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1、旋转变换 旋转变换提高习题1已知，如图，设MON=20，A为OM上一点，OA=4 3，D为ON上一点，OD=8 3，C为A由任一点，B是OD上任意一点求：折线ABCD的长度的最小值2如图，已知：AD是ABC的中线，ABAC，求证：CADBAD3如图，已知下方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分DAE求证：AE-BE=DF4如图，已知RtABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DMME，BD=3，CE=4求：线段DE的长5如图，在正方形ABCD中，M、N各在BC和CD上，满足MAN=45求证：SAMN=SABM+SADN6P为正方形ABCD内部一点，PA=1，PD 2，

2、PC 3，求阴影部分的面积SABCP7（1）如图，已知：P是正方形ABCD的CD边上一点，BAP的平分线交BC于Q，求证：AP=DP+BQ（2）若（1）中的点P位置在DC的延长线上，其他条件不变，结论是否仍然成立？请简单说明理由8如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将ABP顺时针旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转至G点，试画出旋转后的图形，然后猜一猜PCG的形状，并说明理由，最后算一算APB的度数9如图，正方形ABCD的边长为1，P为AB上的点，Q为AD上的点，且APQ的周长为2求PCQ的度数10如图设P是等边ABC内的一点，且PA：PB：PC=3

3、：4：5，求APB的度数11如图，已知ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点（1）请你借助旋转知识说明AMBM+CM；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由12如图放置着两个矩形，请你作一条直线，将此图形分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）答案：一作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题专题：综合题分析：作A关于ON的对称点A，连接AB，作D关于OM的对称点D，连接CD，连接OA、OD、AD，由折线ABCD长=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD，然后转化为求AD的长度，结合勾股定理及轴对称的性质即可解答解答：解：作A关于ON

4、的对称点A，连接AB，作D关于OM的对称点D，连接CD，连接OA、OD、AD（如图）AB=AB，CD=CD，由折线ABCD长=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD，折线ABCD长的最小值是线段AD的长，NOA=MON=20，DOM=MON=20，DOA=60，又OA=OA=43，OD=OD=83，OAD=90，AD=OD2OA2(83)2(43)212折线ABCD长度的最小值为12点评：本题考查轴对称的性质及最短路径问题，难度较大，关键是根据轴对称的性质将所求的线段和转化为一条线段上去二旋转的性质专题：证明题分析：把ABD绕点D顺时针旋转180到ECD的位置，根据旋转的性

5、质得E=BAD，CE=AB，而ABAC，得CEAC，根据三角形的边角关系得到CADE，从而得到结论解答：证明：把ABD绕点D顺时针旋转180到ECD的位置，如图，E=BAD，CE=AB而ABAC，CEAC，CADE，所以CADBAD点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了三角形的边角关系：大边对大角三旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题：证明题分析：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，易证ADFABG，得到1=G，3=2=4，而1=4+5，则1=4+5=3+5=GAE，得到G=GAE，于是

6、AE=GE=GB+BE=DF=BE，即可得到结论解答：证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图），四边形ABCD为正方形，AD=AB，ADFABG，1=G，3=2=4，又ABCD1=4+5=3+5=GAEG=GAEAE=GE=GB+BE=DF+BE所以AE-BE=DF点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等同时考查了三角形全等的判定与性质四旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线专题：计算题分析：把MCE绕M点旋转180得MBF，连DF，根据旋转的性质得BF=EC=4，ECB=FBM，ME

7、=MF，而ABC+ACB=90，得到DBF=90，根据勾股定理可计算出DF=5，又DMME，而ME=MF，得到DFE为等腰三角形，即可得到线段DE的长解答：解：M是斜边BC的中点，把MCE绕M点旋转180得MBF，连DF，如图，BF=EC=4，ECB=FBM，ME=MF，而ABC为Rt，ABC+ACB=90，DBF=DBM+MBF=ABC+ACB=90，而BD=3，DF=32+42=5，又DMME，而ME=MF，DFE为等腰三角形，DE=DF=5点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了直角三角形的性质、勾股

8、定理以及等腰三角形的判定与性质五旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题：证明题分析：将AND顺时针旋转90到ABD处，根据旋转的性质得到ADN=ABD=90，2=3，AD=AD，则D、B、C在同一直线上，而MAN=45，BAD=90，得到1+2=45，1+3=45，得到ADMAMN，即可得到结论解答：解：如图，将AND顺时针旋转90到ABD处，ADN=ABD=90，2=3，AD=AD，D、B、C在同一直线上，MAN=45，BAD=90，1+2=45，1+3=45，即DAM=45，又AD=AN，ADMAMN，而SAMD=SABD+SABM，SAMN=SABM+SADN点评：本题考查

9、了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点六旋转的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质专题：计算题分析：将PAD绕点D逆时针旋转90到PCD的位置，连接PP，根据旋转的性质得PC=AP=1，DP=DP= 2，APD=DPC，于是DPP为等腰直角三角形，则PP= 2DP= 2 2=2，DPP=DPP=45，在PPC中根据勾股定理的逆定理易得PPC为直角三角形，PCP=90，并且PPC=30，PPC=60，则DPC=DPP+PPC=45+60=105，得到APD=105，于是有APD+DPP+PPC=105+45+30=180，得到点A、P、C共线，所以阴影部分为等腰直角三角形，斜边为（ 3+1

10、），然后根据等腰直角三角形的面积公式计算即可七旋转的性质；正方形的性质专题：证明题分析：（1）把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，根据旋转的性质得EAD=QAB，EDA=ABQ=90，E=AQB，DE=BQ，得到点E，D，P公线，而AQB=DAQ，BAP的平分线交BC于Q，所以AQB=EAP，则E=PAE，得到PE=PA，即可得到PA=DP+BQ；（2）PA=DP+BQ仍然成立把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，证明的方法和上面一样解答：解：（1）把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，EAD=QAB，EDA=ABQ=90，E=AQB，DE=BQ，AB与AD重合，ADE=B

11、=90AB=AD，B、D两点重合，点E，D，P共线，又AQB=DAQ，而BAP的平分线交BC于Q，AQB=EAP，E=PAE，PE=PA，PA=DP+BQ；（2）PA=DP+BQ仍然成立理由如下：把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，如图，证明的方法和上面一样点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质八旋转的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质分析：根据旋转的性质，CG=PA，BG=PB，再判断出PBG是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式求出PG，再利用勾股定

12、理逆定理判断出PCG是直角三角形；先求出BGC的度数，然后根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得APB=BGC即可得解九旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：根据正方形的边长为1，APQ的周长为2可得DQ+BP=PQ，将CBP绕点C顺时针旋转90得CDE，根据旋转的性质只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可得CE=CP，DE=BP，然后求出PQ=EQ，利用“边边边”证明CPQ和CEQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PCQ=ECQ，从而求出PCQ=45本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形，然后根据正方形的边长

13、与APQ的周长求出DQ+BP=PQ，从而求出三角形全等的条件是解题的关键十旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理专题：计算题分析：利用旋转的性质解题将PBC绕点B逆时针旋转60得DAB，根据旋转的性质可证DBP为等边三角形，由勾股定理的逆定理可证ADP是直角三角形，从而可求APB的度数解答：解：将PBC绕点B逆时针旋转60得DAB，则BP=BD，DBP=60，DBP为等边三角形，DPB=60，设AD=PC=5k，DP=BP=4k，AP2+DP2=（3k）2+（4k）2=25k2=AD2，ADP是直角三角形，APD=90，APB=APD+DPB=150点评：本题利用了旋转的性质解题关键是根据AB

14、=BC，ABC=60，得出等边三角形，运用勾股定理逆定理得出直角三角形十一。旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的性质专题：几何图形问题；存在型分析：（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得BMA，易得BMM为正三角形，根据三角形三边关系即可证明（2）由（1）得线段AM存在最大值，M在AM上时解答：解：（1）将BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得BMA，（1分）MBM=60，BM=BM，AM=MCBMM为正三角形MM=BM（2分）若M在AM上，则AM=AM+MM=BM+MC，（3分）若M不在AM上，连接AM、MM，在AMM中，根据三角形三边关系可知：AMAM+MM，AMBM+MC，综上所述：AMBM+CM；（5分）（2）线段AM有最大值（6分）当且仅当M在AM上时，AM=BM+MC；存在的条件是：BMC=120（8分）点评：求三边关系，那么这三边应在一个三角形中，可通过旋转得到十二。中心对称；矩形的性质专题：作图题分析：先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可解答：解：本题目有多种作图方法，只需用一种正确方法作图即可：点评：本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系