数学建模课件-污水处理.ppt

1、三城镇污水处理方案三城镇污水处理方案 问题：问题：沿河流有三个城镇沿河流有三个城镇1 1、2 2和和3 3，地理位置如，地理位置如图所示，图所示，污水需处理后才能排入河中，污水需处理后才能排入河中，三个城镇或者单独建立污水三个城镇或者单独建立污水处理厂，或者联合建厂，用处理厂，或者联合建厂，用管道将污水集中处理（污水管道将污水集中处理（污水应于河流的上游城镇向下游应于河流的上游城镇向下游城镇输送）。试从节约总投城镇输送）。试从节约总投资的角度为三个城镇制定污资的角度为三个城镇制定污水处理方案。水处理方案。12338km20km河河 流流已知的条件：已知的条件：以以Q Q表示污水量（吨表示污水量

2、（吨/秒）秒）L L表示管道长度（公里）表示管道长度（公里）按照经验公式，建立处理厂的费用按照经验公式，建立处理厂的费用 C CT T=730Q=730Q0.7120.712铺设管道的费用为铺设管道的费用为C CP P=6.6Q=6.6Q0.510.51L L今已知三个城镇的污水量分别为今已知三个城镇的污水量分别为Q1=5Q1=5，Q2=3Q2=3，Q3=5Q3=5。L L的数值如图所示，的数值如图所示，12338km20km河河 流流共有五种方案共有五种方案 方案一：三个城镇都单独处理污水。方案一：三个城镇都单独处理污水。所需的投资分别为：所需的投资分别为：C(1)=730*5C(1)=73

3、0*50.7120.712=2300=2300，C(2)=730*3C(2)=730*30.7120.712=1600=1600，C(3)=730*5C(3)=730*50.7120.712=2300=2300，总投资为：总投资为：S1=C(1)+C(2)+C(3)=6200S1=C(1)+C(2)+C(3)=6200。共有五种方案共有五种方案 方案二：城镇方案二：城镇1 1、2 2合作，城镇合作，城镇3 3单独建厂单独建厂 所需的投资分别为：所需的投资分别为：C(1,2)=730*C(1,2)=730*（3+53+5）0.7120.712+6.6*5+6.6*50.510.51*20=350

4、0*20=3500，低于两城镇单独建厂的费用：低于两城镇单独建厂的费用：C(1)+C(2)=3900C(1)+C(2)=3900，C(3)=730*5C(3)=730*50.7120.712=2300=2300，总投资为：总投资为：S2=C(1,2)+C(3)=5800S2=C(1,2)+C(3)=5800。共有五种方案共有五种方案 方案三：城镇方案三：城镇2 2、3 3合作，城镇合作，城镇1 1单独建厂单独建厂 所需的投资分别为：所需的投资分别为：C(2,3)=730*C(2,3)=730*（3+53+5）0.7120.712+6.6*3+6.6*30.510.51*38=3650*38=3

5、650，低于两城镇单独建厂低于两城镇单独建厂C(2)+C(3)=3900C(2)+C(3)=3900C(1)=730*5C(1)=730*50.7120.712=2300=2300总投资为：总投资为：S3=C(2,3)+C(1)=5950S3=C(2,3)+C(1)=5950。共有五种方案共有五种方案 方案四：城镇方案四：城镇1 1、3 3合作，城镇合作，城镇2 2单独建厂单独建厂 所需的投资分别为：所需的投资分别为：C(1,3)=730*C(1,3)=730*（5+55+5）0.7120.712+6.6*56.6*50.510.51*58=4630*58=4630，高于两城镇单独建厂的费用：

6、高于两城镇单独建厂的费用：C(1)+C(3)=4600C(1)+C(3)=4600C(2)=730*3C(2)=730*30.7120.712=1600=1600总投资为：总投资为：S4=C(1,3)+C(2)=6230S4=C(1,3)+C(2)=6230。共有五种方案共有五种方案 方案五：城镇方案五：城镇1 1、2 2、3 3合作合作 所需的投资分别为：所需的投资分别为：C(1,2,3)=730*C(1,2,3)=730*（5+3+55+3+5）0.7120.712+6.6*5+6.6*50.510.51*20*20 C6.6*3C6.6*30.510.51*38*38=5560=5560

7、总投资为：总投资为：S5=C(1,2,3)=5560S5=C(1,2,3)=5560。比较五个方案可知比较五个方案可知:应该选择三个城镇联合建厂的方案应该选择三个城镇联合建厂的方案.下面的问题是下面的问题是:如何分担总额为如何分担总额为S5=5560S5=5560万元的费用。万元的费用。分担费用的初步建议：分担费用的初步建议：城城3的负责人提出的负责人提出（1 1）联合建厂的费用按三城的污水量之）联合建厂的费用按三城的污水量之比比5 5：3 3：5 5分担，分担，（2 2）铺设管道应由城）铺设管道应由城1 1，2 2担负。担负。12338km20km河河 流流城城2的负责人同意的负责人同意 并

8、提出从城并提出从城2 2到城到城3 3的管道的管道费由城费由城1 1、2 2按污水量之比按污水量之比5 5：3 3分担，从城分担，从城1 1到城到城2 2的管的管道费应由城道费应由城1 1自己负担。自己负担。城城1的负责人先算了一笔帐：的负责人先算了一笔帐：联合建厂的费用是：联合建厂的费用是：730*730*（5+3+55+3+5）0.7120.712=4530=4530从城从城2 2到城到城3 3的管道费的管道费“是是6.6*6.6*（3+53+5）0.510.51*38=730*38=730从城从城1 1到城到城2 2的管道费是：的管道费是：6.6*56.6*50.510.51*20=30

9、0*20=300按上述办法分担时，各城应负担的费用是：按上述办法分担时，各城应负担的费用是：（结果出乎意料之外，城（结果出乎意料之外，城2 2和城和城3 3的费用的费用都比单独建厂时少，而城都比单独建厂时少，而城1 1的费用却比单的费用却比单独建厂时还要多！城独建厂时还要多！城1 1的负责人当然不能的负责人当然不能同意这个方法，但是城同意这个方法，但是城1 1的负责人一时又的负责人一时又找不出公平合理的解决办法，为了促成找不出公平合理的解决办法，为了促成联合建厂的实现，你能为他们提供一个联合建厂的实现，你能为他们提供一个满意的分担费用的方案吗？满意的分担费用的方案吗？ShapleyL.S.19

10、53年给出了解决该问题的一种方法，称Shapley值。设I定义为n人集合，s为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益。每一种合作都会得到一定的效益，合作人数的增加不会引起效益的减少。用xi表示I的成员I从合作的最大效益v(I)中应得到的一份收入。x=(x1,x2,xn)叫做合作对策的分配，通常有无穷多个分配，满足V()=0V(s1 s2)v(s1)+v(s2),s1 s2=xi=v(I),xi v(i),I=1,2,nShapley首先提出了几条公理：公理公理1：每人的分配与他被赋予的记号i无关。公理公理2：若成员i对于他参加的合作都没有贡献，那么他不应从全体合作的效益中获得报酬，另外

11、，各成员分配之和应等于全体合作的效益。公理公理3：当n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作的分配之和。Shapley在提出的三条公理基础上，用逻辑推理的方法证明，存在唯一的分配：(v)=(1(v),2(v),n(v)其中其中Si是是I中包含的所有子集，中包含的所有子集，|s|是子集是子集s中的元素中的元素数目（人数），数目（人数），w(|s|)是加权因子。是加权因子。例：甲乙丙三人经商，若单干，每人仅获利例：甲乙丙三人经商，若单干，每人仅获利1 1元，甲乙合元，甲乙合作可获利作可获利7 7元，甲丙合作可获利元，甲丙合作可获利5 5元，乙丙合作可获利元，乙丙合作可获利4 4元，元，三人合作

12、则可获利三人合作则可获利1010元，问三人合作时怎样合理地分配元，问三人合作时怎样合理地分配1010元的收入？元的收入？s11U21U3I v(s)17510 v(s1)0114 v(s)-v(s1)1646|s|1223 w(|s|)1/31/61/61/3w(|s|)v(s)+v(s1)1/312/32三人经商中甲的分配三人经商中甲的分配1(v)的计算的计算 1(v)=4（元），同法可计算出元），同法可计算出2(v)=3.5（元）元）3(v)=2.5（元）元）污水处理问题中污水处理问题中1(v)的计算的计算 s11U21U3I v(s)040064 v(s1)00025 v(s)-v(s1)040039|s|1223 w(|s|)1/31/61/61/3w(|s|)v(s)+v(s1)06.70131(v)=19.7（元），同法可计算出元），同法可计算出2(v)=32.1（元）元）3(v)=12.2（元）元）