1、3-7导数在经济分析中的应用(一)边际分析法 边际概念是经济学中的一个重要概念,通常是经济变量的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称作边际分析方法。定义:经济学中,把函数 的导函数称为函数的 边 际函数,在某点处的导数值称为在该点处的边际值(或变化率、变化速度等)1边际成本:在经济学中,边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本 设某产品产量为q单位时所需的总成本为 由于 所以边际成本就是总成本函数关于产量q的导数 2边际收入:在经济学上,边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入 设某产品的销售量为q时的收入函数为 则收入函数关于销售量q的导数就是该产品的边际收入 .3.
2、边际利润:设某产品的销售量为q时的利润函数为 ,当 可导时,称 为销售量为q时的边际利润,它近似等于销售量为q时再多销售一个单位产品所增加(或减少)的利润例1 某企业的总成本C关于产量Q的函数为求(1)该企业的平均成本函数和边际成本函数;(2)该企业生产5000个单位产品时的平均成本和边际成本.解(1)平均成本函数 边际成本函数(2)这表示生产5001个单位产品时,成本增加3.75个成本单位.例2 设某产品的需求函数 ,其中q为价格,Q为需求量.求边际收入函数以及当 、50和70个单位时的边际收入,并说明所得结果的经济意义.解 总收入函数 ,所以边际收入函数为 当 个单位时,边际收入分别为 ,
3、,其经济意义为:当销售量为20个单位时,再多销售一个单位产品,总收入将增加12个收入单位;当销售量为50个单位时,总收入达到最大值.当销售量为70个单位时,再多销售一个单位产品,总收入将减少8个收入单位.(二)弹性分析法 在边际分析中,讨论函数的变化率与函数改变量均属于绝对范围内的讨论,在经济问题中,仅绝对数的分析是不足以深刻分析问题的,例如甲商品价格5元,涨价1元,乙商品价格50元,涨价1元,这两种商品的绝对改变量都是1元,哪个商品涨价幅度更大呢?我们要用1元与原价相比就能回答问题,甲商品涨价百分比为20%,乙商品涨价百分比为2%,为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.定义:设函
4、数 在x处可导,函数的相对改变量 与自变量的相 对改变量 之比 ,称为函数从x到 两点间的弹性.当 时,若 的极限存在,则称该极限值为在x处的弹性,记作 ,即,称它为 的弹性函数.一般地,设某商品的市场需求量为Q,价格为P,需求函数 可导,则 为该商品的需求价格弹性函数,简称为需求弹性函数,记为 ,由于需求函数为价格的减函数,需求弹性 一般为负值,这表明:当某商品的价格增加(或减少)1%时,其需求量将减小(或增加)%,在经济学中,比较商品需求弹性的大小时指弹性的绝对值 .当 时,称为富有弹性,价格变动对需求量的影响较大;当 时,称为单位弹性,此时价格与需求变动的幅度相同;当 时,称为弱有弹性,价格的变动对需求量的影响不大.例3 某产品需求函数 ,求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义 解:其经济意义为:当价格为100时,若价格增加(或减少)1%,需求量减少(或增加)例4 某商品需求函数为 ,求(1)需求价格弹性函数;(2)当 时,需求价格弹性.解(1)因 ,所以 (2),,即价格变化 对需求影响不大.其经济意义为:在商品价格为3的水平下,价格上升(或下降)1%,需求量减少(或增加).