定积分教学课件.ppt

1、JXSDFZ江西师大附中江西师大附中 曾敏曾敏1.1.定积分的概念定积分的概念(二二)一、旧知回顾 练习：计算 x xy y1 10 0 定积分的定义：一般地，如果f(x)在区间a,b上连续，用分点 将区间等分成n个小区间，在每个小区间 上取一点 作和式 当 时，上述 和式无限接近于某个常数，这 个常数叫函数f(x)在区间a,b上的定积分。我们 记作 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1)由连续曲线由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线直线x=a、x=b及及x轴所围成的曲边梯形的面积为轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设设物物体体运运动动的的速速度度v=v(t)，则则此此物物体体在在

2、时时间间区区间间a,b内运动的距离内运动的距离s为为 (3)设设物物体体在在变变力力F=F(r)的的方方向向上上有有位位移移r，则则F在在位移区间位移区间a,b内所做的功内所做的功W为为1x yOf(x)=x2 说明：说明：(1)定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分它只与被积函数及积分 区间有关，而与积分变量的记法无关，即区间有关，而与积分变量的记法无关，即二二.定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab yf(x)xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf(x)

3、y-f(x)-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：定积分的几何意义：-S定积分的几何意义：定积分的几何意义：在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).-465OxyAB 例1 用定积分表示下列阴影部分面积。（1）（2）解（1）由图可知 （2）由图可知0 0 1 12 2 x xy y1 11 1-1-10 0y yx x 解：由定积分几何意义 可知1 10 0 x xy yy=xy=x 变式练习：计算 的值。解：由几何意义可得 2 22 2-2-20 0y yx x四四.定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1.1.性质性质2.2.由

4、定积分的定义可知，定积分有以下性质：由定积分的定义可知，定积分有以下性质：定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3.3.Ox yab yf(x)四四.定积分的基本性质定积分的基本性质 课外探究：课外探究：你能用定义证明你能用定义证明 性质性质1 1、2 2、3 3吗？吗？ab yf(x)Ox y探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分如何用定积分表示图中阴影部分的面积的面积?ab yf(x)Ox yy yo o a ab b性质3的几何意义如图所示：c cx x探究：探究：你能用定积分几何意义解释性质(3)吗？练习1 计算 解

5、由定积分的性质可知 练习练习2：如果：如果1N能拉长弹簧能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长为了将弹簧拉长6cm,需做功（需做功（）A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J所以做功就是求定所以做功就是求定积分分则由由题可得可得。解：解：设A 说明：物体在变力说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x=b点，点，则变力则变力F(x)所做的功为所做的功为:分析：分析：在弹性限度内，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧拉伸（或压缩）弹簧所需的力所需的力与弹簧拉与弹簧拉伸（或压缩）的长度伸（或压缩）的长度x x成正比成正比五、小结五、小结（1）定积分的几何意义：在a,b上函数f(x)连续且恒有f(x)0,那么定积分 表示由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。（2）定积分的性质：（3 3）用定积分的几何意义求定积分的值的方法步骤：）用定积分的几何意义求定积分的值的方法步骤：画出图形；画出图形；图形分割；图形分割；求各部分图形的面积。求各部分图形的面积。（4 4）数学思想方法：）数学思想方法：数形结合、转化思想数形结合、转化思想课本课本P81 习题习题4-1 3，4,5，6；