《线性代数》(同济第六版)课件.pptx

1、线性代数（第六版）在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.3我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.4第一章 行列式内容提要1二阶与三阶行列式234567行列式的概念.行列式的性质及计算.行列式按行（列）展开克拉默法则 线性方程组的求解.全排列及其逆序数n 阶行列式的定义对换（选学内容）行列式的性质行列式是线性代数的一种工具！学习行列式主要就是要能计算行列式的值.1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程

2、组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.a21 1 22 2 2一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得 a11x1+a12x2=b1 x +a x =b(a11a22 a12a21)x1=b1a22 a12b2(a11a22 a12a21)x2=a11b2 b1a21当a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解b1a22 a12b2a11a22 a12a21x1=a11b2 b1a21a11a22 a12a21x2=x =a11 2 1 21求解公式为 b1a22 a12b2 x1=a11a22 a12a21 b ba 2 a11a22 a12a21 二元线性方程

3、组 a11x1+a12x2=b1 x +a x =b请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.21 1 22 2 2 a 11 2 1 21 a x =我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.a11 a12 a11 a12数表 a21 a22 记号 a21 a22表达式 a11a22 a12a21 称为由该数表所确定的二阶行列式，即a11 a12D=a11a22 a12a21a21 a22其中，aij(i=1,2;j=1,2)称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.二元线性方程组 a1

4、1x1+a12x2=b1 x +a x =b其求解公式为 b1a22 a12b2 x1=a11a22 a12a21 b ba 2 a11a22 a12a21原则：横行竖列a11a21a12a22=a11a22 a12a21主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积二阶行列式的计算 对角线法则 a11x1+a12x2=b1二元线性方程组 x +a x =b若令a11 a12a21 a22D=b1b2a12a22D1=a11a21b1b2D2=(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为D1D=x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a211a11b2 ba21

5、 D2x2=a11a22 a12a21 D所以 x1=2,例1求解二元线性方程组 3x1 2x2=12 2x1+x2=1解3 22 1因为 D=3(4)=7 0=12(2)=1412 21 1D1=3 122 1=3 24=21D2=D1 14D 7D2 21x2=3D 7a22 23 =a11 22 33 12 23 31 13 21 32原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.a12 a13a11a21a31a32 a33a a a +a a a +a a aa13a22a31 a12a21a33 a11a23a32二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11 a12 a13a21

6、 a22 a23a31 a32 a33主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式的计算 对角线法则a12 a13a22 a23a31a32 a33a11D=a21实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33 a11a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.1 2 -4例2 计算行列式 D=-2 2 1-3 4 -2解按对角线法则，有D=1 2(2)+2 1(3)+(4)(2)41 1 4 2(2)(2)(4)2(3)=4 6+32 4 8 24=14.1x

7、 =0.x2例3解求解方程 1 12 34 9方程左端D=3x2+4x+18 9x 2x2 12=x2 5x+6,由 x2 5x+6=0 得x=2或 x=3.2全排列及其逆序数引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123321 3百位十位个位11 21 2 33种放法2种放法1种放法种放法.共有 3 2 1=6问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.Pn=n(n1)(n2)3 2 1=n!显然即n 个不同的元素一共有n!种不同的排法.所有

8、6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，32120逆序对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如 在排列32514中，逆序3 2 5 1 4逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列i1 2 i i

9、n的逆序数通常记为 t(i1 2 i in).奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为 t=t1+t2+tn规定由小到大为标准次序.设 p1 p2 pn是 1,2,n 这n 个自然数的任一排列，并先看有多少个比 p1大的数排在 p1前面，记为 t1；再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2;最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn;求排列 32514 的逆序数.t(32514)=0+1+0+3+1=5

10、求排列 453162 的逆序数.t=9例1：解：练习：解：3 n 阶行列式的定义a22 23 =a11 22 33 12 23 31 13 21 32一、概念的引入a31a32 a33a11D=a21a12 a13a a a +a a a +a a aa13a22a31 a12a21a33 a11a23a32规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积p p是1、2、3的某个排列.4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号；当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.(1)t(p1 2 3 p )a1p1 2 3 pa2p a3所以，三阶行列式可以

11、写成p=p1p2p3其中表示对1、2、3的所有排列求和.p1p2p3二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.a31a32 a33a11D=a21a12 a13a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32二、n 阶行列式的定义1.n 阶行列式共有 n!项2.每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积p是1,2,n 的某个排列.4.当p1p2 pn是偶排列时，对应的项取正号；当 p1p2 pn是奇排列时，对应的项取负号.a11 a12a1nan1 an2D=p1p2pn(1)t(p1p2pn)

12、a1p1a2 p2anpna21 a22 a2n ann简记作det(aij)，其中aij为行列式D的(i,j)元思考题：1=1成立吗？答：符号 1 可以有两种理解：若理解成绝对值，则 1=+1；若理解成一阶行列式，则 1=1.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式 1=1.0 a22 a230 0 a330 0 0a24a34a44D3=例：写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解：a11a23a32a44和 a11a23a34a42.例：计算行列式0000000a14a2300a32D2=0 0 00 0 0a11 a12 a13a110

13、 a220 00 0a33 0a44a14D1=000000a41a11a21a32a41a22a32a420a33a4300a44D4=(1)t(4321)a14 23 33 41=a14 23 33 41解：0 0 00 0 0a110 a220 00 0a33 0a44D1=0 00000a14a23000 00 a320a41D2=a11a22a33a44a a a a a a3 4其中 t(4321)=0+1+2+3=6.2a11 a12 a13a140 a22 a230 0 a330 0 0a24a34a44D3=0 0 0a11a21 a22 0 0a32 a32 a33 0a4

14、1 a42 a43 a44D4=a11a22a33a44=a14a23a33a41an1a2,n1D=a22D=四个结论：(1)对角行列式a11=a11a22annann(2)a1nn(n1)2=(1)a1na2,n1an1 annan1 an2a22a21a11000D=00 a2n anna220 a1na12a11D=(3)上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）=a11a22ann(4)下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）=a11a22ann思考题：用定义计算行列式解：用树图分析11 13 33 31 12 23 31 （2134）=12 （2143）=22 （2413）=31

15、 （2431）=4D=3+212+9=4故故1310032102211001D =35思考题1312111x2xx21x111已知 f(x)=，求x3的系数.故解含x3的项有两项，即1312111x2xx21x111f(x)=对应于a a a a a a(1)t(1234)a11a22a33a44=x3,3t(1243)(1)a11a22a34a43=2xx3的系数为1.4 对换一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对换，叫做相邻对换例如a1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bma1 a l a b1 b

16、mb c1 c na1 a l b b1 bma c1 cn备注1.相邻对换是对换的特殊情形.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.a1al a b1bmb c1cna1al a b b1bmc1cna1al b b1bma c1cna1al b a b1bmc1cna1al a b1bmb c1cnm 次相邻对换m+1次相邻对换m 次相邻对换m+1次相邻对换二、对换与排列奇偶性的关系定理1对换改变排列的奇偶性.证明先考虑相邻对换的情形+ta1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bm+r+ta1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bm+r注意到除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.1 1 l m a b a a b b t t t t t t=+1 1 l m b a a a b b r r t t t t=+a1 a l a b b1 bma1 a l b a b1 bm+t+r因此相邻对换改变排列的奇偶性.当 a b 时，ra=ta ，rb=tb 1 ，r=t 1 .2m+1次相邻对换