概率论基础第四章ppt.ppt

1、第四章第四章 随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差随机变量的矩与中位数随机变量的矩与中位数随机变量间的协方差与相关系数随机变量间的协方差与相关系数随机变量的特征函数随机变量的特征函数熵与信息熵与信息小结与练习小结与练习二、数学期望的定义二、数学期望的定义u离散型随机变量Def 设离散型随机变量的概率分布为 u连续型随机变量Def 设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分u随机变量数学期望所反应的意义例例4.1已知随机变量X的分布律为4561/41/21/4求数学期望解：解：由数学期望的定义例例4.2已知随机变量

2、X的分布律为01求数学期望解：解：由数学期望的定义例例4.3已知随机变量。求数学期望例例4.4已知随机变量。求数学期望例例4.5已知随机变量。求数学期望例例4.6已知随机变量。求数学期望u随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量 X的函数，离散型离散型连续型连续型该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例例4.7解：解：因为u随机变量函数的数学期望随机变量的方差随机变量的方差Varianceu 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 u方差的计算公

3、式 与 有相同的量纲u均方差（标准差）离散型离散型设离散型随机变量X的概率分布为连续型连续型设连续型随机变量X的分布密度为 f(x)u方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。例例4.8已知随机变量X的分布律为01求方差解：解：例例4.9已知随机变量。求方差例例4.10已知随机变量。求方差例例4.11已知随机变量。求方差例例4.12已知随机变量。求方差u方差的性质 1.设c是常数，则D(c)=0；2.若a，b是常数，则uChebysherv不等式1.多元随机变量函数的数学期望离散型离散型连续型连续型随机向量的特征数随机向量的特征数例例4.13例例4.14 设X与Y相互

4、独立，它们的概率密度函数分别为2.随机变量数学期望预方差的性质 (1)E(X+Y)=E(X)+E(Y)；(2)设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立证明：证明：这里只对连续情况证明(1)(2)相互独立时 (3)当随机变量利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。例例4.15 设随机变量XB(n,p)，求二项分布的数学期望。XB(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：解：例例4.16 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1+p2设产生故障的仪

5、器数目为X则X的所有可能取值为0,1,2解解:所以，产生故障的仪器数目的数学期望解：解：随机变量间的随机变量间的的协方差与相关系数协方差与相关系数Covariance and Correlation coefficientu 随机变量间协方差与相关系数 Def协方差的定义协方差的定义相关系数的定义相关系数的定义Defu 随机变量间协方差的计算 离散型离散型连续型连续型注意：注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。例例4.170123103/83/803/431/8001/81/41/83/83/81/8解：解：边际分布如表例例4.18解：解：边际概率密度为

6、u 随机变量间协方差与相关系数的性质 性质性质5,6说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。证明证明:u 随机变量间线性无关的概念 Def例例4.19-1011/31/31/3解：解：01-11/30001/311/30这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。随机向量的数学期望与随机向量的数学期望与协方差矩阵协方差矩阵随机变量的条件数学期望与应用随机变量的条件数学期望与应用一、条件数学期望的概念 1.Def 设随机变量的条件分布存在，则条件数学期望定义如下 2.随机变量的

7、条件数学期望的意义反映了随机变量的平均值对随机变量的依赖显然，是的函数，记其为，即有称其为 对的回归函数或回归方程。例例4.20 设二维随机向量，求在条件下随机变量X的条件数学期望。解：解：由例题3.42知条件下随机变量X的条件分布为所以，条件下随机变量X的条件数学期望。注意：注意：条件数学期望具有数学期望的所有性质条件数学期望具有数学期望的所有性质二、条件数学期望的数学期望（重期望）如果把条件数学期望中的换成并记为，则其为随机变量，其数学期望称为重期望重期望，即定理定理（重期望公式）设为二维随机向量，且存在，则有证明证明：只对连续性情况证明设的概率密度为令，则有重期望公式的应用 这公式提供了

8、一个在大范围求平均的一种思想方法，即所谓的两次平均法两次平均法例例4.21 一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门与一个经3小时路程可到达安全区的坑道连接；第二个门与一个经5小时路程可回到原处的坑道连接；第三个门与一个经7小时路程可回到原处的坑道连接。假定该矿工等可能在三个门种选择，求他平均需要多少时间才能到达安全区。解解：设该矿工需要小时到达安全区，则的可能取值显然有由题设知记矿工平均需要时间为由重期望计算式解的解得例例4.22 设电力公司每月可供给某工厂的电量（单位：万千瓦），该厂每月实际需要电量（单位：万千瓦）。如果工厂从电力公司得到足够的电力则每万千瓦电力可创造30万元的利润，如工厂从电力公司得不到足够的电力，不足部分通过其他途径解决，但每万千瓦电力可创造10万元的利润，求该工厂每月的平均利润.解解：设该工厂每月的利润为，则有重期望公式知该工厂的约平均利润为随机变量的特征函数一、随机变量特征函数的定义与计算Def 设是一个随机变量，则称为随机变量的特征函数，其中i为虚单位。特征函数的计算设离散型随机变量的概率分布为 则随机变量的特征函数为设连续型随机变量的概率密度为 则随机变量的特征函数为例例4.23例例4.24例例4.25例例4.26二、随机变量特征函数的性质例例4.27例例4.28例例4.29例例4.30三、特征函数的性质续三、逆转公式与唯一性定理例例4.31