《离散数学》总复习.ppt

1、离散数学总复习黄玉划黄玉划南航南航计算机学院计算机学院A12-116n1.主范式、集合、布尔格主范式、集合、布尔格(有补分配格有补分配格)运算运算n2.命题符号化命题符号化+命题命题/谓词逻辑推理谓词逻辑推理n3.前束范式前束范式n4.元素与集合、集合与集合的关系元素与集合、集合与集合的关系(判断判断,证明证明)n5.排列组合、容斥原理、递推方程排列组合、容斥原理、递推方程n6.关系合成、函数复合、置换乘法关系合成、函数复合、置换乘法n7.等价关系等价关系(等价类、商集、划分、自然映射等价类、商集、划分、自然映射)n8.偏序集偏序集(偏序关系、覆盖、哈斯图偏序关系、覆盖、哈斯图)、格、格n9.

2、同构同构=同态同态双射双射n10.代数系统及其性质代数系统及其性质(判断判断)n11.域域=整环整环除环除环n0.重要概念重要概念:幂集幂集,笛卡积笛卡积,闭包闭包,积代数积代数,循环群循环群;0.重要概念重要概念:生成子图生成子图,自补图自补图,自对偶图自对偶图,割集割集n12.握手定理握手定理n13.邻接矩阵邻接矩阵n14.最短路径最短路径(标号法标号法)与与关键路径关键路径(最长路径最长路径)n15.图的类型图的类型(二部二部,欧拉欧拉,哈密顿哈密顿,平面平面,树树)判别判别n16.平面图欧拉公式：平面图欧拉公式：n m+r=2n17.树的重要性质：树的重要性质：m=n-1n18.最小生

3、成树最小生成树(避圈法避圈法)、基本回路、基本回路/割集系统割集系统n19.Huffman算法算法(最优二元树最优二元树/最佳前缀码最佳前缀码)n20.二二/多项式定理与组合恒等式多项式定理与组合恒等式n21.分治算法的常用递推公式分治算法的常用递推公式第第1章章 命题逻辑命题逻辑1.1命题符号化及联结词（联结词是基础）命题符号化及联结词（联结词是基础）1.2命题公式及分类命题公式及分类1.3等值演算等值演算1.4联结词全功能集联结词全功能集1.5对偶与范式（主范式演算是重点）对偶与范式（主范式演算是重点）1.6推理理论（重点）推理理论（重点）联结词与复合命题联结词与复合命题(小结小结)n联结

4、词优先级:(),n同级按从左到右的顺序进行p q p pq pq pq pq0010011011011010001001101111基本复合命题的真值基本复合命题的真值1.3命题逻辑等值演算命题逻辑等值演算等值式等值式定义定义：(AB1)(AB)（重点）（重点）基本等值式基本等值式(重点重点)双重否定律双重否定律:AA等幂律等幂律：A AA,A AA交换律交换律:A BB A,A BB A结合律结合律:(A B)CA(B C)(A B)CA(B C)分配律分配律:A(B C)(A B)(A C)A(B C)(A B)(A C)德德摩根律摩根律:(A B)AB(A B)AB基本等值式基本等值式（

5、续）吸收律吸收律:A(A B)A,A(A B)A零律零律:A 11,A 00同一律同一律:A 0A,A 1A排中律排中律:AA1矛盾律矛盾律:AA0蕴涵等值式蕴涵等值式:ABA B等价等值式等价等值式:AB(AB)(BA)假言易位假言易位:ABBA等价否定等值式等价否定等值式:ABAB归谬论归谬论:(AB)(AB)A1.4复合联结词（重要的非重点）复合联结词（重要的非重点）与非式与非式:p q(p q)；或非式或非式:p q(p q)习题习题1.14，1.10(4)(5)异或：异或：p q p q(pq)pq pqnAp1 p2 pn,偶数个命题变项赋值为偶数个命题变项赋值为1 (A(A0),

6、奇数个命题变项赋值为奇数个命题变项赋值为1(A(A1);nBq1q2qn,偶数个命题变项赋值为偶数个命题变项赋值为0(A(A1),奇数个命题变项赋值为奇数个命题变项赋值为0(A(A0).n习题习题1.221.5主范式（重点）主范式（重点）n成真赋值成真赋值i对应主析取范式的极小项对应主析取范式的极小项mi；n成假赋值成假赋值j对应主合取范式的极大项对应主合取范式的极大项Mj。n命题公式有几个成真赋值，主析取范式就是几命题公式有几个成真赋值，主析取范式就是几个极小项相或个极小项相或()；n命题公式有几个成假赋值，主合取范式就是几命题公式有几个成假赋值，主合取范式就是几个极大项相与个极大项相与()

7、。例。例1.31，1.32n分配律分配律BjBj(pi pi)(Bj pi)(Bj pi)nBjBj(pi pi)(Bj pi)(Bj pi)n习题习题1.12(1),1.13(1)。五。五71.6 命题逻辑推理（重点）命题逻辑推理（重点）“推理正确推理正确”定义定义：(AB1)(AB)（重点）（重点）A(A B)附加律附加律(A B)A化简律化简律(AB)AB假言推理假言推理(AB)B A拒取式拒取式(A B)BA析取三段论析取三段论(AB)(BC)(AC)假言三段论假言三段论(AB)(BC)(AC)等价三段论等价三段论(AB)(CD)(A C)(B D)构造性二难构造性二难(AB)(AB)

8、(AA)B构构造造性性二二难难(特特殊殊形形式式)(AB)(CD)(BD)(AC)破坏性二难破坏性二难习题习题1.18,1.21,1.17(2)。六。六1注意事项注意事项1：命题：命题只有能确定真假(但不能可真可假)的陈陈述述句句才是命命题题.不管是正确的观点,还是错误的观点,都是命题.猜想猜想和预言预言是命题,如哥德巴赫猜想.感叹句,祈使句,疑问句都不是命题.陈述句中的悖悖论论以及判断结果不惟一确定的也不是命题.有些简单命题貌似复合命题,要注意区分.题1(15)注意事项注意事项2：蕴涵联结词蕴涵联结词“”pq 的逻辑关系:p为q的充分条件，q为p的必要条件.“如果p,则q”的多种表述方式：(

9、1)若p,就q.(2)只要p,就q.(3)p仅当q.(4)只有q 才p.(5)除非q,才p.(6)除非q,否则非p.pq为假当且仅当为假当且仅当p 为真为真q 为假，即为假，即当p为假时，pq为真(不管q为真,还是为假);当q为真时，pq为真(不管p为真,还是为假).习题习题1.5(6)(7)了解概念、掌握方法n真值表、命题公式类型真值表、命题公式类型n所有等值的含所有等值的含n个命题变项的公式对应同一个命题变项的公式对应同一个个n元真值函数元真值函数F:0,1n0,1；哑元n最小联结词组最小联结词组n对偶式与对偶原理对偶式与对偶原理n简单析取式、简单合取式简单析取式、简单合取式n析取范式与合

10、取范式析取范式与合取范式n附加前提证明法、附加前提证明法、反证法反证法第第2章章一阶逻辑一阶逻辑2.1一阶逻辑基本概念（量词是关键）一阶逻辑基本概念（量词是关键）2.2一阶逻辑公式、解释及分类一阶逻辑公式、解释及分类2.3一阶逻辑等值式、前束范式（重点）一阶逻辑等值式、前束范式（重点）2.4一阶逻辑推理理论（重点）一阶逻辑推理理论（重点）一阶逻辑与命题逻辑关系一阶逻辑与命题逻辑关系n一阶逻辑将命题一阶逻辑将命题(公式公式)拆分为个体词、谓词、拆分为个体词、谓词、量词量词(、)。谓词是核心，没有谓词，不。谓词是核心，没有谓词，不构成命题；量词是关键。构成命题；量词是关键。n个体词（元素）个体词（

11、元素）分为分为个体常项个体常项和和个体变项个体变项.个体域（集合）个体域（集合）:个体变项的取值范围个体变项的取值范围.全总个体域全总个体域:宇宙间一切事物组成宇宙间一切事物组成n一阶逻辑一阶逻辑命题逻辑命题逻辑+量词量词n xF(x)x F(x),xF(x)x F(x);n xF(x)x F(x),xF(x)x F(x)2.3一阶逻辑等值式一阶逻辑等值式基本等值式基本等值式（重点）（重点）:命题逻辑中命题逻辑中16组基本等值式的代换实例组基本等值式的代换实例消去量词等值式消去量词等值式设设D=a1,a2,an xA(x)A(a1)A(a2)A(an)xA(x)A(a1)A(a2)A(an)量

12、词辖域收缩与扩张等值式量词辖域收缩与扩张等值式x(A(x)B)xA(x)Bx(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)Bx(BA(x)BxA(x)量词分配等值式量词分配等值式 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B)xA(x)Bx(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)Bx(BA(x)BxA(x)注意事项注意事项1：前束范式：前束范式（重点）（重点）n设设A为一个一阶逻辑公式为一个一阶逻辑公式,若若A具有如下形式具有如下形式Q1x1Q2x2QkxkB,则称则称A为为前束范式前束范式,其中其中Qi(1 i k)为为

13、 或或，B为不含量词的公式为不含量词的公式.n1）对对 无分配律，无分配律，对对 无分配律无分配律n xA(x)xB(x)x y(A(x)B(y)n x y(A(x)B(y)xA(x)xB(x)n2）变量冲突，有一个要换名）变量冲突，有一个要换名.n3）x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)Bn习题习题2.21,2.15(1),2.14(1)。四。四102.4一阶逻辑推理理论（重点）一阶逻辑推理理论（重点）n重要的推理定律重要的推理定律第一组第一组命题逻辑推理定律代换实例命题逻辑推理定律代换实例第二组第二组由基本等值式生成（由基本等值式生成（置换规则）置换规则）第三组第三组

14、xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)(12)全称量词消去规则（简记为UI规则或UI）(13)全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）(14)存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）(15)存在量词消去规则（简记为EI规则或EI）注注:必须先消去存在量词,后消去全称量词.七1第三版第三版:习题习题2.22,2.16,2.19,2.17(1),2.23；例；例2.18注意事项2：一阶逻辑中命题符号化一阶逻辑中命题符号化无特别要求，用全总个体域无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不要随便颠倒量词顺序一般不要随便颠倒 x yA(x,y)y xA(x,y)全称

15、量词全称量词 一般对应一般对应“”存在量词存在量词 一般对应一般对应“”习题习题2.3(2)(5)(6)了解有有限限个个体体域域,无无限限个个体体域域;谓谓词词常常项项,谓谓词词变变项项,一一元元谓谓词词,多元谓词多元谓词(n元谓词元谓词,n 2),0元谓词元谓词,原子公式原子公式;项项字字母母表表包包含含：1)个个体体常常项项,2)个个体体变变项项,3)函函数数符符号号,4)谓谓词词符符号号,5)量量词词符符号号(,),6)联联结结词词符符号号(,),7)括号与逗号括号与逗号.指导变元指导变元，辖域辖域，约束出现约束出现，自由出现自由出现闭式闭式:不含自由出现的个体变项的公式不含自由出现的个

16、体变项的公式.解释解释I包含：包含：(a)非空个体域非空个体域DI,(b)DI中一些特定元素中一些特定元素集集,(c)DI上特定函数集上特定函数集,(d)DI上特定谓词集上特定谓词集.n闭式在任何解释下都是命题，闭式在任何解释下都是命题，n不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.公式类型公式类型.换名规则与代替规则换名规则与代替规则第第3章章集合的基本概念和运算集合的基本概念和运算n3.1集合的基本概念集合的基本概念n3.2集合的基本运算（重点）集合的基本运算（重点）n3.3集合中元素的计数（容斥原理是重点）集合中元素的计数（容斥原理是重点）3.1集合的基本概念集合的基本概念n元素x与集合A的关系：属于属于x A，不属于不属于x An集合A与集合B的关系：习题习题3.2,3.8,3.12,3.16包含包含(子集子集)A B,不包含不包含A B 相等相等A=B,不相等不相等A B 真包含真包含A B,不真包含不真包含A Bn重要概念：重要概念：集合A的幂集的幂集P(A)=x|x A。如果如果|A|=n，则，则|P(A)|=2n.习题习题3.14(4)