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1、完整版小升初衔接数学讲义共13讲第一讲【问题引入与归纳】数系扩张 -有理数（一）1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成 m （ n 0, m, n 互质） 。n4、性质： 顺序性（可比较大小） ；2四则运算的封闭性（ 0 不作除数） ；3稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质： 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为 0，则他们都为 0。【典型例题解析】 ：若 abf 0, 则|a|b| |ab| 的值等于多少？b ab例 2 如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（

2、D ）A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 平方x的 绝 对 值 是 2， 求例3 已 知 两 数 a、 b互 为 相 反 数 ， c、 d互 为 倒 数 ，2 2006 2007x （a b cd）x （a b） （ cd） 的值。例 4 如果在数轴上表示 a 、 b 两上实数点的位置，如下图所示， 那么 | a b | | a b | 化简的结果等于 （ ）A. 2a B. 2a C.0 D. 2b1、绝对值的几何意义1|a| |a 0|表示数 a对应的点到原点的距离。2| a b | 表示数 a 、 b 对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、 【典型例

3、题解析】 ：例 1 （ 1）若 2 a 0，化简 |a 2| |a 2 |（ 2）若 xp 0，化简 |x| 2x|x 3| |x|解答：例 2 设 a p 0 ，且 x a ，试化简 | x 1| | x 2 |解答：例 3 a、 b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（ 1） |a b| |a| |b|; （ 2） |ab| |a|b|;（ 3） | a b| |b a |; （ 4）若 | a| b则 a b（ 5）若 |a|p|b|，则 ap b （ 6）若 af b，则 |a|f |b|解答：例 4 若 | x 5| | x 2 | 7，求 x的取值范围。解答：例 5 不

4、相等的有理数 a,b,c在数轴上的对应点分别为 A、 B、 C，如果 |a b| |b c| |a c| ，那么 B 点在 A、 C 的什么位置？解答：较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。1)加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。3)乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。4)除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。计算：【典型例题解析】 ：0.7532 ( 0.125)41257418解答：计算：1)、560

5、.9 4.4 8.1解答：2) 、3) 、-18.75 )-423) +( +6.25) +( -3.25 )+18.25计算：3231123136122142344141232131.751)2)3.753)0147856375121241424 0.125347 43187231335 去、添括号法则； 裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。计算： 0.7 1 211【典型例题解析】6.62.20.79113.3解答：计算： (1 12(12131311996)1 (211997)(11L)1997解答：计算： 2253解答：化简：y 9时的值。(xy)解答：计算：Sn2222解答：比

6、较 Sn 1解答：计算：( 2)2(2x19196)| 3.144311232 132 1y)4L16(1831 6437) 0.253 ( 41)3解答：( 1)33.14 |2)2(3x42 142 1( 4)( 1)33y)L (9xy) 并求当 x 2, 9n2 1n2 12nn 与 2 的大小。1(5 1.25212414) (0.45)2(220301)3 ( 1)2002a、 b是有理数，且 ap b，含 ca 2b3，2c c 2b， y ，请将 a,b,c,33x, y 按从3）甲乙两数平方的和（差）4）甲数与乙数的差的平方。5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。6）甲

7、、乙两数和的2 倍与甲乙两数积的一半的差。7）比a 的平方的 2 倍小 1 的数。8）任意一个偶数（奇数）9）能被5 整除的数。10）任意一个三位数。代数式的求值：1）已知2a b5，求代数式 2(2a b) 3(a b) 的值。a b 2a b找规律：2）已知3）已知4）已知5）已知：当6）已知等式7）已知8）当多项式1b2y22b；5 的值是 7，求代数式 3x 6y2c 5a ，求 6a 2b c 的值 (ca 4b c2a 2b ab3 ，求 的值。a b 2ab1 时，代数式 Px3 qx 1 的值为(2A(1 x)2(17B)x (3Ax) a bxm10 时，求多项式4 的值。0

8、)2007，求当 x1 时，代数式 Px3 qx. ( 1) (1 2)212 4(11)；3) (3 2)2第 N 个式子呢？a、8B） 8x 10 对一切 x都成立，求23cx dx ，求 a bm3 2m22) (2 2)2 222223232；3 32；3388442 4 ；若 10 a1021515b1)4. 已知 2224) (4 2)2 42232 4(3a bb 为正整数） ，求 a b ?c d 的值。2006 的值。4(2 1)4(4 1)A、 B 的值。解答：若 a, b, c互异，且 xab，求 x y Z 的值。c ca解答：已知 m21 0 ，求2m2 2005的值

9、。解答：已知 m2mn15, mn n26 ，求 3m2mn 2n2的值。解答：已知 a, b均为正整数，且 ab 1，求 aa1解答：求证 1121L3 121422L432等于两个连续自然数的积。2006个 1 2006个 2解答：abc 1 ，求c 的值。ab a 1 bc b 1 ac c 1解答：一堆苹果，若干个人分，每人分 4 个，剩下 9 个，若每人分 6 个，最后一个人分到的少于解答：三、 【备用练习题】 ：1、已知 ab 1 ，比较 M、 N的大小。M 11a11b例 3 用黑、 白两种颜色的正六边形地面砖 （如（ 1）第 3 个（ 2） 第 n 个图案中有白色地面砖多少块？

10、例 4 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第 10个图形中三角形的个数为多少？第 n 个图形中三角形的个数为多少？例 5 观察右图，回答下列问题：1 个点，第二层有（ 1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有3 个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第 n 层有多少个点？3）某一层上有 77 个点，这是第几层？4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前 4 层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前 12 层的和是多少？例 5 读一读：式子“ 1+2+3+4+5+ +100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，

11、由于上述100式子比较长， 书写也不方便， 为了简便起见， 我们可将 “ 1+2+3+4+5+ +100” 表示为 n ， 这里 “n 1 50是求和符号， 例如 “ 1+3+5+7+9+ +99（” 即从 1 开始的 100以内的连续奇数的和） 可表示为 （2n 110 n 1又如“ 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103”可表示为 n3，同学们，通过以上材料的阅读，n11999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.3365、 学校阅览室有能坐 4人的方桌， 如果多于 4人，就把方桌拼成一行， 2 张方桌拼成一行能坐 6

12、 人 （如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123n人数466、给出下列算式：32 12 8 152 32 8 22272 52 8 322观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 9 7 8 47 、通过计算探索规律：215 2=225可写成 100 1（ 1+1） +25225 2=625可写成 100 2（ 2+1） +25235 2=1225可写成 100 3（ 3+1） +25245 =2025可写成 100 4（ 4+1） +25275 2=5625可写成归纳、猜想得： （ 10n+5） 2=根据猜想计算： 19952=18 、已知 12 22

13、 32 n2 1 n n 1 2n 1 ，计算：6112+122+132+ +192= ；7、已知 2p xp 3，化简 |x 2| |x 3|8、已知 a,b互为相反数， c,d 互为倒数， m的绝对值等于 2， P 是数轴上的表示原点的数，求1000 a b 2P cd m 的值。abcd9、问中应填入什么数时，才能使 | 2006 W 2006 | 200610、 a, b, c在数轴上的位置如图所示，| 2b 3|化简： | a b | | b 1| | a c | |1 c |11、若 a f 0, b p 0，求使 | x a| |x b| |a b |成立的 x的取值范围。12、

14、计算：(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)32232 12004 2004 2004 2005 2005 200513、已知 a，b2003 2003 2003 2004 2004 20042006 2006 2006，求 abc。20052005 200514、已知999999 ,q11990 ，求 P 、 q 的大小关系。9解答：解答：若 (3x 1)5 a5x5 a4x4L a1 x a0 。求 a5a4 a3 a2 a1 a0 的值。解答：1x 1 是方程 mx213x 的解，求代数式2(m2 7m 9) 2007的值。关于 x 的方程 (2 k1)x6 的解是

15、正整数，求整数K 的值。解答：若方程 2x7 3x56x与方程 2mx3x 545x 15x 1 同解，求 m的值。6解答：关于 x 的一元一次方程(m2 1)x2 (m1)x 80 求代数式 200( m x)(x 2m) m的值。解答：解方程 x x1223 解答：3x4 L20062006 2007已知方程 2(x 1)3(x 1)的解为 a 2，求方程 22( x 3) 3(x a) 3a的解。解答：a 满足什么条件时，关于 x 的方程 | x 2 | | x 5 | a ，有一解；有无数解；无解。现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一） 、 （二）两个班，且使得分配后（二）班的总

16、人数是（一）班的总人数的 2 倍少 36 人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一） 、 （二）两班？一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的 1 后，用水加满，第二次倒出它的 1 后用水加满32这时容器中的酒精浓度为 25%，求原来酒精溶液的浓度。某中学组织初一同学春游，如果租用 45 座的客车，则有 15 个人没有座位；如果租用同数量60 座的客车， 则除多出一辆外， 其余车恰好坐满， 已知租用 45座的客车日租金为每辆车 250元60 座的客车日租金为每辆 300 元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？例 9 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是 3838，问到 2

17、006年底张先生多大？例 10 有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用 24 部 A 型抽水机， 6 天可抽干池水，若用 21 部 A 型抽水机 13 天也可抽干池水， 设每部抽水机单位时间的抽水量相同， 要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部 A 型抽水机抽水？例 11 狗跑 5 步的时间，马能跑 6 步，马跑 4 步的距离，狗要跑 7 步，现在狗已跑出 55 米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？例 12 一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在 A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现， 1 小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？

18、纳税级别全月应纳税金额税率1不超过 500元部分a%2超过 500 元未超过 2000 元部分10%3超过 2000元未超过 5000元部分15%4】 判断下列事件出现可能性的大小 ， 并说明理由 。（ 1）向上抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性。（ 2）任意从一副牌中抽出红 A 和抽出黑 A 的可能性。（ 3）有两人抽签决定参加比赛，先抽签和后抽签的参加比赛的可能性。（ 4）从街对面开过来一辆车，车牌号是奇数和数的可能性。（ 5）现有标着 1， 2， 3， 4， KK， 100 的卡片，从中任意抽一张，号码是 2 的倍数与号码是的倍数的可能性。5】转动如图所示的转盘，判断下列事件发

19、生的可能性的大小。（ 1）指针指到的数字是一个偶数；（ 2）指针指到的数字不是 3；（ 3）指针指到的数字小于 6；6】 甲乙两个同学玩掷硬币游戏，任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么甲获胜；如果两次朝上的面不同，那么乙获胜；这个游戏公平吗？为什么？7】 两枚硬币，在第一枚正反两面上分别写上 1 和 2，在第二枚正反两面上分别写上 3 和 4， 抛掷这两枚硬币，出现数字之和为 5 的机会是多少？8】 抽屉里有尺码相同的 4 双黑袜子和 1 双白袜子混在一起，随意取出 2 只。1）估计恰好是一双的可能性有多大？2）若用小球模拟实验，有一次摸出 2 个黑球，但忘记放回，影响结果吗？为什么

20、？9】 （ 1）设有 12 只形状相同的杯子，其中一等品 7 只，二等品 3 只，三等品 2 只，则从中任取 1 只，是二等品的可能性等于（3 个小球，其中一个红第二次再从袋中木摸球， 两个黄球如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，例 4 如图， AO OC， DO OB， AOB:数。【思维延伸】 ：如图，已知 A、 O、 E 三点在一条直线上，AOC， AOB+ DOE=90 ,试问 : COD 与明理由。解答： BOC=32:13，试求 COD 的 度OB 平分 DOE 之间有怎样的关系？ 说例 5 7 点到 8 点之间， （ 1）何时时针与分针垂直？（分针重合？（ 3）何时时分针成一

21、条直线？2）何时时针与例 6 一副三角板由一个等腰三角形和一个含利用这副三角板构成 130角的直角三角形组成，5解的方法很多，请你给出三种方法（写出算式即可） 。解答：例 7 、 都是锐角，甲、乙、丙、丁计算 1 （26， 72， 90，其中正确的结果是多少？【思维延伸】 ： 若 与 互补， 与的和是 4 个平角，则 是 的多少倍？3解答：例 8 现有一个 19的模板， 请你设计一种办法，笔在纸上画出 1的角来。解答：数学能力就是在练习中成长的汤姆） 的结果依次为 50 ,互余， 且 与只用这个模板和铅. 杰瑞例7右图案中的三个圆的名次国家金牌银牌铜牌三个圆两两相交于圆心， （ 1）按1:1

22、画出右国科； （ 2） 求阴1中国15084742韩国968084解答：3日本447373例8在一副 19 19 的围棋4哈萨克斯坦202630半径都是 5cm，用圆规和直尺 影部分的面积。盘上共有 361 个横线和竖线的交点， 现有两人在每一个交点处轮流依次放上黑白棋子，谁先放下一枚棋子而使对方无处可放，谁就取胜，问题：先放者还是后放者更有希望获胜？解答：例 9 用圆规和直尺作出右图所示的图，其中 A、 B、 C、 D、 E、 F 正圆分成相等的 6 份。（ 1）图中有互相平行或垂直的线段吗？如果有，请用符中与表来；ABDE 面积有何（ 2）图中两个阴影部分面积相等吗？它们的和与长方形 关系

23、？你能猜测出来吗？请试一试。解答：26过点 O 任意作 7 条直线，求证：以 O 为顶点的角中，必有一个小于解答：第十三讲一能力训练点9】 为了从甲乙两名学生中选拔一名学生参加今年六月的全市中小学生实验操作竞赛，每个月 对他门的操作水平进行一次测验，前五次成绩如图：（ 1）分别求出甲乙两名学生 5 次策验成绩的平均数；（ 2）如果你是他门的辅导老师，应选派哪名学生参加竞赛，并说明理由。解答：10】 如下图将一张正方形纸片剪成四个大小一样的小正方形，然后将其中一个小正方形再按KK ，（ 1）填表；（ 2）如果剪 100次，可剪成多少个正方形？如果剪 n 次，可剪成多少个正方形？解答：【例 11】 每年 6 月 5，日是“世界环境日” ，下表是我国近几年来废气污染物排放量统，请认真阅读该表后回答问题。（ 1）请用不同的虚实点虚线画出： 二氧化硫排放量， 烟尘排放量和工业粉尘排放量的折线走势图。（ 2）2002 年想对于 1998 年，全国二氧化硫排放量，烟尘排放量和工业粉尘排放量的增减率别为 ， 和 。 （精确到一个百分点）（ 3）简要评价这三种废气污染物排放量的走势。 （简要说明：总趋势，增减的相对快慢）