中南大学数学院大四信科专题金融数学简介.ppt

1、金融数学简介金融数学简介中南大学应用数学系王国富2011.061引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。的前沿课题及前景。简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问简单地说，金

2、融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。工作为基础的。2 1990年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和和M.Miller，奖励他们在金融经奖励他们在金融经济学中的先驱工作济学中的先驱工作H.Markowitz 的投资组合理论、的投资组合理论、W.Sharpe的的 资本资产定价理论资

3、本资产定价理论M.Miller 的公司财务理论。的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（1）注3H.Markowitz H.Markowitz 在资产组合在资产组合选择一文中，第一次从风选择一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的经济环境中最优资产组合的选择问题。选择问题。其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清资组

4、合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。4W.Sharpe W.Sharpe 的资本资产定价理论，的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了在较强的市场假设下，给出了Markowitz Markowitz 均值方差模型的均均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。衡版本，即资本资产定价模型。（CAPMCAPM）22 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以

5、及资本市场理论方面关于下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的克维茨的分析方法进一步发展为著名的资本资产定资本资产定价模型价模型，用来说明在金融市场上如何建立反映风险，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。和潜在收益有价证券价格。5M.MillerM.Miller的公司财务理论的公司财务理论（19581958）主要研究资本结构与其）主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。企业市场价值的关系。MillerMiller在资本成本、公司理财和投资在

6、资本成本、公司理财和投资理论论文中证明，在一定假设理论论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结下，企业的市场价值与其资本结构无关。构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从了广泛的争议。从50年代末到年代末到60年代末，经过一轮唇年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地

7、位。6 1997年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予R.Merton和和M.Schole,以奖励他们和以奖励他们和F.Black在确在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的关于期权定价的著名的Black-Sholes公公式。式。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（2）注7 19731973年，年，M.ScholesM.Scholes与已故的经济与已故的经济学家学家F.BlackF.Black发表期权定价和公发表期权定价和公司债务一文，给出了期权定价的司债务一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。公式。指出指出期权价期权价格仅依

8、赖于股票价格的波动量、无格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价格、股票时价.其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注81973年年R.Merton

9、在经济和管理在经济和管理科学杂志上发表了理性期权定科学杂志上发表了理性期权定价理论的文章，对价理论的文章，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广的研究做了推广 Merton对对Black-Sholes原用的分析方法进行了原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格这样推导出格跳到另一

10、个价格而不经历其间的价格这样推导出的公式更加现实的公式更加现实注92003年度诺贝尔经济学奖授予年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和和 Clive Granger。令令Engle 摘取桂冠的是他于摘取桂冠的是他于1982年提出年提出的的ARCH模型。模型。Granger因为时间序列的协整分析方法而因为时间序列的协整分析方法而获奖获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（3）10 对收益率的建模研究一直在计对收益率的建模研究一直在

11、计量经济学中占据很重要的位置。显量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上矩的建模上,也就是对收益率波动也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和价格波动行为更为准确的描述和分析方法分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中许多金融学家尝试了不同的模型。其中,Engle于于1982年提出的年提出的ARCH模型模型,被认为是最集中被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序反映了方差变化特点而被广

12、泛应用于金融数据时间序列分析的模型。列分析的模型。1120世纪世纪70年代以前计量经济学的建年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中设条件为基础。但在实际中,许多经许多经济指标的时间序列都是非平稳的济指标的时间序列都是非平稳的,并并不具有固定的期望值不具有固定的期望值,并且呈现出明并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在

13、任何均衡关系关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。系的行之有效的方法。12金融数学有下面一些内容n投资组合理论投资组合理论nRoss套利定价理论套利定价理论n衍生证券的定价理论衍生证券的定价理论n二杈树模型二杈树模型nBlack-S

14、holes模型模型nARCH模型及其应用模型及其应用n利率期限结构理论利率期限结构理论n公司资本结构公司资本结构 n保险精算学简介保险精算学简介131.投资组合理论简介在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。资组合。证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形合

15、标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率望收益率，选择资产组合使其总风险最小。，选择资产组合使其总风险最小。14Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券提出的证券组合均值方差问题，是证券组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问题题解上述问题可得最优资产组合解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最的表达式，且最优资产组合的方差为优资产

16、组合的方差为其中注15在方差在方差-均值坐标系下，它是抛物线。均值坐标系下，它是抛物线。注16在均方差在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。均值坐标系下，它是双曲线。17上述结论还可推广到具有无风险资产的均值上述结论还可推广到具有无风险资产的均值-方差模型，此时模型为方差模型，此时模型为最小方差资产组合的方差为最小方差资产组合的方差为在均方差在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（均值坐标系下，它是公共交点为（0，r）的两条射线，其斜率为的两条射线，其斜率为18两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的所谓所谓“切点切点”资产组合的组合。资产组合的组合。192.资本资产定价模型资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场是在理想的资本市场中中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无风假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产