻色爱因斯坦凝

14、聚现象 第一项是处在能级第一项是处在能级=0=0的粒子数密度的粒子数密度 在在 ，趋于趋于0 0时，有时，有 第二项是处在激发态能级第二项是处在激发态能级00的粒子数密度的粒子数密度 其中其中利用利用 可得若可得若 ，温度为，温度为T T时处在最低能级时处在最低能级0 0的粒子的粒子数密度为：数密度为：可见在可见在TC以下以下n0与与n具有相同的量级。以下是具有相同的量级。以下是n0随温随温度的变化：度的变化：在绝对零度以下粒子将尽可能占据能量最低的状态。在绝对零度以下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限

15、制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在0 0的最的最低能级。低能级。但上式表明，在但上式表明，在 时就有宏观量级的粒子在能级时就有宏观量级的粒子在能级0 0凝聚。这一现象称为凝聚。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚，简称，简称玻玻色凝聚色凝聚。为凝聚温度。凝聚在为凝聚温度。凝聚在 的粒子集合称为的粒子集合称为玻色凝聚体玻色凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零，由于凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。凝聚体中粒子的动量的微观状态完全确定，熵也为零。凝聚体中粒子的动量既然为零，对压强没有贡献。既然为零，对压强没有贡献。

16、在在 时，理想玻色气体的内能是，理想玻色气体的内能是处在能在能级0的粒的粒子能量的子能量的统计平均平均值：三、三、BEC系系统的内能和的内能和热容量容量 定容热容定容热容 上式指出，在上式指出，在 时，理想玻色气体的，理想玻色气体的 与与 成正比，到成正比，到 时，达到极达到极值：高温高温时应趋于于经典典值：随温度的变化如图：随温度的变化如图：发生相变，称为发生相变，称为 相变。相变。四、四、相变相变原子是玻色子，原子是玻色子，大气压下的沸点是大气压下的沸点是4.2K。正常液态，称为正常液态，称为He。超流动性，称为超流动性，称为He.比较比较 满足上式时原子的热波长与原子平均间距具有相同满足上式时原子的热波长与原子平均间距具有相同的量级，量子统计关联起决定作用。的量级，量子统计关联起决定作用。理想玻色气体出现凝聚体的理想玻色气体出现凝聚体的条件条件为：为：由此可由此可见，可通，可通过降低温度降低温度和和增加气体粒子数密度增加气体粒子数密度的方法来的方法来实现玻色凝聚。玻色凝聚。80年代以来，激光冷却、激年代以来，激光冷却、激光陷阱和蒸光陷阱和蒸发冷却技冷却技术有了突破性的有了突破性的