数据、模型与决策第6章分配与网络模型.ppt

1、第第6章章 分配与网络模型分配与网络模型 本章讨论的模型属于一类特殊的线性规划问题，本章讨论的模型属于一类特殊的线性规划问题，通常被称为网络流问题。它分为通常被称为网络流问题。它分为5类不同的问题：类不同的问题：(1)运输问题；运输问题；(2)指派问题；指派问题；(3)转运问题；转运问题；(4)最最短路径问题；短路径问题；(5)最大流问题。最大流问题。由于问题结果和求解步骤的相似性，我们专门由于问题结果和求解步骤的相似性，我们专门拿出一章类研究这些问题。在每一个案例中，我们拿出一章类研究这些问题。在每一个案例中，我们将以网络的形式建立问题的图解模型，然后再说明将以网络的形式建立问题的图解模型，

2、然后再说明每个问题是怎么样被构建成线性规划模型并进行求每个问题是怎么样被构建成线性规划模型并进行求解的。在本章的最后一节，我们提出一个生产与库解的。在本章的最后一节，我们提出一个生产与库存的问题，这是转运问题的一个有趣的应用。存的问题，这是转运问题的一个有趣的应用。61 运输问题运输问题 运运输输问问题题经经常常出出现现在在计计划划从从某某些些供供给给地地区区到到某某些些需需求求地地区区配配送送货货物物与与服服务务中中，特特别别是是每每个个供供给给地地区区（起起点点）的的货货物物可可获获得得量量是是有有限限的的，每每个个需需求求地地区区（目目的的地地）的的货货物物需需求求量量是是已已知知的的情

3、情况况。运运输输问问题题中中最最常常用用的的目目标标是是要要使使货货物物从从起起点点到到目目的的地地的的运运输成本最低。输成本最低。我我们们通通过过考考虑虑福福斯斯特特发发电电公公司司面面临临的的这这个个运运输输问问题题来来进进行行介介绍绍。这这个个问问题题包包括括从从3个个加加工工厂厂运运输输一一种种产产品品到到4个个分分销销中中心心。福福斯斯特特发发电电公公司司在在俄俄亥亥俄俄州州的的克克利利夫夫兰兰、印印第第安安纳纳州州的的贝贝德德福福德德和和宾宾夕夕法法尼尼亚亚洲洲的的约约克克有有3个个加加工工厂厂，未未来来3个个月月的的计计划划期期内内的的这这种特殊型号的发电机的生产能力如下：种特殊

4、型号的发电机的生产能力如下：起点起点加工厂加工厂3个月的生个月的生产能力（能力（单位）位）1克利夫克利夫兰50002贝德福德德福德60003约克克2500总计：13500公司通过坐落在波士顿、芝加哥、圣路易斯和莱公司通过坐落在波士顿、芝加哥、圣路易斯和莱克星顿的克星顿的4个分销中心来分销这种发电机；每个分个分销中心来分销这种发电机；每个分销中心销中心3个月的需求预测如下：个月的需求预测如下：目的目的地地分分销中心中心3个月的个月的生生产能力能力（单位）位）目的目的地地分分销中心中心3个月的个月的生生产能力能力（单位）位）1波士波士顿60003圣路圣路易斯易斯20002芝加芝加哥哥40004莱克

5、莱克星星顿1500总计：13500 管理层想知道从每个加工厂运输到分销中心的管理层想知道从每个加工厂运输到分销中心的产品运输量为多少。图产品运输量为多少。图6-1显示了显示了12条福斯特公司可条福斯特公司可以用的配送线路。这种图称为网络图；圆圈表示节以用的配送线路。这种图称为网络图；圆圈表示节点，连接节点的线条表示弧。每个起点和目的地都点，连接节点的线条表示弧。每个起点和目的地都由节点表示，每个可能的运输路线都由弧表示。供由节点表示，每个可能的运输路线都由弧表示。供给量写在起始节点边上，需求量写在每个目的地的给量写在起始节点边上，需求量写在每个目的地的节点边上。从起始节点到目的地节点之间运输的

6、货节点边上。从起始节点到目的地节点之间运输的货物数量表示了这个网络的流量。注意：直接流量物数量表示了这个网络的流量。注意：直接流量（从起点到终点）使用带箭头的线条表示的。（从起点到终点）使用带箭头的线条表示的。对应这个福斯特公司的运输问题的目标是要确定使对应这个福斯特公司的运输问题的目标是要确定使用哪些路线以及每条路线上的流量是多少时，使得用哪些路线以及每条路线上的流量是多少时，使得总的运输成本最低。每条线路单位运输产品的运输总的运输成本最低。每条线路单位运输产品的运输费用在表费用在表6-1中给定并在图中给定并在图6-1中的每条弧线上标明。中的每条弧线上标明。1克利夫兰克利夫兰2贝德福德贝德福

7、德3约克约克1波士顿波士顿2芝加哥芝加哥3圣路易斯圣路易斯4克利夫兰克利夫兰工厂（起点节点）工厂（起点节点）分销中心（目的地节点）分销中心（目的地节点）单位运输成本单位运输成本5000600025006000400020001500图图6-1 327675232545 线性规划模型可以用来解决这类线性规划模型可以用来解决这类运输问题，我们将用双下标决策变量运输问题，我们将用双下标决策变量来描述变量，用来描述变量，用X11来表示从起点节来表示从起点节点点1（克利夫兰）到目的地节点（克利夫兰）到目的地节点1（波（波士顿）之间的运输量；用士顿）之间的运输量；用X12来表示来表示从起点节点从起点节点1

8、（克利夫兰）到目的地（克利夫兰）到目的地节点节点2（芝加哥）之间的运输量，其（芝加哥）之间的运输量，其他类似。一般情况子下，一个有他类似。一般情况子下，一个有m个个起点和起点和n个目的地的运输问题的决策个目的地的运输问题的决策变量常被表示成以下形式：变量常被表示成以下形式：Xij从起点从起点i到目的地到目的地j之间的运输之间的运输量。量。式中，式中，i=1,2,3,，m,j=1,2,3,n。因为运输问题的目标是最小化运输成因为运输问题的目标是最小化运输成本，我们可以使用表本，我们可以使用表6-1中的成本数据或者中的成本数据或者图图6-1中弧上的数据来构造如下的成本表达中弧上的数据来构造如下的成

9、本表达式：式：从克利夫兰出发运出的所有运输成本从克利夫兰出发运出的所有运输成本=3X11+2X12+7X13+6X14 从贝德福德出发运出的所有运输成本从贝德福德出发运出的所有运输成本=7X21+5X22+2X23+3X24从约克出发运出的所有运输成本从约克出发运出的所有运输成本 =2X31+5X32+4X33+5X34 这些表达式加起来的总和就是福斯特这些表达式加起来的总和就是福斯特公司发电机运输总成本的目标函数。公司发电机运输总成本的目标函数。表表6-1 福特公司发电机运输问题的单位运输成本福特公司发电机运输问题的单位运输成本起点起点目的地目的地波士波士顿 芝加哥芝加哥 圣路易斯圣路易斯

10、莱克星敦莱克星敦克利夫克利夫兰贝德福德德福德约克克 3 2 7 6 7 5 2 3 2 5 4 5 每个起点的供给能力和目的地的特定需求量是每个起点的供给能力和目的地的特定需求量是有限的，所以运输问题需要有约束条件。我们先考有限的，所以运输问题需要有约束条件。我们先考虑供给约束条件，克利夫兰工厂的虑供给约束条件，克利夫兰工厂的 生产能力是生产能力是5000单位，从克利夫兰出发运出的所有发电机数量单位，从克利夫兰出发运出的所有发电机数量=X11+X12+X13+X14,所以克利夫兰的供给约束为所以克利夫兰的供给约束为 X11+X12+X13+X145000 克利夫兰供给克利夫兰供给 福斯特公司运

11、输问题有福斯特公司运输问题有3个起点（工厂），所个起点（工厂），所以这个运输模型就有以这个运输模型就有3个供给约束条件。贝德福德个供给约束条件。贝德福德工厂的工厂的6000单位的生产能力，约克工厂的单位的生产能力，约克工厂的2500单位单位的生产能力决定了下面两个供给约束条件：的生产能力决定了下面两个供给约束条件：X21+X22+X23+X246000 贝德福德供给贝德福德供给 X31+X32+X33+X342500 约克供给约克供给 由于有由于有4个分销终点，所以要有四个约个分销终点，所以要有四个约束条件来确保终点需求被满足：束条件来确保终点需求被满足：X11+X21+X31=6000 波士

12、顿需求波士顿需求 X12+X22+X32=4000 芝加哥需求芝加哥需求 X13+X23+X33=2000 圣路易斯需求圣路易斯需求 X14+X24+X34=1500 莱克星敦需求莱克星敦需求 联合这些目标函数和约束条件构成一个联合这些目标函数和约束条件构成一个线性规划模型，这个福斯特公司运输问题是线性规划模型，这个福斯特公司运输问题是一个有一个有12个变量，个变量，7个约束条件的线性规划个约束条件的线性规划模型：模型：min 3X11+2X12+7X13+6X14+7X21+5X22+2X23+3X24+2X31+5X32+4X33+5X34s.t.X11+X12+X13+X14 5000

13、X21+X22+X23+X24 6000 X31+X32+X33+X34 2500 X11 +X21 +X31 =6000 X12 +X22 +X32 =4000 X13 +X23 +X33 =2000 X14 +X24 +X34 =1500 Xij0,其中，其中，i=1,2,3;j=1,2,3,4。我们利用管理科学软件的线性规划模我们利用管理科学软件的线性规划模型解决了福斯特公司发电机的问题。计算型解决了福斯特公司发电机的问题。计算机的计算结果（见图机的计算结果（见图6-2）显示最小的运输）显示最小的运输成本为成本为39 500美元。决策变量的值表示了美元。决策变量的值表示了每条线路运输的最

14、优运输量。例如，每条线路运输的最优运输量。例如，x11=3 500,意味着从克利夫兰到芝加哥这条线路意味着从克利夫兰到芝加哥这条线路上应当运输上应当运输3500单位的发电机，单位的发电机，x12=1500意味着应将意味着应将1500单位的发电机从克利夫兰单位的发电机从克利夫兰运送到芝加哥。决策变量的其他值指明了运送到芝加哥。决策变量的其他值指明了剩余的运输数量和路线。表剩余的运输数量和路线。表6-2是在最低运是在最低运输成本下的运输计划表，图输成本下的运输计划表，图6-3总结了网络总结了网络图的最优解。图的最优解。图图6-2 目目标函数函数值=39500 000 变量量值降低的成本降低的成本X

15、113500.0000.000X121500.0000.000X130.0008.000X140.0006.000X210.0001.000X222500.0000.000X232000.0000.000X241500.0000.000X312500.0000.000X320.0004.000X330.0006.000X340.0006.0001克利夫兰克利夫兰2贝德福德贝德福德3约克约克1波士顿波士顿2芝加哥芝加哥3圣路易斯圣路易斯4克利夫兰克利夫兰工厂（起点节点）工厂（起点节点）分销中心（目的地节点）分销中心（目的地节点）单位运输成本单位运输成本5000600025006000400020

16、001500图图6-2 3500150025002000250015006.1.1 问题的变化问题的变化 福斯特公司发电机问题阐述了基本的运输福斯特公司发电机问题阐述了基本的运输模型的应用，基本模型的变化可能有以下几种模型的应用，基本模型的变化可能有以下几种情况：情况：（1）总供给不等于总需求）总供给不等于总需求 （2）最大化目标函数）最大化目标函数 （3）路线容量或路线最小量）路线容量或路线最小量 （4）不可接受的路线）不可接受的路线 只要对线性规划模型进行轻微修改就能很只要对线性规划模型进行轻微修改就能很容易的实适应这些情况了。容易的实适应这些情况了。总总供供给给不不等等于于总总需需求求 通通常常情情况况下下总总供供给给不不等等于于总总需需求求。如如果果总总供供给给超超过过总总需需求求，线线性性规规划划模模型型不不需需要要进进行行修修改改。多多余余的的供供给给总总量量在在线线性性规规划划解解决决方方案案中中表表现现为为松松弛弛。而而任任何何起起点点的的松松弛弛都都可可以以被被理理解解为为未未使使用用的的供供给给或或为为未未从从起起点点运运输输的的货货物物数数量量。如如果果总总供供给