大学物理复习-量子力学初步.ppt

1、1 1.经典粒子经典粒子是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，满足叠加原理，可产生满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。干涉、衍射等现象。具有具有确确定的质量定的质量,其运动规律遵循牛顿定律。其运动规律遵循牛顿定律。2.经典波经典波 经典经典意义下的粒子和波意义下的粒子和波给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具有确定的数值。具有确定的数值。对波粒二象性的理解对波粒二象性的理解25 量子力学初步量子力学初步25.1 波函数及其统计解释波函数及其统计解释1怎样理解微观粒子既是粒子又是波怎样理解微观粒子既是粒子

2、又是波?粒子粒子看作是波包看作是波包而而粒子粒子是稳定的是稳定的。波是基本的波是基本的波包要扩散、消失，波包要扩散、消失，波是大量粒子相互作用形成的波是大量粒子相互作用形成的 粒子是基本的粒子是基本的单电子的双缝衍射实验：单电子的双缝衍射实验：（1949前苏联前苏联 费格尔曼）费格尔曼）7个电子个电子100个电子个电子2单个电子具有的波动性，单个电子具有的波动性，而不是电子间相而不是电子间相互作用的结果。互作用的结果。3000个个20000个个70000个个31.粒子性粒子性p 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或“整体性整体性”。p 但不是经典的粒子！在空间以概率出现

3、。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。没有没有确定的确定的轨道轨道 应摒弃应摒弃“轨道轨道”的概念！的概念！正确理解微观粒子的波粒二象性正确理解微观粒子的波粒二象性2.波动性波动性p 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”，有有“干涉干涉”、“衍射衍射”、等现象。、等现象。p 但不是经典的波！因为它但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波不代表实在物理量的波动。动。4单色平面波单色平面波一个沿一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为能量为E,动量为动量为px)由德布罗依关系式由德布罗依关系式复数形式复数形式（三维）（三维）自由粒子波函数自由粒子波

4、函数 25.1.1波函数的引入波函数的引入5由于进行了量子力学的基本研究由于进行了量子力学的基本研究特别是对波函数作出的统计解释特别是对波函数作出的统计解释玻恩玻恩（M.Born)英籍德国人英籍德国人(18821970）19541954年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖25.1.2 波函数的统计解释波函数的统计解释6德布罗意波是德布罗意波是概率波概率波玻恩玻恩1926年提出年提出：物质波函数描述了粒子物质波函数描述了粒子在各处出现的概率在各处出现的概率7波函数波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经典波本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方那样代表什

5、么实在的物理量的波动，而其模方表示表示 t 时刻微观粒子，在空间时刻微观粒子，在空间 点出现的点出现的相对概率密度相对概率密度。式中：式中：是空间坐标是空间坐标 和时间坐标和时间坐标t的函数，的函数，是其复共轭。是其复共轭。一个微观客体在时刻一个微观客体在时刻 t 状态状态,用波函数用波函数 (一般是复函一般是复函数数)完全描述完全描述.波函数也称为波函数也称为概率幅概率幅8归一化条件归一化条件 根据波函数统计解释，在全空间各点的概率根据波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为总和必须为1 1。注意注意 波函数可以允许包含一个任意的常数因子波函数可以允许包含一个任意的常数因子 对于概率分布

6、来讲，重要的是相对概率分布对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布 和和描写同一个概率波描写同一个概率波因为因为对于空间任意对于空间任意两点两点来说来说概率比值相同：概率比值相同：25.1.3 波函数的标准化条件波函数的标准化条件92.波函数的有限性波函数的有限性粒子在空间某处出现的概率不能无限大粒子在空间某处出现的概率不能无限大1.波函数的单值性波函数的单值性任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值波函数的标准化条件波函数的标准化条件概率不能在某处发生突变概率不能在某处发生突变3.波函数的连续性波函数的连续性以上要求称为波函数的标准化条件以上要求称为

7、波函数的标准化条件10只打开只打开a只打开只打开 b两缝同时打开两缝同时打开波函数遵从叠加原理波函数遵从叠加原理:实验证实实验证实 如果如果 都是体系的可能状态，那么它的线性都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。叠加，也是这个体系的一个可能态。25.1.4.态态叠加原理叠加原理11波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念哥本哈根学派哥本哈根学派-爱因斯坦爱因斯坦 著名论战著名论战量子力学背后隐藏着还没有量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解个规律对量子力学有新的解释。释。上帝

8、不会掷骰子上帝不会掷骰子波函数的概波函数的概率解释是自率解释是自然界的终极然界的终极实质实质玻尔、波恩、海玻尔、波恩、海森伯、费曼等森伯、费曼等还有狄拉克、还有狄拉克、德布罗意等德布罗意等12上帝并不是跟宇宙玩掷骰子游戏。不确定性是物理实质，这样的主张并不是完全站的住的。将来对物理实在的认识达到一个更深的层次时，我们可能对概率定律和量子力学做出新的解释，即它们是目前我们尚未发现的那些变量的完全确定的数值演化的结果。我们现在开始用来击碎原子核并产生新粒子的强有力的方法可能有一天向我们揭示关于这一更深层次的目前我们还不知道的知识。阻止对量子力学目前的观点作进一步探索的尝试对科学发展来说是非常危险的

9、，科学史告诉我们，已获得的知识常常是暂时的，在这些知识之外，肯定有更广阔的新领域有待探索。在我看来，我们还没有量子力学的基本定律，目前还在使用的定律需要作重要的修改。当我们作出这样剧烈的修改后，当然，我们用统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被彻底地改变。13海森伯海森伯（W.K.HeisenbergW.K.Heisenberg，1901-19761901-1976）德国理论物理学家。他于德国理论物理学家。他于19251925年为量子力学的创立作年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于出了最早的贡献，而于2525岁岁时提出的不确定关系则与物时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了质波

10、的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他量子力学的基础。为此，他于于19321932年获得诺贝尔物理学年获得诺贝尔物理学奖金。奖金。25.2 25.2 不确定关系不确定关系14以以电子束子束单缝衍射衍射为例例.只只计中央明中央明纹区区,角角宽度度一、位置和动量的不确定关系一、位置和动量的不确定关系d1位置不确定量：位置不确定量：ppypx15ppypxd1能量与时间不确定关系式能量与时间不确定关系式16解解 子弹的动量子弹的动量动量的不确定范围动量的不确定范围位置的不确定量范围位置的不确定量范围 例例 1 一颗质量为一颗质量为10 g 的子弹的子弹，具有具有 的的速率速率.若其动量的不确定

11、范围为动量的若其动量的不确定范围为动量的 (这这在宏观范围是十分精确的在宏观范围是十分精确的),则该子弹位置的不确则该子弹位置的不确定量范围为多大定量范围为多大?17谱线的自然宽度谱线的自然宽度例：例：若原子处于激发态能级的寿命 ，求光谱光谱线的自然宽度。线的自然宽度。则则解：解：18问题的提出：问题的提出：物理讨论会（物理讨论会（1926）薛定谔：你能不能给我们薛定谔：你能不能给我们讲一讲讲一讲De Broglie的那篇的那篇学位论文呢？学位论文呢？瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学 一月以后：薛定谔一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗向大家介绍了德布罗意的论文。意的论文。你这种谈论太幼稚，作为

12、你这种谈论太幼稚，作为索末菲的门徒，都知道：索末菲的门徒，都知道：处理波要有一个波动程方处理波要有一个波动程方才行啦！才行啦！德德拜拜薛薛定定谔谔25.325.3薛定谔方程薛定谔方程19瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学又过了几个星期又过了几个星期原原来来薛薛定定谔谔方方程程是是利利用用经经典典物物理理，用用类类比比的的办办法法得得到到的的，或或者者说说开开始始只只不不过过是是一一个个假假定定，尔尔后后为实验证实。为实验证实。物理讨论会（物理讨论会（1926）20定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：如果粒子所处的势场如果粒子所处的势场 U(r)与时间无关与时间无关(即即 不显含时间不显含时间),可用

13、分离变量法求解可用分离变量法求解.令令除以除以 得得这是两个微分方程这是两个微分方程21(1)的解的解对比自由粒子波函数对比自由粒子波函数,常数常数 E 就是能量就是能量定态薛定谔方程定态薛定谔方程称能量算符或哈密顿算符称能量算符或哈密顿算符 式称为式称为 的本征方程的本征方程E 称为称为 的本征值的本征值称为称为 的本征函数的本征函数22势阱内势阱内则则其通解其通解势阱外势阱外oaxU25.4.1 一维无限深方势阱一维无限深方势阱23式中式中 A,B 为待定系数为待定系数与本征值与本征值 En 对应本征函数对应本征函数24阱外阱外 x 0,x a势阱内势阱内x正向波正向波x反向波反向波25一

14、维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度0a0a/2o26(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n越大越大,能级间隔越大。能级间隔越大。其余称为激发态其余称为激发态(3)势阱中粒子波函数是驻波势阱中粒子波函数是驻波 基态除基态除 x=-0,x=a 无节点无节点.第一激发态有一个节点第一激发态有一个节点,k 激发态有激发态有 k=n-1个节点个节点.(4)概率密度分布不均匀概率密度分布不均匀当当 n n 时时过渡到经典力学过渡到经典力学(1)无限深方势阱中粒子能量量子化无限深方势阱中粒子能量量子化

15、 n是量子数，是量子数，En称为能级称为能级.E1E2E3E4a0Xa0X归纳：归纳：在某些极限条件下在某些极限条件下,量子量子规律可以转化为经典规律。规律可以转化为经典规律。2725.4.2.25.4.2.势垒穿透和隧道效应势垒穿透和隧道效应考虑考虑 EU0 的情况的情况 研究穿透问题研究穿透问题U(x)x0aU0 28 上述各方程的解上述各方程的解 U(x)x0aU0穿透系数穿透系数29经典经典隧道效应隧道效应量子量子3031例例:设粒子在设粒子在一维无限深方势阱一维无限深方势阱中运动中运动,能量的量子数为能量的量子数为n,试试求求:(1)距势阱内壁距势阱内壁四分之一宽度四分之一宽度以内发

16、现粒子的概率以内发现粒子的概率;(2)n为为何值何值时在上述区域内找到粒子的时在上述区域内找到粒子的概率最大概率最大;(3)当当n时该概时该概率的率的极值极值,并说明这一结果的并说明这一结果的物理意义物理意义.解解:无限深方势阱为无限深方势阱为0 0 xa x 0,x a其归一化波函数为其归一化波函数为概率密度概率密度a/40U(x)ax (x)(x)3a/43132(1)在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为其中其中(2)n=3时上述区域找到粒子的时上述区域找到粒子的概率最大概率最大,其值为其值为:(3)与经典结果相同与经典结果相同,在势阱内粒在势阱内粒子在各处出现的概率相等子在各处出现的概率相等,量量子力学过渡到经典力学子力学过渡到经典力学.32例例:设粒子处在设粒子处在0,a范围内的一维无限深方势阱中范围内的一维无限深方势阱中,波函数为波函数为试求粒子能量的可能测量值及相应的概率试求粒子能量的可能测量值及相应的概率.解解:在一维无限深方势阱中能量本征值在一维无限深方势阱中能量本征值相应的能量本征函数为相应的能量本征函数为题中所给波函数为本征函