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1、算法设计与分析第二版课后习题解答算法设计与分析基础课后练习答案习题1.1 4.设计一个计算的算法，n是任意正整数。除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。算法求/输入：一个正整数n2/输出：。step1:a=1；step2:若a*an 转step 3，否则输出a；step3:a=a+1转step 2；5. a用欧几里德算法求gcd（31415，14142）。b. 用欧几里德算法求gcd（31415，14142）,比检查minm，n和gcd（m，n）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(31

2、31, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513, 105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1.b.有a可知计算gcd（31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法，或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于114142 和 214142之间，所以欧几里德算法比此算法快114142/11 1300 与 214142/11 2600 倍之间。6.

3、证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明: 如果d整除u和v, 那么d一定能整除uv; 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)7.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hi

4、nt:对于任何形如0=m0temp2*ax1(-b+sqrt(D)/tempx2(-b-sqrt(D)/tempreturn x1,x2else if D=0 return b/(2*a)else return “no real roots”else /a=0if b0 return c/belse /a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数

5、第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2.)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码 算法 DectoBin(n)/将十进制整数n转换为二进制整数的算法/输入：正整数n/输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=(int)n/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)对这个算法做尽可能多的改进.算法 MinDistance(A0.n-1)/输入:数组A0.n

6、-1/输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.3 1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count4.(古老的七桥问题)第2章习题2.1 7.对下列断

7、言进行证明:(如果是错误的,请举例)a. 如果t(n)O(g(n),则g(n)(t(n)b.0时,(g(n)= (g(n)解:a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率由 t(n)cg(n) for all nn0, where c0则： for all nn0b. 这个断言是正确的。只需证明。设f(n)(g(n),则有：for all n=n0, c0for all n=n0, c1=c0即：f(n)(g(n)又设f(n)(g(n),则有：for all n=n0,c0for all n=n0,c1=c/0即

8、：f(n)(g(n)8证明本节定理对于下列符号也成立：a.符号b.符号证明：a。we need to proof that if t1(n)(g1(n) and t2(n)(g2(n), then t1(n)+ t2(n)(maxg1(n), g2(n)。由 t1(n)(g1(n)，t1(n)c1g1(n) for all n=n1, where c10由 t2(n)(g2(n)，T2(n)c2g2(n) for all n=n2, where c20那么，取c=minc1,c2,当n=maxn1,n2时：t1(n)+ t2(n)c1g1(n)+ c2g2(n)c g1(n)+c g2(n)c

9、g1(n)+ g2(n)cmax g1(n), g2(n)所以以命题成立。b. t1(n)+t2(n) (证明：由大?的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n=n0，有：由t1(n)(g1(n)知，存在非负整数a1,a2和n1使：a1*g1(n)=t1(n)=a2*g1(n)-(1)由t2(n)(g2(n)知，存在非负整数b1,b2和n2使：b1*g2(n)=t2(n)=b2*g2(n)-(2)(1)+(2):a1*g1(n)+ b1*g2(n)=t1(n)+t2(n) = a2*g1(n)+ b2*g2(n)令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则C1*(g

10、1+g2)= t1(n)+t2(n) =c2(g1+g2)-(3)不失一般性假设max(g1(n),g2(n)=g1(n).显然，g1(n)+g2(n)2g1(n)，即g1+g20，g1(n)+g2(n)g1(n),即g1+g2max(g1,g2)。则（3）式转换为：C1*max(g1,g2) = t1(n)+t2(n) =n0时上述不等式成立。证毕。习题2.22. 请用的非正式定义来判断下列断言是真还是假。a. n(n + 1)/2 O(n3) b. n(n + 1)/2 O(n2)c. n(n + 1)/2 (n3) d. n(n + 1)/2 (n)答：c假，其它真。5.按照下列函数的增

11、长次数对它们进行排列（按照从低到高的顺序）(n?2)!, 5lg(n+100)10, 22n, 0.001n4+3n3+1, ln2 n,， 3n.答：习题2.31. 计算下列求和表达式的值。答：3. 考虑下面的算法。a 该算法求的是什么？b 它的基本操作是什么？c 该基本操作执行了多少次？d 该算法的效率类型是什么？e 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它们的效率类型。如果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。9.证明下面的公式：可以使用数学归纳法，也可以像10岁的高斯一样，用洞察力来解决该问题。这个小学生长大以后成为有史以来最伟大的数学家之一。数学归纳法：高斯的方法：习

12、题2.41. 解下列递推关系 （做a,b）当n1时a.解：当n1时b.解：2. 对于计算n!的递归算法F(n)，建立其递归调用次数的递推关系并求解。解：3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n)=13+23+n3。算法S(n)/输入：正整数n /输出：前n个立方的和if n=1 return 1else return S(n-1)+n*n*na. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？解：7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。b. 建立该

13、算法所做的加法运算次数的递推关系并求解c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？解:a.算法power(n)/基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n/输入:非负整数n/输出: 2n的值If n=0 return 1Else return power(n-1)+ power(n-1)c.8.考虑下面的算法算法 Min1(A0.n-1)/输入:包含n个实数的数组A0.n-1If n=1 return A0Else tempMin1(A0.n-2)If tempAn-1 return tempElse return An-1a

14、.该算法计算的是什么?b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解解:a.计算的给定数组的最小值for all n1n=1b. 9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A0.n-1)算法 Min(Ar.l)If l=r return AlElse temp1Min2(Al.(l+r)/2)Temp2Min2(Al.(l+r)/2+1.r)If temp1temp2 return temp1Else return temp2a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解b.算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗?解:a.习题2.5

15、3.java的基本数据类型int和long的最大值分别是当n最小为多少的时候，第n个斐波那契数能够使下面的类型溢出。a.int类型 b.long类型4.爬梯子 假设每一步可以爬一个或两格梯子，爬一部n格梯子一共可以用几种的不同方法？（例如，一部3格的梯子可以用三种不同的方法爬：1-1-1，1-2和2-1）。6.改进算法Fib，使它只需要?（1）的额外空间。7.证明等式：答：数学归纳法证明习题2.6 1. 考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比

16、较的总次数count0for i1 to n-1 do vAiji-1while j0 and Ajv do countcount+1Aj+1Ajjj+1Aj+1vreturn count比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正.解:应改为:算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAiji-1while j0 and Ajv do countcount+1Aj+1Ajjj+1if j=0 count=count+1Aj+1vreturn cou

17、nt习题3.14. a.设计一个蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值:P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并确定该算法的最差效率类型.b.如果你设计的算法属于(n2),请你为该算法设计一个线性的算法.C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?解:a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值/输入:P0.n是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x/输出: 多项式p在给定点x的值p=0.0for i=n to 0 do power=1for j=1 t

18、o i do power=power*xp=p+Pi*powerreturn p算法效率分析:基本操作:两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶nb. tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1.Alg

19、orithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值/输入:P0.n是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x/输出: 多项式p在给定点x的值P=P0power=1for i1 to n do powerpower*xpp+Pi*powerreturn p基本操作乘法运算总次数M(n):c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1 个系数.例如: (x=1,p(x)=an+an-1+.+a1+a0,至少要做n次加法运算) 5.应用选择排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照

20、字母顺序排序.6.选择排序是稳定的吗?(不稳定)7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的(n2)效率?Yes.Both operationfinding the smallest element and swapping it can be done as efficiently with the linked list as with an array. 8.应用冒泡排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了.b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码.c.请证明改进的算法

21、最差效率也是平方级的.Hints:a. 第i趟冒泡可以表示为:如果没有发生交换位置,那么:b.Algorithms BetterBubblesort(A0.n-1)/用改进的冒泡算法对数组A0.n-1排序/输入:数组A0.n-1/输出:升序排列的数组A0.n-1countn-1 /进行比较的相邻元素对的数目flagtrue /交换标志while flag doflagfalsefor i=0 to count-1 do if Ai+1Aiswap(Ai,Ai+1)flagtruecountcount-1c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.10.冒泡排序是

22、稳定的吗?(稳定)习题3.21. 对限位器版的顺序查找算法的比较次数:a. 在最差情况下b. 在平均情况下.假设成功查找的概率是p(0=p=1)Hints:a. Cworst(n)=n+1b. 在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.Hints:文本:由n个0组成的文本模式:前m-1个是0,最后一个字符是1比较次数: m(n-m+1)7.为蛮力字符匹配算法写一个

23、伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.Algorithms BFStringmatch(T0.n-1,P0.m-1)/蛮力字符匹配/输入:数组T0.n-1长度为n的文本,数组P0.m-1长度为m的模式/输出:在文本中匹配成功的子串数量count0for i0 to n-m do j0while j1C(1)=0 设n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1=22 C(2k-2)+1+1=22C(2k-2)+2+1=222C(2k-3)+1+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1=.=2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +.+2+1=.=2kC(2k-k)

24、+ 2k-1+2 k-2 +.+2+1=2k1=n-1可以证明C(n)=n-1对所有n1的情况都成立（n是偶数或奇数）d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。解答：a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。 算法 MaxMin(Al.r,Max,Min)/该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值/输入：数值数组Al.r/输出：最大值Max和最小值Minif(r=l) MaxAl；MinAl; /只有一个元素时elseif rl=1 /有两个